Опис програми

4. Опис програми

Призначення програми. Використовуючи програму, код модуля якої наведений у додатку B, можна розв’язувати задачі на узгодженість простої параметричної гіпотези із реалізаціями великих вибірок. Перевірка узгодженості проводиться на основі критерію відношення правдоподібності для великих вибірок. Умови застосування. Програма коректно працює на IBM – сумісних комп’ютерах з такими характеристиками: Celeron 2.26/MB ASUS P4VM-800 /DDR 1.5Gb PC3200/ HDD 330 Gb 7200 rpm/ Radeon 9250 128/128, під операційною системою – Windows XP Professional SP3 із встановленим програмним забезпеченням – середовищем розробки - Delphi 7.

Опис задачі та вихідні дані. У додатку C наводяться три результати виконання програми. У першому випадку при вводі даних вручну потрібно вказати у відповідні поля кількість різних значень випадкової величини та рівень значущості. У таблицю вводяться частоти і ймовірності, з якими випадкова величина набуває відповідні значення. У другому випадку розглядається подібна задача, тільки тут дані зчитуються з файлу. У третьому випадку програма сама генерує вибірку з нормального розподілу і перевіряється гіпотеза про значення математичного сподівання і дисперсії цього розподілу, причому на формі вказується значення математичного сподівання, дисперсії і рівня значущості. Текст програми. У додатку B наведений код модуля програми, оскільки при написанні програми використано візуальне середовище Delphi 7. Результати. У додатку C наведені результати виконання програми на різних контрольних прикладах.

Висновки

У курсовій роботі було розглянуто один із критеріїв відношення правдоподібності, а саме: критерій відношення правдоподібності для великих вибірок, його теоретичне обґрунтування, застосування до розв’язування практичних задач. Проте, як і будь-який інший статистичний критерій, він має свої переваги і недоліки, які визначають його практичну цінність. Тому розглянемо їх.

Критерії відношення правдоподібності мають широке практичне застосування з огляду на такі їхні властивості( які мають місце у широкому класі задач), як:

1.  Критерії відношення правдоподібності є найбільш потужними серед усіх інших можливих критеріїв( лема Неймана - Пірсона).

2.  Щільність розподілу критичної статистики можна легко отримати із функції правдоподібності спостережуваної випадкової величини( у випадку застосування цих критеріїв до перевірки гіпотез для великих вибірок, користуються асимптотичною щільністю хі -квадрат розподілу).

Однак, варто відзначити, що ці критерії мають ряд недоліків, які дещо звужують коло застосувань цих методів. Одним із головних недоліків є вимога регулярності функцій правдоподібності, що не завжди має місце на практиці. Інші два недоліки мають місце при застосуванні будь-яких статистичних критеріїв. Це так звані ефекти "надто малого об’єму вибірки" та ефекти "надто великого об’єму вибірки".

Ефект " надто малого об’єму вибірки" полягає у тому, що при заданому рівні значущості критерію  і малій кількості спостережень( ), на основі яких отримують потужність критерію, тобто ймовірність відхилити нульову гіпотезу  у випадку, коли вона насправді хибна, є дуже малою. У такому випадку застосовують два підходи: або дещо збільшують значення рівня значущості критерію ( що, у свою чергу, призводить до зменшення похибки другого роду, але одночасного збільшення похибки першого роду), або збільшують об’єм вибірки .

Ефект "надто великого об’єму вибірки" полягає у тому, що при великих значеннях  надзвичайно сильно зростає чутливість критерію до емпіричних результатів, і в таких випадках висунута гіпотеза практично завжди відхиляється критерієм. Для того, щоб уникнути ефекту великої вибірки, апріорне визначення характеристик критерію( рівня значущості  і похибки другого роду ) потрібно пов’язувати з об’ємом вхідних даних . Виграш у чутливості критерію, який отримується при зростанні , доцільно використати для зменшення як , так і . Зокрема, якщо при збільшенні  зменшувати , то дуже малі відхилення від  вже не приведуть до обов’язкової неузгодженості  з емпіричними даними: ймовірність цього факту буде залежати від того, з якою швидкістю зменшується  при зростанні .

Список використаної літератури

1.  Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика. Основы моделирования и первичная обработка данных. Справочное пособие. – М.: Финансы и статистика, 1983. – 471 с.

2.  Ефимов А.В. Сборник задач по математике для втузов. Специальные курсы. Т.3. – М.: Наука, 1984. – 608 с.

3.  Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Математическая статистика. – М.: Высш. шк., 1984. – 248 с.

4.  Ружевич Н.А. Математична статистика. – Львів: Львівська політехніка, 2001. – 168 с.

Додаток А. Використані статистичні таблиці

Таблиця значень  квантилей для хі – квадрат розподілу з  ступенями вільності

0,1	0,3	0,5	0,7	0,9	0,95	0,999	0,9999
0,016	0,148	0,455	1,07	2,71	3,84	6,63	10,8
0,211	0,713	1,39	2,41	4,61	5,99	9,21	13,8
0,584	1,42	2,37	3,67	6,25	7,82	11,3	16,3
1,06	2,20	3,36	4,88	7,78	9,49	13,3	18,5
1,61	3,00	4,35	6,06	9,24	11,1	15,1	20,5
2,20	3,83	5,35	7,23	10,6	12,6	16,8	22,5
2,83	4,67	6,35	8,38	12,0	14,1	18,5	24,3
3,49	5,53	7,34	9,52	13,4	15,5	20,1	26,1
4,17	6,39	8,34	10,7	14,7	16,9	21,7	27,9
4,87	7,27	9,34	11,8	16,0	18,3	23,2	29,6
5,58	8,15	10,3	12,9	17,3	19,7	24,7	31,3
6,30	9,03	11,3	14,0	18,5	21,0	26,2	32,9
7,04	9,93	12,3	15,1	19,8	22,4	27,7	34,5
7,79	10,08	13,3	16,2	21,1	23,7	29,1	36,1
8,55	11,7	14,3	17,3	22,3	25,0	30,6	37,7
9,31	12,6	15,3	18,4	23,5	26,3	32,0	39,3
10,09	13,5	16,3	19,5	24,8	27,6	33,4	40,8
10,9	14,4	17,3	20,6	26,0	28,9	34,8	42,3
11,7	15,4	18,3	21,7	27,2	30,1	36,2	43,8
12,4	16,3	19,3	22,8	28,4	31,4	37,6	45,3
13,2	17,2	20,3	23,9	29,6	32,7	38,9	46,8
14,0	18,1	21,3	24,9	30,8	33,9	40,3	48,3
14,8	19,0	22,3	26,0	32,0	35,2	41,6	49,7
15,7	19,9	23,3	27,1	33,2	36,4	43,0	51,2
16,5	20,9	24,3	28,2	34,3	37,7	44,3	52,6
17,3	21,8	25,3	29,2	35,6	38,9	45,6	54,1
18,1	22,7	26,3	30,3	36,7	40,1	47,0	55,5
18,9	23,6	27,3	31,4	37,9	41,3	48,3	56,9
19,8	24,6	28,3	32,5	39,1	42,6	49,6	58,3
20,6	25,5	29,3	33,5	40,3	43,8	50,9	59,7

Додаток B. Текст програми, що реалізує застосування критерію відношення правдоподібності для великих вибірок

unit Unit1;

interface

uses

Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,

Dialogs, StdCtrls, Grids, ExtCtrls, Math;

type

TFrm = class(TForm)

GrpBox_HandEnter: TGroupBox;

RdoGrp_CaseEnter: TRadioGroup;

RdBtn_FileRead: TRadioButton;

RdBtn_HandEnter: TRadioButton;

StrGrd: TStringGrid;

Lbl_LevelMean: TLabel;

Cmb_LevelMean: TComboBox;

Lbl_CountValue: TLabel;

Cmb_CountValue: TComboBox;

GrpB_Result: TGroupBox;

Memo_WriteResult: TMemo;

Button1: TButton;

OpnDg: TOpenDialog;

RdB_CompGenerate: TRadioButton;

Edt_Average: TEdit;

Edt_Dispersion: TEdit;

Lbl_Average: TLabel;

Lbl_Dispersion: TLabel;

procedure Button1Click(Sender: TObject);

procedure RdBtn_HandEnterClick(Sender: TObject);

procedure Cmb_CountValueChange(Sender: TObject);

procedure RdBtn_FileReadClick(Sender: TObject);

procedure RdB_CompGenerateClick(Sender: TObject);

procedure Edt_AverageChange(Sender: TObject);

procedure Edt_DispersionChange(Sender: TObject);

private

{ Private declarations }

public

{ Public declarations }

end;

var

Frm: TFrm;

List:TStringList;

implementation

{$R *.dfm}

Function Factorial(N:Integer):Integer;

var s:Integer;

begin

s:=1;

if(N>0) then

while (N>0) do

begin

s:=N*s;

N:=N-1;

end;

Result:=s;

end;

function FactorialHalf(N:Integer):Double;

var s:Double;

begin

s:=1;

if(N>=0) then

begin

while (N>=0) do

begin

s:=(1./2+N)*s;

N:=N-1;

end;

end;

Result:=s;

end;

Function Abs(s:Double):Double;

begin

if(s>0) then

Abs:=s

else

Abs:=-s;

end;

function FindCriticalPoint(N: Integer): Double;

var Gamma,Integral,c, h,level_mean: Double;

i: Integer; NumPointsIntegrate:LongInt;

begin

c:=0.1; i:=0; Integral:=0;h:=c/2;

level_mean:= StrToFloat(Frm.Cmb_LevelMean.Text);

NumPointsIntegrate:=1000;

if(((N-1) mod 2)=1) then

Gamma:=Power(ArcCos(-1),1./2)*FactorialHalf(((N-1)div 2)-1)

else

Gamma:=Factorial(((N-1) div 2)-1);

while(Abs(((1-level_mean) -Integral/(Gamma*Power(2,0.5*(N-1)))))>0.00001) do

begin

Integral:=0;

for i:=1 to NumPointsIntegrate do

Integral:=Integral+ (c/(NumPointsIntegrate))*Power(i*c/(NumPointsIntegrate),(0.5*N-1.5))*exp(-i*c/(2*NumPointsIntegrate));

if ((((1-level_mean) )-Integral/(Gamma*Power(2,0.5*(N-1)))))>0 then

begin

c:=c+h ;

NumPointsIntegrate:=NumPointsIntegrate+100;

end

else

begin

c:=c-h;

h:=h/10;

c:=c+h;

end;

end;

FindCriticalPoint:=c;

end;

function EvaluteStatistic(aOfValues:Array of Double; aOfProbabil:Array of Double; CountVal:Integer; f:Boolean):Double;

var i,n:Integer;

s,sum,s_2,disp,aver:Double;

begin

s:=0; n:=0;

sum:=0;

if(not f) then

begin

for i:=0 to CountVal-1 do

sum:=sum+aOfValues[i];

for i:=0 to CountVal-1 do

s:=s+2*aOfValues[i]*LnXP1(aOfValues[i]/(sum*aOfProbabil[i])-1);

Result:=s;

end

else

begin

for i:=1 to Frm.StrGrd.ColCount-1 do

if(Frm.StrGrd.Cells[i,2]<>'') then

begin

s:=s+Power(StrToFloat(Frm.StrGrd.Cells[i,1]),2);

sum:=sum+StrToFloat(Frm.StrGrd.Cells[i,1]);

n:=n+StrToInt(Frm.StrGrd.Cells[i,2]);

end;

s_2:=(s/n)-Power(sum/n,2);

disp:= StrToFloat(Frm.Edt_Dispersion.Text);

aver:= StrToFloat(Frm.Edt_Average.Text);

Result:=n*LnXP1((disp/s_2)-1)-n+s/disp-2*sum*aver/disp+n*Power(aver,2)/disp;//n*LnXP1((disp/s_2)-1);

end;

end;

procedure TFrm.Button1Click(Sender: TObject);

var ValArr:array of Double; ProbArray:array of Double;

i:Integer; s:TStringList; st,critical_point:Double;

begin

if(RdBtn_HandEnter.Checked ) then

begin

SetLength(ValArr,StrGrd.ColCount-1);

SetLength(ProbArray,StrGrd.ColCount-1);

For i:=0 to StrGrd.ColCount-2 do

begin

try

ValArr[i]:=StrToFloat(StrGrd.Cells[i+1,1]);

ProbArray[i]:= StrToFloat(StrGrd.Cells[i+1,2]);

finally end;

end;

end

else

if (RdBtn_FileRead.Checked ) then

begin

s:= TStringList.Create;

s.Text:=StringReplace(List[0],' ',#13#10,[rfReplaceAll]);

SetLength(ValArr,s.Count);

Cmb_CountValue.Text := IntToStr(s.Count );

RdBtn_HandEnter.Checked :=false;

for i:=0 to s.Count-1 do

ValArr[i]:=StrToFloat(s[i]);

s.Text:=StringReplace(List[1],' ',#13#10,[rfReplaceAll]);

SetLength(ProbArray,s.Count);

for i:=0 to s.Count -1 do

ProbArray[i]:=StrToFloat(s[i]);

end;

Memo_WriteResult.Lines.Clear();

Memo_WriteResult.Lines.Add('Значення статистики критерію:');

if(RdBtn_HandEnter.Checked ) then

begin

st:=EvaluteStatistic(ValArr, ProbArray, StrGrd.ColCount-1,false);

Memo_WriteResult.Lines.Add(FloatToStr(st));

end

else

if (RdBtn_FileRead.Checked ) then

begin

st:=EvaluteStatistic(ValArr, ProbArray,s.Count,false );

Memo_WriteResult.Lines.Add(FloatToStr(st));

end

else

begin

st:=EvaluteStatistic(ValArr, ProbArray,0,true);

Memo_WriteResult.Lines.Add(FloatToStr(st));

end;

Memo_WriteResult.Lines.Add('Значення критичної точки:');

if(RdB_CompGenerate.Checked )then

critical_point:=FindCriticalPoint(3)

else

critical_point:=FindCriticalPoint(StrToInt(Frm.Cmb_CountValue.Text));

Memo_WriteResult.Lines.Add(FloatToStr(critical_point));

if(st<critical_point) then

Memo_WriteResult.Lines.Add('Висновок: гіпотеза не суперечить реалізації вибірки.')

else

Memo_WriteResult.Lines.Add('Висновок: гіпотеза суперечить реалізації вибірки.');

end;

procedure TFrm.RdBtn_HandEnterClick(Sender: TObject);

var i:Integer;

begin

Memo_WriteResult.Lines.Clear();

Edt_Average.Visible:=false; Lbl_Average.Visible:=false;Cmb_CountValue.Visible:=true;

Edt_Dispersion.Visible: = false; Lbl_Dispersion. Visible: = false;Lbl_CountValue.Visible :=true;

StrGrd.ColCount:=StrToInt(Cmb_CountValue.Text )+1;

for i:=1 to StrGrd.ColCount do

StrGrd.Cols[i].Text:='x'+IntToStr(i);

StrGrd.RowCount:=3;

StrGrd.Rows[1].Text:='Частоти';

StrGrd.Rows[2].Text:='Ймовірності';

end;

procedure TFrm.Cmb_CountValueChange(Sender: TObject);

begin

RdBtn_HandEnterClick( Sender);

RdBtn_HandEnter.Checked:=true;

end;

procedure TFrm.RdBtn_FileReadClick(Sender: TObject);

begin

Memo_WriteResult.Lines.Clear();

Edt_Average.Visible:=false; Lbl_Average.Visible:=false;Cmb_CountValue.Visible:=false;

Edt_Dispersion.Visible:= false; Lbl_Dispersion.Visible:=false;Lbl_CountValue.Visible :=false;

List:= TStringList.Create;

if OpnDg.Execute then

List.LoadFromFile(OpnDg.FileName );

end;

function SetGaussNumber(a:String):Boolean;

var i:Integer;

begin

SetGaussNumber:=false;

for i:=1 to Frm.StrGrd.ColCount-1 do

begin

if( Frm.StrGrd.Cells[i,0]<>'') then

begin

if(Frm.StrGrd.Cells[i,2]='') then

Frm.StrGrd.cells[i,2]:='1';

if(Frm.StrGrd.Cells[i,1]=a) then

begin

Frm.StrGrd.cells[i,2]:=IntToStr(StrToInt(Frm.StrGrd.cells[i,2])+1);

SetGaussNumber:=true;

end

end;

end;

end;

procedure TFrm.RdB_CompGenerateClick(Sender: TObject);

var i:Integer;

begin

Memo_WriteResult.Lines.Clear();

Randomize;

StrGrd.Rows[1].Text:='Значення';

StrGrd.Rows[2].Text:='Частоти';

Edt_Average.Visible:=true; Lbl_Average.Visible:=true;Cmb_CountValue.Visible:=false;

Edt_Dispersion.Visible:= true; Lbl_Dispersion.Visible:=true;Lbl_CountValue.Visible :=false;

for i:=0 to 50 do

begin

if StrGrd.Col <i+1 then

StrGrd.ColCount:=StrGrd.ColCount+1;

if(not(SetGaussNumber(FloatToStr(StrToFloat(Frm.Edt_Average.Text)+RandG(0 ,1)*Power(StrToFloat(Frm.Edt_Dispersion.Text),1./2))))) then //StrToFloat(Frm.Edt_Average.Text) ,StrToFloat(Frm.Edt_Dispersion.Text )

begin

StrGrd.Cells[i+1,0]:='x'+IntToStr(i+1);

StrGrd.Cells[i+1,1]:=FloatToStr(StrToFloat(Frm.Edt_Average.Text)+RandG(0 ,1)*Power(StrToFloat(Frm.Edt_Dispersion.Text),1./2));

StrGrd.Cells[i+1,2]:='1';

end;

end;

end;

procedure TFrm.Edt_AverageChange(Sender: TObject);

begin

RdB_CompGenerate.Checked:=false;

RdB_CompGenerate.Checked:=true;

end;

procedure TFrm.Edt_DispersionChange(Sender: TObject);

begin

RdB_CompGenerate.Checked:=false;

RdB_CompGenerate.Checked:=true;

end;

end.

Додаток C. Результати виконання програми

Результати одержані при ручному вводі:

Результати отримані при зчитуванні з файлу:

Дані згенеровані комп’ютером: