Найдите стандартную ошибку регрессии

7.  Найдите стандартную ошибку регрессии.

 

Решение

1.  Оценку значимости уравнения регрессии в целом дает F-критерия Фишера:

F_факт =

где m- число факторных признаков в уравнении регрессии; R – линейный коэффициент множественной корреляции.

В нашем примере F-критерий Фишера составляет

F_факт = = 249,864

F_табл = 3,42; α = 0,05.

Сравнивая F_табл и F_факт, приходим к выводу о необходимости отклонить гипотезу Н_0, так как F_табл = 3,42 < F_факт = 249,864. С вероятностью 0,95 делаем заключение о статистической значимости уравнения в целом и показателя тесноты связи R².

2.  Скорректированный коэффициент множественной корреляции находится как корень из скорректированного коэффициента множественной детерминации (R²_скорр):

R _скор = == = 0,976

3.  Линейное уравнение множественной регрессии y от x₁ и x₂ имеет вид:

4.   y = a + b₁*x₁ + b₂*x₂.

5.  По условию оно нам дано:

= - 2,229 + 0,039* x₁ + 0,303* x₂

Построим искомое уравнение в стандартизованном масштабе:

t_y = β₁*t_x1 + β₂*t_x2.

Расчет β-коэффициентов выполним по формулам:

β₁ = = = 0,345;

β₂ = = = 0,761.

Получим уравнение

t_y = 0,345*t_x1 + 0,761*t_x2.

6.  Для характеристики относительной силы влияния x₁ и x₂ на y рассчитаем средние коэффициенты эластичности:

;

= 0,552%; = 0,532%.

С увеличением валового производства молока x₁ на 1% от его среднего уровня валовая продукция сельского хозяйства y возрастает на 0,55% от своего среднего уровня; при повышении валового производства мяса x₂ на 1% валовая продукция сельского хозяйства y возрастает на 0,53% от своего среднего уровня. Очевидно, что сила влияния валового производства молока x₁ на валовую продукцию сельского хозяйства y оказалась большей, чем сила влияния валового производства мяса x₂, но правда не намного.

Частные коэффициенты корреляции рассчитываются по формуле:

 = = 0,817,

т.е. при закреплении фактора x₂ на постоянном уровне корреляция y и x₁ оказывается более высокой (0,817 против 0,717);

 = = 0,953,

т. е. при закреплении фактора x₁ на постоянном уровне влияние фактора x₂ на y оказывается более высокой (0,953 против 0,930);

 =  = - 0,692

7.  Результаты дисперсионного анализа представлены в табл. 2.1.

Таблица 2.1

Вариация результата, y	Число степеней свободы	Сумма квадратов отклонений, S	Дисперсия на одну степень свободы, s2	Fфакт	Fтабл α =0,05, k1 = 2, k2 = 23
Общая	Df = n-1 = 25	35113	-	-	-
Факторная - за счет x1 - за счет дополнительногоx2	k1 = m = 2 1 1	33568,028 18051,207 15516,821	16784,014 18051,207 15516,821	249,864 268,728 230,999	3,42 4,28 4,28
Остаточная	k2 = n-m-1 = 23	1544,972	67,173	-	-

S_общ = = 1350,5 * 26 = 35113;

S_факт = = 1350,5 * 26 * 0,956 = 33568,028;

S_{факт x1} == 1350,5 * 26 * 0,717² = 18051,207;

S_{факт x2} = S_факт - S_{факт x1} = 33568,028 – 18051,207 = 15516,821;

S_ост = = S_общ - S_факт = 35113 – 33568,028 = 1544,972;

F_факт =  = = 249,864;

F_фактx1 = =  = 268,728;

F_частнx2 = =  = 230,999.

= 16784,014;

= 15516,821;

= 18051,207

Включение в модель фактора x₂ после фактора x₁ оказалось статистически значимым и оправданным: прирост факторной дисперсии (в расчете на одну степень свободы) оказался существенным, т. е. следствием дополнительного включения в модель систематически действующего фактора x₂, так как F_частнx2 = 230,999 > F_табл = 4,28.

8.  Оценка с помощью t-критерия Стьюдента значимости коэффициента b₂ связана с сопоставлением его значения с величиной его случайной ошибки: m_b2.

Расчет значения t-критерия Стьюдента для коэффициента регрессии линейного уравнения находится по следующей формуле:

= 15,199.

При α = 0,05; df = n-m-1 = 26-2-1 = 23; t_табл = 2,07. Сравнивая t_табл и t_факт, приходим к выводу, что так как = 15,199 > 2,07 = t_табл, коэффициент регрессии b₂ является статистически значимым, надежным, на него можно опираться в анализе и в прогнозе.

9.  Стандартная ошибка регрессии рассчитывается по следующей формуле:

 =  = 8,196.

 

Задача 3

Рассматривается модель вида

где

С_t – расходы на потребление в текущий период,

С_t-1 – расходы на потребление в предыдущий период,

R_t – доход текущего периода,

R_t-1 – доход предыдущего периода,

Y_t – инвестиции текущего периода.

Ей соответствует следующая приведенная форма (построена по районам области)

Задание

1.  Проведите идентификацию модели.

2.  Укажите способы оценки параметров каждого уравнения структурной модели.

3.  Найдите структурные коэффициенты каждого уравнения, если известны следующие данные:

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Yt	4	4	6	10	9	8	7	6	8	12	8	16
Сt	14	13	15	20	20	14	16	12	12	21	12	17
Rt-1	15	14	16	22	26	18	18	15	19	28	18	26
Сt-1	12	11	12	15	17	12	14	10	11	20	12	16

 

Решение

1.  Модель имеет три эндогенные Н (С_t, Y_t, R_t). Причем переменная R_t задана тождеством. Поэтому практически статистическое решение необходимо только для первых двух уравнений системы, которые необходимо проверить на идентификацию. Модель содержит две предопределенные D (С_t-1, R_t-1) переменные.

Проверим каждое уравнение системы на необходимое и достаточное условия идентификации.

Проверим необходимое условие идентификации для уравнений модели.

I уравнение.

Н: эндогенных переменных – 2 (С_t, R_t), отсутствующих предопределенных переменных – 1 (R_t-1).

Следовательно, по счетному правилу D + 1 = H (1 + 1 = 2) уравнение идентифицируемо.

II уравнение.

Н: эндогенных переменных – 1 (Y_t); переменная R_t в данном уравнении не рассматривается как эндогенная, так как она участвует в уравнении не самостоятельно, а вместе с переменной R_t-1.

отсутствующих предопределенных переменных – 1 (С_t-1).

Следовательно, по счетному правилу D + 1 > H (1 + 1 > 1) уравнение сверхидентифицировано.

III уравнение.

Третье уравнение представляет собой тождество, параметры которого известны. Необходимости в его идентификации нет.

Следовательно, рассматриваемая в целом структурная модель сверхидентифицируема по счетному правилу.

Проверим для каждого из уравнений достаточное условие идентификации.

Для этого составим матрицу коэффициентов при переменных модели:

	Сt	Yt	Rt	Rt-1	Сt-1
I уравнение	-1	0	b11	0	b12
II уравнение	0	-1	b21	-b21	0
III уравнение	1	1	-1	0	0

В соответствии с достаточным условием идентификации определитель матрицы коэффициентов при переменных, не входящих в исследуемое уравнение, не должен быть равен нулю, а ранг матрицы должен быть равен числу эндогенных переменных модели минус 1, т. е. 3-1=2.

I уравнение.

Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид:

Уравнение	Отсутствующие переменные
	Yt	Rt-1
Второе	-1	-b21
Третье	1	0

Определитель матрицы не равен 0 (Det A = -1*0 – (1*-b₂₁) 0), ранг матрицы равен 2; следовательно, выполняется достаточное условие идентификации.

II уравнение.

Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид:

Уравнение	Отсутствующие переменные
	Сt	Сt-1
Первое	-1	b12
Третье	1	0

Определитель матрицы не равен 0 (Det A = -1*0 – (1*b₁₂) 0.), ранг матрицы равен 2; следовательно, выполняется достаточное условие идентификации.