Нахождение равновесного состояния системы

3 Нахождение равновесного состояния системы

Найдем равновесное состояние системы при следующих условиях . Подставим эти условия в систему (1), получим систему вида:

Решая систему численно, получаем равновесное состояние системы при ω₀=34.54 и μ₀=0.5. Построим графики M_c(ω) и M_g(ω,μ) при разных μ₀. На рисунке 1 жирными сплошными линиями отмечены графики M_c(ω) и M_g(ω,μ) при μ₀=0.5

Рисунок 1 – Графики функций M_c(ω) и M_g(ω,μ)

4 Численное нахождение функций ω(t) и μ(t) равновесного состояния

Для того чтобы из системы (1) найти функции ω(t) и μ(t), необходимо понизить степень системы, то есть избавиться от производных второго порядка. Для этого введем функцию Z(t)= μ'(t), получим систему вида:

(2)

Решая систему численно, получаем табличные значения ω(t) и μ(t), по которым строим графики ω(t) (рисунок 2) и μ(t) (рисунок 3). По графикам хорошо видно, что ω(t) и μ(t) стремятся к равновесным значениям ω0=31.948 и μ0=0.5, ω(t)→ 31.948, μ(t) →0.5, что соответствует вычислениям.

Рисунок 2 – График функции ω(t)

Рисунок 3 – График функции μ(t)

5 Линеаризация и численное решение разомкнутой системы

Линеаризуем систему (2) в окрестности точки равновесия. Для этого выведем систему из равновесия, придав u, μ, ω малые приращения ∆u, ∆μ, ∆ω→0. Соответственно придается приращение Z, ∆Z→0.

  (3)

Теперь разложим функции M_c(ω) и M_g(ω,μ) в ряды Тейлора по формулам:

Пренебрегая остаточными членами O_g(ω,μ) и O_c(ω), получим систему вида:

Или

(4)

Решая систему численно, получаем табличные значения ∆ω(t) и ∆μ(t), по которым строим графики ∆ω(t) (рисунок 4) и ∆μ(t) (рисунок 5).

Рисунок 4 – График ∆ω(t)

Рисунок 5 – График ∆μ(t)

6 Замкнутая система

В векторно-матричной форме линейную систему с непрерывным временем можно записать в виде:

, где

А =(5)

С дискретным временем:

X_k+1 = A_∆X_k + B_∆U_k , где

Замкнем систему, положив , где k – коэффициент регулятора. Из соотношений (3) получим , и тогда с непрерывным временем система примет вид:

, где

   (6)

С дискретным временем

, где