Навигация
Первая и вторая теорема Вейерштрасса
17907
знаков
0
таблиц
3
изображения
2. Первая и вторая теорема Вейерштрасса
Теорема (первая теорема Вейерштрасса) Если функция непрерывна на сегменте, то она ограничена на нем. Доказательство: методом от противного, воспользуемся свойством замкнутости сегмента [a;b]. Из любой последовательности (xn) этого сегмента можем выделить подпоследовательность xnk , сходящуюся к x0∈[a;b] . Пусть f не ограничена на сегменте [a;b], например, сверху, тогда для всякого натуральногоn∈N найдется точка xn∈[a;b] , что f(xn)>n. Придавая n значения 1,2,3,{\ldots}, мы получим последовательность (xn) точек сегмента [a;b], для которых выполнено свойство f(x1)>1,f(x2)>2,f(x3)>3,...,f(xn)>n... Последовательность (xn) ограничена и поэтому из нее по теореме можно выделить подпоследовательность(xnk) , которая сходится к точке x0∈[a;b] : limk→∞xnk=x0 (1) Рассмотрим соответствующую последовательность (f(xnk)) . С одной стороны f(xnk)>nk и поэтому limk→∞f(xnk)=+∞ (2), С другой стороны, учитывая определение непрерывной функции по Гейне из (1) будем иметь limk→∞f(xnk)=f(x0) (3) Получаем равенства (2) и (3) противоречат теореме (о единственности предела). Это противоречие и доказывает справедливость теоремы. Аналогично доказывается ограниченность функции снизу. Ч.Т.Д.
Замечание 1 Таким образом, если f непрерывна на [a;b], то ее множество значений ограничено и поэтому существует конечные верхняя и нижняя грань функции. c=infx∈[a;b]f(x),d=supx∈[a;b]f(x), но открыт вопрос о достижении функции своих граней. Замечание 2 Если слово сегмент в условии теоремы заменить словом интервал или полуинтервал, то теорема может и нарушиться. Пример, y=tgx,tgx∈C((−2π;2π)) , но функция не ограничена на этом интервале.
Теорема (вторая теорема Вейерштрасса) Если функция непрерывна на сегменте, то она достигает на нем своих граней (т.е. непрерывная на сегменте функция принимает свое наибольшее и наименьшее значения). Доказательство: Пусть f(x)∈C([a;b]) , c=infx∈[a;b]f(x), d=supx∈[a;b]f(x). По первой теореме Вейерштрасса c,d∈R . Докажем, что f достигает на [a;b] своих граней, т.е. найдутся такие точки x1,x2∈[a;b] , чтоf(x1)=c,f(x2)=d. Докажем, например, существование точки x2.
По определению верхней грани имеем (∀x∈[a;b])(f(x)=d) . Предположим противное, т.е. точки x2, в которой f(x2)=dна [a;b], тогда на [a;b] выполняется условиеf(x)<d или d−f(x)>0 . Далее введем вспомогательную функцию ϕ(x)=1d−f(x). ϕ(x)на [a;b] положительна и непрерывна (как отношение двух непрерывных на [a;b] функций и d−f(x)/=0) , поэтому по первой Т. Вейерштрасса ϕ(x)на [a;b] ограничена. Это означает, что при некотором М>0 (∀x∈[a;b])(0<1d−f(x)≤M) , отсюда имеем f(x)≤d−1M<d . Полученное неравенство противоречит тому, что d является верхней гранью функции f(x) на [a;b], т.е. наименьшим из верхних границ. Полученное противоречие и означает существование точки x2 такой, что f(x2)=d.
Аналогично доказывается существование точки x1∈[a;b] , такой что f(x1)=c.
Следствие Если f непрерывна и непостоянна на [a;b], то образ этого отрезка [a;b] при отображении f будет так же отрезок, т.е. непрерывный непостоянный образ отрезка есть отрезок. Доказательство: В самом деле образом отрезка [a;b] при отображении f будет отрезок [с;d], где c=inf[a;b]f(x)=min[a;b]f(x), а d=sup[a;b]f(x)=max[a;b]f(x), что следует из второй теоремы Больцано-Коши и второй теоремы Вейерштрасса Ч.Т.Д.
3. Теорема Ферма и Ролля
Пусть функция f(x) имеет на множестве E точку экстремума x₀?E, причём множество E содержит некоторую β- окрестность, что E=(x- β;x+ β) точки x. Тогда либо f(x) имеет в точке x производную, равную 0, то есть f´(x)=0 , либо производная в точке x не существует. Теорема Ролля Если функция f(x) непрерывна на отрезке (a;b), дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка и на концах x=a и x=b обращается в нуль, [f(a)=f(b)=0], то внутри отрезка (a;b) существует п окрпйней мере одна тоска x=c, a<c<b, в которой производная f´(x) обращается в нуль, т.е. f´(c)=0
Метод математической индукции
Метод математической индукции является важным способом доказательства предложений (утверждений), зависящих от натурального аргумента.
Метод математической индукции состоит в следующем:
Предложение (утверждение) P(n), зависящее от натурального числа n, справедливо для любого натурального n если:
1. P(1) является истинным предложением (утверждением);
2. P(n) остается истинным предложением (утверждением), если n увеличить на единицу, то есть P(n + 1) - истинное предложение (утверждение).
Таким образом метод математической индукции предполагает два этапа:
1. Этап проверки: проверяется, истинно ли предложение (утверждение) P(1).
2. Этап доказательства: предполагается, что предложение P(n) истинно, и доказывается истинность предложения P(n + 1) (n увеличено на единицу).
Замечание 1. В некоторых случаях метод математической индукции используется в следующей форме:
Пусть m - натуральное число, m > 1 и P(n) - предложение, зависящее от n, n ≥ m.
Если
Похожие работы
... y = 0 корней не имеет, , , х = 1/5 – асимптота y(0.007) = -0.3 5. y(0.4 + 4πk) = 4.9 + 48πk y(-0.4 + 4πk) = -4.9 + 48πk , знак совпадает со знаком ctg(x/2) Литература 1. Зорич В.А. Математический анализ. Ч. 1, М., 2001. Ч. 2. 2001. 2. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы ...
... педагогически значимого подмножества, на основе которого можно было бы провести углубленное изучение понятия экстремума в его взаимосвязях с другими понятиями математического анализа. Во-вторых, объективно получается, что традиционные коллекции упражнений созданы не столько для изучения понятия экстремума, сколько для иллюстрации методов дифференциального исчисления для его отыскания. Этого вполне ...
... «Математических лекциях о методе интеграла»[9]. Здесь дан способ взятия большинства элементарных интегралов и указаны методы решения многих дифференциальных уравнений первого порядка. 2 Вклад Л.Эйлера в развитие математического анализа Леонард Эйлер (Euler, Leonhard) (1707–1783) входит в первую пятерку величайших математиков всех времен и народов. Родился в Базеле (Швейцария) 15 апреля ...
... задатков) Как следует организовать и проводить обучение, с тем чтобы, учитывая все эти факторы, вести за собой умственное развитие ребенка, является весьма сложной и до конца еще не решенной психолого-педагогической проблемой. Другие аспекты развития мышления в процессе обучения (развитие логического мышления, мотивация мышления, мышление и решение задач и др.) мы еще рассмотрим в своей работе. ...
0 комментариев