Співвідношення невизначеностей. Межі використання

1.1.3. Співвідношення невизначеностей. Межі використання

законів класичної фізики

В класичній механіці траєкторія руху тіла характеризується точними значеннями координати x(t) і імпульсу p(t) в довільний момент часу t, причому ці два параметри зв’язані між собою. Наприклад, рівномірний і прямолінійний рух тіла масою m з швидкістю u виражається координатою х(t) = ut і імпульсом p(t)=mu, звідки одержуємо, що х(t)= p(t)t /m.

В мікросвіті частинки проявляють при одних умовах хвильові властивості, при інших умовах - корпускулярні. Якщо виходити лише з корпускулярних властивостей , то згідно теорії Н. Бора можна визначити точне значення координати частинки в просторі. У випадку хвильових властивостей елементарних частинок поняття координати хвилі немає фізичного змісту.

В квантовій фізиці з урахуванням хвильових властивостей частинок показано, що у частинки не існує одночасно точних значень координат і імпульсу і що ці величини між собою навіть не пов’язані. Якщо імпульс частинки має точне значення, то її місце знаходження невизначене і навпаки. Така закономірність мікросвіту відображена співвідношеннями невизначеностей Гейзенберга.

Розглянемо дифракцію електронів на одній щілині. Нехай пучок електронів з швидкістю u летить в напрямі осі OY так, як це показано на рис. 1.4.

Рис.1.4

Екран АВ з щілиною шириною d розміщено перпендикулярно до пучкаa. На другому екрані СД одержано розподіл інтенсивності, який співпадає з розподілом інтенсивності при дифракції світла від однієї щілини. На рис. 1.4 цей розподіл зображено пунктирною лінією. Максимум нульового порядку одержано при куті дифракції j, який задовольняє умові :

, (1.12)

де l - довжина хвилі, яка відповідає пучку електронів.

З рис. 1.4 видно, що переважна більшість електронів формують нульовий максимум, тому вторинними максимумами в цьому випадку можна знехтувати. Якщо уявити електрони у вигляді механічних частинок, то можна стверджувати, що при їх русі з швидкістю u в напрямі осі OX їх положення визначається з точністю до ширини щілини, тобто

. (1.13)

В той же час, внаслідок дифракції змінюється напрям швидкості частинок. Враховуючи лише ті електрони, які формують центральний максимум дифракції, похибку у визначенні проекції імпульсу на напрям осі OX знайдемо із умови

 . (1.14)

. (1.15)

А так як не всі електрони формують центральний максимум, тому

 , (1.16)

де Dx і Dp_x - похибки у визначені координати і імпульсу частинки; h - стала Планка.

Співвідношення (1.16) можна узагальнити для всіх напрямків, тому:

,

  , (1.17)

 .

Це і є співвідношення невизначеностей Гейзенберга.

Так як точні значення координати і імпульсу для мікрочастинки не існують, то про траєкторію частинки в мікросвіті можна говорити лише з певним наближенням. З цієї точки зору електрони в атомі не мають точних значень електронних орбіт.

В квантовій теорії використовується також співвідношення невизначеностей для енергії Е і часу t, тобто невизначеності цих параметрів задовольняють умові

, (1.18)

де DE - похибка у визначенні енергії частинки; Dt - похибка у визначенні часу, коли частинка має енергію E.

Cпіввідношення невизначеностей неодноразово були предметом філо-софських дискусій. Однак вони не виражають собою яких небуть обмежень пізнання мікросвіту, а лише указують межі використання в таких випадках понять класичної механіки.

1.2.Основні поняття квантової механіки

1.2.1. Поняття стану частинки в квантовій механіці. Хвильова

функція і її статистичний зміст. Стандартні умови.

1.2.2 Загальне (часове) рівняння Шредінгера.

1.2.3. Рівняння Шредінгера для стаціонарних станів.

1.2.1. Подання стану частинки в квантовій механіці. Хвильова

функція і її статистичний зміст. Стандартні умови

В класичній механіці при одномірному русі вздовж осі х стан частинки в кожний момент часу t задається двома величинами: координатою частинки x(t) і її швидкістю  або імпульсом частинки . Таке визначення стану частинки є головним вихідним моментом побудови класичної механіки.

В фізиці мікрочастинок з наявністю у них хвильових властивостей, класичне визначення стану частинки втрачає будь-який зміст, а з ним і поняття сили, яка за визначенням є функцією класичного стану.

Встановити фізичний зміст квантового стану допомогло відкриття корпускулярно-хвильового дуалізму матерії. В квантовій фізиці стан частинки задається хвильовою функцією, яка є комплексною величиною і визначається у всіх точках простору і в будь-який момент часу.

Аналогічно класичним хвилям рух елементарних частинок характеризується хвилями де Бройля.

Рівняння хвилі де Бройля елементарної частини називається хвильовою функцією і позначається. Хвильова функція Y(r,t) не має жодного відношення до механічних хвиль. Класичні хвилі поширюються в пружних середовищах, а елементарні частинки можуть рухатись також і у вакуумі. Слід мати на увазі, що хвилі де Бройля властиві будь-яким частинкам, як зарядженим так і нейтральним, в той час як електромагнітні хвилі випромінюються лише зарядженими частинками при їх прискореному русі.

Для класичних хвиль характерні найбільш суттєві властивості, такі як енергія, імпульс, інтенсивність, яка визначається квадратом амплітуди хвилі.

Поняття фізичного змісту хвильової функції прийшло після того, як вияснилось, що в інтерференції хвиль де Бройля проявляються властивості окремих частинок, а не їх системи. Це підтверджується незалежністю інтерференції від інтенсивності частинок в пучку. Інтерференція спостерігається навіть в тих випадках, коли за час польоту від джерела до детектора пролітає лише одна частинка. Цей факт можна тлумачити так лише у випадках, коли рух будь-якої мікрочастинки підпорядковується статистичним закономірностям.

За аналогією з класичними хвилями знайдемо фізичний зміст квадрата модуля хвильової функції

, (1.19)

де -функція, комплексно спряжена до

В досліді Девісона і Джермера, схема якого показана на рис.1.1 встановлено, що струм, який реєструється гальванометром, пропорційний квадрату модуля хвильової функції

. (1.20)

З іншого боку величина цього струму пропорційна також об’єму детектора dV

. (1.21)

З урахуванням (1.20) і (1.21) маємо:

. (1.22)

Якщо імовірність попадання частинок в детектор дорівнює dp, то величина струму гальванометра буде також пропорційною величині цієї імовірності

I = k₂dp. (1.23)

Прирівнявши рівності (1.22) і (1.23), одержимо:

. (1.24)

Завжди можна вибрати значення хвильової функції такою, щоб k₁=k_2. Тоді (1.24) набуде вигляду

. (1.25)

Звідки

.  (1.26)

Квадрат модуля хвильової функції (1.26) визначає густину імовірності виявити частинку в точці з радіусом-вектором  в момент часу t. Квантова механіка на відміну від класичної дає імовірнісне пояснення квантового стану, а хвильова функція має статичний зміст.

При відомій хвильовій функції рівність (1.26) дозволяє визначити імовірність виявити частинку в об’ємі dV

. (1.27)

Якщо частинка знаходиться в довільній точці простору, то ця подія є достовірною, а імовірність такої події дорівнює одиниці, тобто

dV =1. (1.28)

Умова (1.28) називається умовою нормування.

Як бачимо, квантова механіка має статистичний характер; у ній не ставиться питання про знаходження положення частинки або її траєкторії в просторі, так як завдяки хвильових властивостей мікрочастинок такі питання взагалі втрачають зміст. В квантовій механіці за допомогою хвильової функції  визначається лише імовірність виявлення мікрочастинки в різних точках простору. З сказаного випливає, що хвильова функція  повинна задовольняти певним обмежувальним умовам, які ще називаються стандартними умовами: воно має бути скінченою, однозначною і неперервною, так як імовірність не може бути більшою за 1; бути неоднозначною і змінюватись стрибкоподібно.

Похожие работы

Фізика напівпровідників

Скачать

146177

1

7

... івнює , а в домішкових напівпровідниках має зміст енергії іонізації донорів чи акцепторів. Отже, питома електропровідність напівпровідників експоненційно збільшується з ростом температури, чим останні принципово відрізняються від металів. Розділ VII. Фізика ядра та елементарних часток.   § 7.1. Склад і характеристики ядра   Ядро атома, як центральну позитивно заряджену масивну частину атома, ...

Історія розвитку біофізики як науки. Класифікація і характеристика основних напрямків біофізики

Скачать

26237

0

0

... ї й експериментальної фізики, раніше розроблені для вивчення макромолекул небіологічного походження. Неможливо провести границю між молекулярною біофізикою і біофізичною хімією, так само як не можна провести границю між молекулярною фізикою і фізичною хімією. Класифікація областей знання має завжди історичний і не строго визначений характер. Молекулярна фізика і відповідні розділи фізичної хімії ...

Кінематика і динаміка матеріальної точки

Скачать

26457

1

3

... математики. Фізика є теоретичним фундаментом для вивчення професійно-орієнтованих, військово-технічних і військових дисциплін. Тема 1. Кінематика і динаміка матеріальної точки Навчальний потік інженери Час 2 години Місце Навчальна та виховна мета _________________________________________ ____________________________________________________________ Навчальні питання і розподіл часу ...

Геометрична оптика та квантова фізика

Скачать

31665

0

4

... на цій же осі. Згідно Френелю, дія такої перешкоди зводиться до того, що екран якби усуває ту частину хвильового фронту, яку він прикриває. На відкритій же частині світлове поле не змінюється. Це наближення геометричної оптики, а тому воно виконується, якщо радіус отвору >> Визначимо розміри і число зон Френеля, що вкладаються в отвір  Нехай  - діаметр отвору, а  та віддалені від його ...