Рассчитаем основные характеристики ряда распределения

3. Рассчитаем основные характеристики ряда распределения.

Для расчёта основных характеристик построим рабочую таблицу 6. Перейдём от интервального ряда к дискретному, заменив интервальные значения их средними значениями (простая средняя между нижней и верхней границами интервала).

Таблица 6 Таблица расчёта основных характеристик

Группы предприятий по выпуску продукции, млн. руб.		Число предприятий	Середина интервала
14,4	27,36	4	20,88	83,52	435,97	1743,88
27,36	40,32	8	33,84	270,72	1145,15	9161,2
40,32	53,28	9	46,8	421,2	2190,24	19712,16
53,28	66,24	6	59,76	358,56	3571,26	21427,56
66,24	79,2	3	72,72	218,16	5288,20	15,864,6
		30		1352,16		52044,8

Найдём среднюю арифметическую:

 млн. руб.

– уровень выпуска продукции на каждом предприятии за отчётный год составил в среднем 45,072 млн. руб.

Дисперсия признака – это средний квадрат отклонений вариантов от их средней величины:

Среднее квадратическое отклонение показывает на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты от их среднего значения и численно равно корню квадратному из дисперсии:

 (млн. руб.)

Коэффициент вариации:

Значение коэффициента меньше 40%, следовательно, вариация производительности в данной совокупности незначительна, а совокупность однородна.

3.  Рассчитаем среднее значение выпуска продукции по исходным данным по формуле средней арифметической простой:

  (млн. руб.)

Полученное значение отличается от значения в п. 3 т. к. в п. 3 вычисления происходили по сгруппированным данным, причём, для расчётов брались приближённые значения вариант (середины интервалов).

Задание 2

По исходным данным табл. 1:

1. Установите наличие и характер связи между признаками среднесписочная численность работников и выпуск продукции, образовав пять групп с равными интервалами по обоим признакам, методами:

а) аналитической группировки,

б) корреляционной таблицы.

2. Измерьте тесноту корреляционной связи между названными признаками с использованием коэффициента детерминации и эмпирического корреляционного отношения.

Сделайте выводы.

Решение:

Построим аналитическую группировку предприятий по уровню среднесписочной численности работников. Факторным признаком в данном случае будет являться среднесписочная численность работников, а результативным – уровень выпуска продукции.

Ранжируем исходные данные в порядке возрастания численности рабочих. Результаты расчётов для построения аналитической группировки представим в таблице 7.

Таблица 7. Ранжированный ряд по признаку численность работников

№	Численность работников, чел.	Итого	Выпуск продукции, млн. руб.	Итого		Дисперсия
15	120		14,4		207,36
20	130	250	18,2	32,6	331,24	3,61
2	156		23,4		547,56
6	158		26,86		721,46
24	158		28,44		808,83
10	159		30,21		912,64
21	159	790	31,8	140,69	1011,24	8,599
14	161		35,42		1254,57
29	161		35,903		1289,03
1	162		36,45		1328,6
16	162		36,936		1364,27
22	162		39,204		1536,95
9	163		40,424		1634,1
18	164		41		1681
5	165		41,415		1715,2
27	166		41,832		1749,92
11	167		42,418		1799,29
25	168		43,344		1878,7
3	179	1980	46,54	480,886	2165,97	10,541
30	186		50,22		2522,05
13	187		51,612		2663,8
17	188		53,392		2850,71
8	190		54,72		2994,28
19	192		55,68		3100,26
23	193		57,128		3263,6
4	194	1330	59,752	382,504	3570,3	9,143
12	205		64,575		4169,93
28	207		69,345		4808,73
26	208		70,82		5015,47
7	220	840	79,2	283,94	6272,64	27,822
		4940		1288,02	65169,7	56,105

Величина интервала:

чел.

X_max и Х _min - соответственно максимальная и минимальная численность рабочих.

Получаем следующие интервалы численности рабочих, чел.:

Таблица 8. Интервалы численности рабочих

Нижняя граница	Верхняя граница
120	140
140	160
160	180
180	200
200	220

Результаты группировки представим в таблице 9.

Таблица 9. Группировка предприятий по численности рабочих:

Группы предприятий по численности рабочих, чел.		Число предприятий	Выпуск продукции, млн. руб.
			Всего	В среднем на 1 предприятие
120	140	2	32,6	16,3
140	160	5	140,69	28,138
160	180	12	480,886	40,074
180	200	7	382,504	54,643
200	220	4	283,94	70,985
Итого		30	1288,02	42,934

Из таблицы видно, что между численностью рабочих и уровнем выпуска продукции существует прямая корреляционная связь. С ростом численности рабочих от группы к группе растёт средний уровень выпуска продукции на каждое предприятие.

Для оценки тесноты этой связи рассчитаем коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.

Общая дисперсия характеризует вариацию результативного признака, которая зависит от всех условий, влияющих на совокупность. В данном случае она характеризует вариацию выпуска продукции под воздействием всех факторов в данной совокупности.

Рассчитаем среднюю из внутригрупповых дисперсий. В данном случае эта дисперсия характеризует вариацию выпуска продукции за счёт факторов, не положенных в основу группировку:

Рассчитаем межгрупповую дисперсию. Межгрупповая дисперсия характеризует вариацию результативного признака, вызываемую фактором, положенным в основание группировки. В данном случае она характеризует вариацию выпуска под влиянием изменения численности рабочих:

 

Коэффициент детерминации определяется по формуле:

 

Расчёты показали, что вариация объёма продукции на 96,43% обусловлена вариацией численности рабочих.

Эмпирическое корреляционное отношение рассчитывается как корень квадратный из коэффициента детерминации и характеризует тесноту связи между результативным и факторным признаками:

 

Таким образом, между объёмом продукции и численностью рабочих существует достаточно тесная прямая корреляционная связь.

Проверим значимость коэффициента детерминации с помощью F-критерия Фишера:

При уровне значимости , числе степеней свободы  и  табличная величина F = 2,69, поэтому значение коэффициента детерминации признаётся существенным.

Построим корреляционную таблицу (табл. 10).

Таблица 10. Корреляционная таблица

Группы предприятий по производительности, тыс. руб.	Группы предприятий по численности рабочих, чел.					Итого
	120-140	140-160	160-180	180-200	200-220
14,4-27,36	2	2				4
27,36-40,32		3	5			8
40,32-53,28			7	2		9
53,28-66,24				5	1	6
66,24-79,2					3	3
Итого	2	5	12	7	4	30

Как видно из данных таблицы 9, распределение числа предприятий произошло вдоль диагонали, проведенной из левого верхнего угла в правый нижний угол, т.е., увеличение численности рабочих сопровождалось ростом объёмов выпуска продукции.

Характер распределения частот по диагонали корреляционной таблицы свидетельствует о наличии прямой корреляционной связи между изучаемыми признаками.

Задание 3

По результатам выполнения задания 1 с вероятностью 0,954 определите:

1.  Ошибку выборки среднего уровня выпуска продукции и границы, в которых будет находиться выпуск в генеральной совокупности.

2.  Ошибку выборки доли организаций с выпуском продукции 53,28 млн. руб. и более и границы, в которых будет находиться генеральная доля.

Решение:

1. Найдём среднюю ошибку выборки, которая показывает, какие отклонения возможны между характеристиками генеральной и выборочной совокупностей, по формуле собственно – случайной бесповторной выборки:

Дано:

Доверительная вероятность 0,954; t=2 (коэффициент кратности при доверительной вероятности 0,954).

 - процент выборки

Величина возможной случайной ошибки репрезентативности характеризуется средней ошибкой выборки. Она показывает, какие возможны отклонения между характеристиками генеральной и выборочной совокупностей, и при бесповторном отборе, как в данном случае, находится по формуле:

 млн. руб.

Найдем предельное отклонение. Оно равно произведению коэффициента кратности t средней ошибки (показывает, сколько средних ошибок находится в предельной ошибке с заданной вероятностью) на величину средней ошибки. В данном случае:

млн. руб.

Найдем предельную ошибку выборки, то есть, в каких пределах находится средняя сумма прибыли отрасли в генеральной совокупности:

С вероятностью 0,954 можно утверждать, что средний выпуск продукции в генеральной совокупности будет находиться в пределах от 39,452 до 50,692 млн. руб.

2. Выборочная доля определяется отношением числа единиц, обладающих изучаемым признаком, к общему числу единиц выборочной совокупности:

n – общее число предприятий выборочной совокупности (30):

m – число предприятий с выпуском 53,28 млн. руб. и более.

Найдём среднюю ошибку выборки для доли, которая показывает, какие возможны отклонения между характеристиками генеральной и выборочной совокупностей, по формуле собственно-случайной бесповторной выборки:

млн. руб.

предельное отклонение для заданной доверительной вероятности равно средней ошибке.

Найдем в каких пределах находится генеральная доля:

Р- генеральная доля совокупности;

Значит с вероятностью 0,954 можно утверждать, что генеральная доля предприятий с выпуском продукции 53,28 млн. руб. и более будет находиться в пределах от 0,2888 до 0,3112 (от 28,88% до 31,12%).

Задание 4

Имеются следующие данные о производстве продукции и среднесписочной численности работников организации:

Таблица 11 Исходные данные

Филиалы организации	Базисный период		Отчётный период
	Выпуск продукции, млн. руб.	Численность работников, чел.	Выпуск продукции, млн. руб.	Численность работников, чел.
№1	50	180	80	200
№2	70	200	90	200

Определите:

1.По каждому филиалу уровни и динамику производительности труда.

Результаты расчетов представьте в таблице.

2.По организации в целом:

-  индексы производительности труда (переменного, постоянного состава, структурных сдвигов);

-  абсолютное изменение средней производительности труда за счет отдельных факторов.

- абсолютное изменение выпуска продукции вследствие изменения среднесписочной численности работников, производительности труда и двух факторов вместе.

Решение: