Среди n лотерейных билетов k выигрышных. Наудачу взяли m билетов. Определить вероятность того, что среди m билетов l выигрышных

3. Среди n лотерейных билетов k выигрышных. Наудачу взяли m билетов. Определить вероятность того, что среди m билетов l выигрышных.

Дано: n = 10, l = 5, m =7 , k = 7.

Решение.

Пусть событие А - среди 7 билетов 5 выигрышных. Вероятность события А находим с помощью классического определения вероятности:

 ,

где: m – число исходов, благоприятствующих появлению события А, n – общее число равновозможных исходов испытания.

Находим m. Из 7 выигрышных билетов 5 билета можно выбрать  способами, а 2 безвыигрышных билетов из 3 билетов можно выбрать  способами. Тогда число исходов, благоприятствующих появлению события А, используя теорему умножения, будет равно:

m = ×=

Находим n. . Из 10 билетов 7 билета можно выбрать  способами, тогда

n =

Отсюда, искомая вероятность равна:

Ответ: Р(А) = 0,525.

4. В лифт k-этажного дома сели n пассажиров (n < k). Каждый независимо от других с одинаковой вероятностью может выйти на любом (начиная со второго) этаже. Определить вероятность того, что: а)все вышли на разных этажах; б) по крайней мере двое сошли на одном этаже.

Дано: k = 7, n = 4.

Решение.

а) Событие А – все пассажиры вышли на разных этажах.

Событие А₁ – первый пассажир вышел на любом из шести, кроме первого, этаже.

Событие А₂ – второй пассажир вышел на любом из оставшихся пяти этаже, т.е. кроме первого и этажа, на котором вышел первый пассажир.

Событие А₃ – третий пассажир вышел на любом из оставшихся четырех этаже, т.е. кроме первого и этажей, на которых вышли первый и второй пассажиры.

Событие А₄ – четвертый пассажир вышел на любом из оставшихся трех этаже, т.е. кроме первого и этажей, на которых вышли первый, второй и третий пассажиры.

Вероятность события А находим по теореме умножения, поскольку события А₁, А₂, А₃, А₄ являются зависимыми. Тогда:

где: , , , .

Отсюда:

.

б) Событие В – по крайней мере двое сошли на одном этаже.

Событие В₁ – первый пассажир вышел на любом из шести, кроме первого, этаже.

Событие В₂ – второй пассажир вышел на любом из оставшихся пяти этаже, т.е. кроме первого и этажа, на котором вышел первый пассажир.

Событие В₃ – третий пассажир вышел на любом из оставшихся четырех этаже, т.е. кроме первого и этажей, на которых вышли первый и второй пассажиры.

Событие В₄ – четвертый пассажир вышел на любом из трех этаже, на которых вышли первый, второй и третий пассажиры.

Вероятность события В находим по теореме умножения, поскольку события В₁, В₂, В₃, В₄ являются зависимыми. Тогда:

где: , , , .

Отсюда:

.

Ответ: а) 0,2778; б) 0,2778.

5. В двух партиях К₁ и К₂ % доброкачественных изделий на удачу выбирают по одному изделию из каждой партии Какова вероятность того, что среди двух изделий:

а) хотя бы одно бракованное;

б) два бракованных;

в) одно бракованное и одно доброкачественное.

Дано: К₁ = 39%, К₂ = 78%.

Решение.

Обозначим события:

Событие А – из первой партии наудачу вынули доброкачественное изделие;

Событие B - из второй партии наудачу вынули доброкачественное изделие

Вероятности этих событий соответственно равны: р₁ = 0,39 и р₂ = 0,78.

а) Пусть событий С – среди двух изделий хотя бы одно бракованное.

Рассмотрим противоположное событие  - среди двух изделий нет бракованных, то есть эти два изделия доброкачественные. Вероятность события  находим, используя теорему умножения:

Р() = р₁ · р₂ = 0,39 · 0,78 = 0,3042

Отсюда, вероятность искомого события Р(С) найдём по формуле:

Р(С) = 1 - Р() = 1 – 0,3042 = 0,6958.

б) Пусть событий D – среди двух изделий два бракованных.

Вероятность события D находим, используя теорему умножения:

Р(D) = q₁ · q₂ = (1 - р₁) · (1 - р₂) = (1 - 0,39)·(1 - 0,78) = 0,1342.

в) Пусть событий Е - одно бракованное и одно доброкачественное. Здесь необходимо рассмотреть два события: Событие  - из первой партии вынули доброкачественное изделия, а из второй – бракованное; Событие  - из первой партии вынули бракованное изделие, а из второй – доброкачественное.

Тогда:

Е = +

или Р(Е) = Р() + Р()

Вероятность события Е находим, используя теорему сложения и умножения:

Р(Е) = р₁ · q₂ + q₁ · р₂ = 0,39 · 0,22 + 0,61 · 0,78 = 0,5616

Ответ: а) 0,6958; б) 0,1342; в) 0,5616.

6. Вероятность того, что цель поражена при одном выстреле: первым стрелком равна P₁ = 0,39, а вторым стрелком - P₂ = 0,45. Первый стрелок сделал n₁ = 3 выстрелов, а второй стрелок – n₂ = 2 выстрелов. Определить Вероятность того, что цель не поражена.

Решение.

Пусть событие А - цель не поражена. Чтобы цель была не поражена, необходимо, чтобы первый стрелок, сделав 3 выстрела, ни разу не попал, и, чтобы второй стрелок, сделав 2 выстрела, тоже ни разу не попал.

Рассмотрим гипотезы:

Событие А₁ – первый стрелок промахнулся 3 раза.

Событие А₂  - второй стрелок промахнулся 2 раза.

Вероятность того, что первый стрелок промахнется при одном выстреле равна:

q₁ = 1 - p₁ = 1- 0,39 = 0,61,

а вероятность того, что второй стрелок промахнется при одном выстреле равна: q₂ = 1 - p₂ = 1- 0,45=0,55.

Тогда вероятность событий А₁ и А₂ находим по формуле Бернулли:

Тогда:

Тогда искомая вероятность события А, используя теорему умножения, равна:

Р(А) = Р(А₁)×Р(А₂) = 0,227 · 0,3025 = 0,0687.

Ответ: 0,0687.

7. Из  ламп n_i принадлежат i^-й партии (i = 1, 2, 3) бракованные лампы в первой партии составляют 6%, во второй – 5%, а в третьей – 4%. Наудачу выбирается одна лампа. Определить вероятность того, что выбранная лампа - бракованная.

Дано: n₁ = 620, n₂ = 190.

Решение.

Испытание состоит в том, что наудачу выбирают одну лампу.

Пусть событие А - выбранная лампа – бракованная. Рассмотрим гипотезы:

Событие Н₁ – выбранная лампа принадлежит 1^-й партии,

Событие Н₂ – выбранная лампа принадлежит 2^-й партии,

Событие Н₃ – выбранная лампа принадлежит 3^-й партии.

Вероятность события А находим по формуле полной вероятности:

Определяем вероятности гипотез Н₁, Н₂, Н₃ с помощью классического определения вероятности:

 ,

Для события Н₁ имеем: m₁ = 620 (количество ламп в первой партии), n =1000 (общее количество ламп); тогда вероятность события Н₁ равна:

Аналогично находим вероятности гипотез Н₂ и Н₃.

Для события Н₂ имеем: m₂ = 190, n =1000.

Для события Н₃ имеем: m₃ = 1000 - m₁  – m₂ = 1000 – 620 –190 = 190, n =1000.

Контроль:

Находим условные вероятности события А при условии, что события Н₁, Н₂, Н₃ соответственно наступили, то есть вероятности , и , по формуле:

где: k_i – число процентов бракованных ламп в i^-й партии. Тогда

Подставляя найденные вероятности в формулу полной вероятности, находим вероятность события А:

 =

= 0,62 · 0,06 + 0,19 · 0,05 + 0,19 · 0,04 = 0,0543.

Ответ: Р(А) = 0,0543.

8. В первой урне N₁ белых и M₁ чёрных шаров, во второй N₂ белых и M₂ чёрных шаров. Из первой урны во вторую переложили К шаров, затем из второй урны извлечен один шар. Определить вероятность того, что выбранный из второй урны шар – белый.

Дано: N₁ = 20, M₁ = 1, N₂ = 40, M₂ = 7, К = 15.

Решение.

Испытание состоит в том, что наудачу выбирают из второй урны шар после перекладывания из первой урны во вторую 15 шаров.

Пусть событие А - выбранный шар – белый.

Рассмотрим гипотезы:

Событие Н₁ – из первой урны во вторую переложили 15 шаров, среди которых 15 белых и ни одного чёрного;

Событие Н₂ – из первой урны во вторую переложили 15 шаров, среди которых 14 белых и 1 чёрный; Так как события Н₁, Н₂ образуют полную группу событий, и событие А может произойти с одним из этих событий, вероятность события А находим по формуле полной вероятности:

Определяем вероятности гипотез Н₁, Н₂ с помощью классического определения вероятности:

 ,

где: m_i – число исходов, благоприятствующих появлению события H_i, n – общее число равновозможных исходов испытания.

В первой урне находится (N₁ + M₁) = 20+1 =21 шар, тогда общее число равновозможных исходов испытания равняется числу способов, которыми можно вынуть 15 шаров из 21, то есть

n =

Находим вероятность гипотезы Н₁. 15 белых шаров из 20 можно выбрать  способами, а 0 чёрных из 1 -  способами, тогда число исходов, благоприятствующих появлению события Н₁, используя теорему умножения, будет равно:

m = ×=

Отсюда, вероятность события Н₁ равна:

Аналогично находим вероятности гипотез Н₂.

Для события Н₂ имеем:

m₂=×=

Отсюда, вероятность события Н₂ равна:

Контроль:

Находим условные вероятности события А при условии, что события Н₁, Н₂ соответственно наступили, то есть вероятности ,  с помощью классического определения вероятности:

 ,

где: m_i – число исходов, благоприятствующих появлению события А при условии, что событие Н_i соответственно наступило; n – общее число равновозможных исходов испытания.

При наступлении события Н₁ во второй урне станет (40+15)=55 белых и 7 чёрных шаров, всего в урне 62 шара, тогда для события A | Н₁ имеем:

m₁ = 55, a n = 62, отсюда

При наступлении события Н₂ во второй урне станет (40+14)=54 белых и (7+1)=8 чёрных шаров, всего в урне 62 шаров, тогда для события A | Н₂ имеем:

m₂ = 54, a n = 62, отсюда

Таким образом, подставляя найденные вероятности в формулу полной вероятности, находим вероятность события А:

=0,2857×0,8871 + 0,7143×0,871 = 0,8756

Ответ: Р(А) = 0,8756.

9. В альбоме k чистых и l гашеных марок. Из них наудачу извлекаются m марок (среди которых могут быть и чистые, и гашенные), подвергаются спецгашению и возвращаются в альбом. После этого вновь наудачу извлекаются n марок. Определить вероятность того, что все n марки - чистые.

Дано: k = 7, l = 5, m = 2, n = 2.

Решение.

Испытание состоит в том, что наудачу выбирают из альбома после гашения 2 марки.

Пусть событие А - все 2 марки - чистые.

Рассмотрим гипотезы:

Событие Н₁ – из альбома извлекли и подвергли спецгашению 2 чистые и ни одной гашеной марки;

Событие Н₂ – из альбома извлекли и подвергли спецгашению 1 чистую и 1 гашеную марки;

Событие Н₃ – из альбома извлекли и подвергли спецгашению ни одной чистой и 2 гашеные марки.

Так как события Н₁, Н₂, Н₃ образуют полную группу событий, и событие А может произойти с одним из этих событий, вероятность события А находим по формуле полной вероятности:

Определяем вероятности гипотез Н₁, Н₂, Н₃ с помощью классического определения вероятности:

,

где: m_i – число исходов, благоприятствующих появлению события H_i, n – общее число равновозможных исходов испытания.

Из альбома можно вынуть 2 марки из (k + l) = (7 + 5) = 12 марок -  способами, тогда общее число равновозможных исходов испытания равно:

n =

Находим вероятность гипотезы Н₁ 2 чистые марки из 7 можно выбрать  способами, а 0 гашенных из 5 -  способами, тогда число исходов, благоприятствующих появлению события Н₁, используя теорему умножения, будет равно:

m = ×=

Отсюда, вероятность события Н₁ равна:

Аналогично находим вероятности гипотез Н₂ и Н₃:

Для события Н₂ имеем:

m₂=×=

Отсюда, вероятность события Н₂ равна:

Для события Н₃ имеем:

m₃=×=

Отсюда, вероятность события Н₃ равна:

Контроль:

Находим условные вероятности события А при условии, что события Н₁, Н₂, Н₃ соответственно наступили, то есть вероятности , и  с помощью классического определения вероятности:

 ,

где: m_i – число исходов, благоприятствующих появлению события А при условии, что событие Н_i соответственно наступило; n – общее число равновозможных исходов испытания.

При наступлении события Н₁ в альбоме станет (7-2)=5 чистых и (5+2)=7 гашеных марок, всего в альбоме 12 марок, тогда для события A | Н₁ имеем: m₁ =  - число способов, которыми можно выбрать 2 чистых марки из 5. n =  - число способов, которыми можно выбрать 2 марки из 12.

Отсюда

При наступлении события Н₂ в альбоме станет (7-1)=6 чистых и (5+1)=6 гашеных марок, всего в альбоме 12 марок, тогда для события A | Н₂ имеем: m₂ =  - число способов, которыми можно выбрать 2 чистых марки из 6. n =  - число способов, которыми можно выбрать 2 марки из 12.

Отсюда

При наступлении события Н₃ в альбоме станет (7-0)=7 чистых и (5+0)=5 гашеных марок, всего в альбоме 12 марок, тогда для события A | Н₃ имеем: m₃ =  - число способов, которыми можно выбрать 2 чистых марки из 7. n =  - число способов, которыми можно выбрать 2 марки из 12.

Отсюда

Таким образом, подставляя найденные вероятности в формулу полной вероятности, находим вероятность события А:

= 0,3182 · 0,1515 + 0,5303 · 0,2273 + 0,1515 · 0,3182 = 0,217.

Ответ: Р(А) = 0,217.

10. В магазин поступают однотипные изделия с 3-х заводов, причем i–й завод поставляет m_i% изделий. Среди изделий i–го завода n_i % - первосортных. Куплено одно изделие. Оно оказалось первосортным. Найти вероятность того, что купленное изделие выпущено j-м заводом?

Дано: m₁ = 60%, m₂ = 10%, m₃ = 30%, n₁ = 80%, n₂ = 90%, n₃ = 80%, j = 3.

Решение.

Испытание состоит в том, что наудачу покупают одно изделие.

Рассмотрим событие А – изделие оказалось первосортным.

Рассмотрим гипотезы:

Событие H₁ – наудачу купленное изделие изготовлено на 1-ом заводе.

Событие H₂ – наудачу купленное изделие изготовлено на 2-ом заводе.

Событие H₃ – наудачу купленное изделие изготовлено на 3-ем заводе.

По условию задачи необходимо найти вероятность события Н₃|А, то есть события состоящего в том, что наудачу купленное изделие изготовлено на 3-ем заводе, если известно, что она первосортное.

Так как события H₁, H₂ и H₃ образуют полную группу событий, и событие А может наступить с одним из этих событий, то для нахождения вероятности события  воспользуемся формулой Байеса:

 ,

где полная вероятность события А, которая может быть определена по формуле полной вероятности:

Определяем вероятности гипотез Н₁, Н₂, Н₃ с помощью классического определения вероятности:

,

где: m_i – число исходов, благоприятствующих появлению события H_i, n – общее число равновозможных исходов испытания.

Для события Н₁ имеем: m₁ = 60% (количество изделий, изготовленных на 1-ом заводе), n = 100% (общее количество изделий); тогда вероятность события Н₁ равна:

Аналогично находим вероятности гипотез Н₂ и Н₃.

Для события Н₂ имеем: m₂ = 10% (количество изделий, изготовленных на 2-ом заводе), n = 100% (общее количество изделий); тогда вероятность события Н₂ равна:

Для события Н₃ имеем: m₃ = 30% (количество изделий, изготовленных на 3-ем заводе), n = 100% (общее количество изделий); тогда вероятность события Н₃ равна:

Контроль:

Находим условные вероятности события А при условии, что события Н₁, Н₂, Н₃ соответственно наступили, то есть вероятности , и , по формуле:

где: k_i –число стандартных изделий, изготовленных на i – заводе, m_i – общее число изделий, изготовленных на i – заводе. Тогда

Таким образом, подставляя найденные вероятности в формулу полной вероятности, находим вероятность события А:

 =

= 0,6 × 0,8 + 0,1 × 0,9 + 0,3 × 0,8 = 0,81.

Отсюда, по формуле Байеса получим: .

Ответ: .