Первое уравнение идентифицируемое, следовательно, для его решения применяется косвенный метод наименьших квадратов

2.  Первое уравнение идентифицируемое, следовательно, для его решения применяется косвенный метод наименьших квадратов.

Косвенный метод наименьших квадратов (МНК):

-  Составить приведенную форму модели и определить численные значения параметров каждого уравнения системы обычным МНК.

-  Путем алгебраических преобразований переходим от приведенной формы к уравнениям структурной формы модели и получаем численные оценки структурных параметров.

Для решения второго уравнения, а оно у нас сверхидентифицируемое, применяется – двухшаговый метод наименьших квадратов.

Двушшаговый метод:

- Составить приведенную форму модели и определить численные значения параметров каждого уравнения системы обычным МНК.

- Выявляем эндогенные переменные, находящиеся в правой части структурного уравнения, параметры которого определяют двухшаговым МНК, и находим расчетные значения по соответствующим уравнениям приведенной формы модели.

- Обычным МНК определяем параметры структурного уравнения, используя в качестве исходных данных фактические значения предопределенных переменных и расчетные значения эндогенных переменных, стоящих в правой части данного структурного уравнения.

3. Найдем структурные коэффициенты первого и второго уравнений на основании исходных данных.

Составим расчетную таблицу (R_t = C_t + Y_t ; обозначим d R_t = R_t - R_t-1).

Таблица 3.1 Расчетная таблица

№	Yt	Ct	Rt-1	Ct-1	Rt	dRt	Yt*dRt	(dRt)2	(Rt)2	(Ct-1*Rt	Ct*Rt	(Ct-1)2	Ct*Ct-1
1	4	14	15	12	18	3	12	9	324	216	252	144	168
2	4	13	14	11	17	3	12	9	289	187	221	121	143
3	6	15	16	12	21	5	30	25	441	252	315	144	180
4	10	20	22	15	30	8	80	64	900	450	600	225	300
5	9	20	26	17	29	3	27	9	841	493	580	289	340
6	8	14	18	12	22	4	32	16	484	264	308	144	168
7	7	16	18	14	23	5	35	25	529	322	368	196	224
8	6	12	15	10	18	3	18	9	324	180	216	100	120
9	8	12	19	11	20	1	8	1	400	220	240	121	132
10	12	21	28	20	33	5	60	25	1089	660	693	400	420
11	8	12	18	12	20	2	16	4	400	240	240	144	144
12	16	17	26	16	33	7	112	49	1089	528	561	256	272
∑	98	186	235	162	284	49	442	245	7110	4012	4594	2284	2611

Коэффициенты уравнений найдем методом наименьший квадратов:

(решение системы найдено в программе MATLAB)

Таким образом, получена система структурных уравнений

 

Задача 4

Динамика номинальной среднемесячной заработной платы одного работника области характеризуется следующими данными:

Месяц	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Тыс. руб.	3,2	3,1	3,5	3,5	3,7	4,0	4,1	4,0	4,1	4,2	4,3	5,4

Задание

1.  Определите коэффициент автокорреляции первого порядка и дайте его интерпретацию.

2.  Постройте линейное уравнение тренда. Дайте интерпретацию параметрам.

3.  С помощью критерия Дарбина – Уотсона сделайте выводы относительно автокорреляции в остатках в рассматриваемом уравнении.

4.  Дайте интервальный прогноз ожидаемого уровня номинальной заработной платы на январь следующего года.

 

Решение

1.  Коэффициент автокорреляции первого порядка рассчитывается по следующей формуле:

где ;

Для расчета коэффициента автокорреляции первого порядка составим расчетную таблицу:

Таблица 4.1 Расчетная таблица

t	yt	yt-1
1	3,2	-	-	-	-	-	-
2	3,1	3,2	-0,9	2,8	-2,5	7,9	0,8
3	3,5	3,1	-0,5	2,7	-1,3	7,3	0,2
4	3,5	3,5	-0,5	3,1	-1,5	9,7	0,2
5	3,7	3,5	-0,3	3,1	-0,9	9,7	0,1
6	4,0	3,7	0,0	3,3	0,0	11,0	0,0
7	4,1	4,0	0,1	3,6	0,4	13,0	0,0
8	4,0	4,1	0,0	3,7	0,0	13,8	0,0
9	4,1	4,0	0,1	3,6	0,4	13,0	0,0
10	4,2	4,1	0,2	3,7	0,8	13,8	0,0
11	4,3	4,2	0,3	3,8	1,2	14,5	0,1
12	5,4	4,3	1,4	3,9	5,5	15,3	2,0
Итого	47,1	41,7	0,0	37,3	2,1	129	3,4

= 3,991;

= 0,391.

Коэффициент автокорреляции первого порядка равен:

= = 0,1.

Это значение (0,1) свидетельствует о слабой зависимости текущих уровней ряда от непосредственно им предшествующих уровней, т. е. слабой зависимости между номинальной среднемесячной заработной платы текущего и непосредственно предшествующего месяца.

2.  Линейное уравнение трендов имеет вид:

Параметры a и b этой модели определяются обычным МНК. Система нормальных уравнений следующая:

По исходным данным составит расчетную таблицу:

Таблица 4.2 Расчетная таблица

	t	y	yt	t2
	1	3,2	3,2	1
	2	3,1	6,2	4
	3	3,5	10,5	9
	4	3,5	14	16
	5	3,7	18,5	25
	6	4	24	36
	7	4,1	28,7	49
	8	4	32	64
	9	4,1	36,9	81
	10	4,2	42	100
	11	4,3	47,3	121
	12	5,4	64,8	144
Итого	78	47,1	328,1	650
Средние	6,5	3,925	27,342	54,167

Система нормальных уравнений составит:

Используем следующие формулы для нахождения параметров:

= 0,153;

 = 2,927.

Линейное уравнение трендов

 = 2,927 + 0,153* t

Параметр b = 0,153 означает, что с увеличение месяца на 1 месяц номинальная среднемесячная заработная плата увеличивается в среднем на 0,153 тыс. руб.

3.  Для оценки существенности автокорреляции остатков используют критерий Дарбина – Уотсона:

Коэффициент автокорреляции остатков первого порядка может определятся как:

Для каждого момента (периода) времени t = 1 : n значение компонента  определяется как

Составим расчетную таблицу

Таблица 4.3 Расчетная таблица

	t	y
	1	3,2	3,080	0,120	-	-	-	0,014	-	-
	2	3,1	3,233	-0,133	0,120	-0,253	0,064	0,018	0,018	-0,016
	3	3,5	3,386	0,114	-0,133	0,247	0,061	0,013	0,013	-0,015
	4	3,5	3,539	-0,039	0,114	-0,153	0,023	0,002	0,002	-0,004
	5	3,7	3,692	0,008	-0,039	0,047	0,002	0,000	0,000	0,000
	6	4	3,845	0,155	0,008	0,147	0,022	0,024	0,024	0,001
	7	4,1	3,998	0,102	0,155	-0,053	0,003	0,010	0,010	0,016
	8	4	4,151	-0,151	0,102	-0,253	0,064	0,023	0,023	-0,015
	9	4,1	4,304	-0,204	-0,151	-0,053	0,003	0,042	0,042	0,031
	10	4,2	4,457	-0,257	-0,204	-0,053	0,003	0,066	0,066	0,052
	11	4,3	4,610	-0,310	-0,257	-0,053	0,003	0,096	0,096	0,080
	12	5,4	4,763	0,637	-0,310	0,947	0,897	0,406	0,406	-0,197
Σ							1,145	0,714	0,7	-0,067

Критерий Дарбина – Уотсона равен   = 1,604.

Коэффициент автокорреляции равен = - 0,096.

Фактическое значение d сравниваем с табличными значениями при 5%-ном уровне значимости. При n = 12 месяцев и m = 1 (число факторов) нижнее значение d^’ равно 0,97, а верхнее – 1,33. Фактическое значение d=1,604 > d^’=1,33, следовательно, автокорреляция остатков отсутствует.

Чтобы проверить значимость отрицательного коэффициента автокорреляции, сравним фактическое значение d с (4-d_L) и (4-d_U):

	4-dL	4-dU
1,604	3,03	2,67

Из таблицы видно, что в обоих случаях фактическое значение меньше сравниваемых. Это означает отсутствие в остатках автокорреляции.

Так же принято считать, что если фактическое значение d близко к 2, то автокорреляции остатков нет. В нашем примере это совпадает.

4.  В соответствии с интерпретацией параметров линейного тренда, каждый последующий уровень ряда есть сумма предыдущего уровня и среднего цепного абсолютного прироста. Тогда:

а) Точечный прогноз составит:

Точечный прогноз по уравнению тренда – это расчетное значение переменной , полученное путем подстановки в уравнение тренда значений

(n – длина динамического ряда, l – период упреждения).

 = 2,927 + 0,153* (12 + 1) = 4,916 (тыс. руб.)

ожидаемый уровень номинальной заработной платы на январь следующего года.

б) Интервальный прогноз составит:

Доверительный интервал прогноза определяется с вероятностью 0,95, как:

 ;

где, t_табл=2,2281 - табличное значение t-критерия Стьюдента для уровня значимости α=0,05 и числа степеней свободы (n – 2 = 12 – 2 = 10); - стандартная ошибка точечного прогноза, которая рассчитывается по формуле:

Данные необходимые для расчета представим в таблице.

Таблица 4.4 Расчетная таблица

	t	y				2		2		2
1	1	3,2	3,080	2	-4,5	20,25	0,120	0,014	-5,5	30,25
2	2	3,1	3,233	3	-3,5	12,25	-0,133	0,018	-4,5	20,25
3	3	3,5	3,386	4	-2,5	6,25	0,114	0,013	-3,5	12,25
4	4	3,5	3,539	5	-1,5	2,25	-0,039	0,002	-2,5	6,25
5	5	3,7	3,692	6	-0,5	0,25	0,008	0,000	-1,5	2,25
6	6	4	3,845	7	0,5	0,25	0,155	0,024	-0,5	0,25
7	7	4,1	3,998	8	1,5	2,25	0,102	0,010	0,5	0,25
8	8	4	4,151	9	2,5	6,25	-0,151	0,023	1,5	2,25
9	9	4,1	4,304	10	3,5	12,25	-0,204	0,042	2,5	6,25
10	10	4,2	4,457	11	4,5	20,25	-0,257	0,066	3,5	12,25
11	11	4,3	4,610	12	5,5	30,25	-0,310	0,096	4,5	20,25
12	12	5,4	4,763	13	6,5	42,25	0,637	0,406	5,5	30,25
Σ	78	47,1	47,058				0,042	0,714		143
Сред	6,5

 = 0,714 - остаточная сумма квадратов.

 = 0,267 – среднее квадратическое отклонение остаточной суммы квадратов

 = 0,313

Таким образом, прогнозируемый уровень номинальной заработной платы на январь следующего года составит

  = 4,916 ± 2,2281*0,313 = 4,916 ± 0,697 тыс. руб.

Выполненный прогноз уровня номинальной заработной платы на январь следующего года оказался надежным (р = 1 - = 0,95), и не точным, так как диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала D_γ составляет 1,33 раза

D_γ = γ_mаx / γ_min = 5,613 / 4,219 = 1,33.

Задача 5

Динамика численности незанятых граждан и объема платных услуг населению в регионе характеризуется следующими данными

Месяц	Число незанятых граждан тыс.чел .,x1	Объем платных услуг населению млрд.руб., y1
Январь	44,0	6,5
Февраль	45,5	7,0
Март	47,9	7,0
Апрель	48,3	7,4
Май	49,1	7,5
Июнь	49,9	7,2
Июль	50,5	7,5
Август	51,9	7,9
Сентябрь	52,3	8,2
Октябрь	52,3	8,5
Ноябрь	53,5	8,9
Декабрь	54,7	9,2

В результате аналитического выравнивания получены следующие уравнения трендов и коэффициент детерминации(t=1÷12):

А) для объема платных услуг населению

Ŷ₁=6,3061+0,2196t ,R²=0,9259

Б) для численности незанятых граждан

̂х₁=43,724+0,8937t , R²=0,989

Задание