Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет
имени Франциска Скорины»
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Допущена к защите
Зав. кафедрой Шеметков Л.А.
« » 2007 г.
Об одной проблеме теории
Формации конечных групп
Курсовая работа
Исполнитель:
студент группы М-51 А.И. Рябченко
Научный руководитель:
к.ф.- м.н., старший преподаватель В.Г. Сафонов
Гомель 2007
Оглавление
Введение
Вспомогательные факты
Основные результаты
Заключение
ЛИТЕРАТУРА
Введение
Все рассматриваемые в работе группы предполагаются конечными. Кроме общепринятой терминологии [1–3], нам потребуются некоторые определения и обозначения работы [4].
Пусть – некоторое непустое подмножество множества всех простых чисел;
– дополнение к
во множестве всех простых чисел. Формация
называется
-насыщенной, если ей принадлежит всякая группа
, удовлетворяющая условию
, где
. Всякая формация считается 0-кратно
-насыщенной. При
формация
называется
-кратно
-насыщенной [4], если
, где все непустые значения
-локального спутника
являются
-кратно
-насыщенными формациями.
Для любых двух -кратно
-насыщенных формаций
и
полагают
, а
, где
– пересечение всех
-кратно
-насыщенных формаций, содержащих
. Через
обозначают решетку
-кратно
-насыщенных формаций, заключенных между
и
. Длину решетки
обозначают
и называют
-дефектом формации
.
-Кратно
-насыщенную формацию
называют
-приводимой, если она может быть представлена в виде решеточного объединения некоторых своих собственных
-кратно
-насыщенных подформаций в решетке
. В противном случае формацию
называют
-неприводимой.
Группа называют критической, если
– группа минимального порядка из
для некоторых формаций
и
. Критическая группа
называется
-базисной, если у формации, ею порожденной, имеется лишь единственная максимальная подформация
, причем
.
В работе [4] А.Н. Скибой и Л.А. Шеметковым была поставлена задача описания -кратно
-насыщенных формаций
-дефекта
(вопрос 5, [4]). Полученные нами теоремы 1–3 завершают описание
-кратно
-насыщенных формаций такого типа. В частности, теорема 1 и теорема 2 позволяют классифицировать
-приводимые
-кратно
-насыщенные формации, имеющие
-дефект
, а в теореме 3 получено описание конечных групп, порождающих
-неприводимые формации
-дефекта 2 (
). Отметим, что при
решение данной задачи получено в работе [5].
Вспомогательные факты
Следствием теоремы 3.4.3 работы [6] является
Лемма 1. Пусть –
-кратно
-насыщенная ненильпотентная формация. Тогда в
имеется по крайней мере одна минимальная
-кратно
-насыщенная ненильпотентная подформация.
Доказательство следующей леммы аналогично доказательству леммы 20.4 [2].
Лемма 2. Пусть ,
и
–
-кратно
-насыщенные формации, причем
. Тогда если
и
соответственно
-дефекты формаций
и
и
, то
.
Лемма 3 [4]. Для всех решетка
модулярна.
Аналогично лемме 14 [7] доказывается
Лемма 4. Пусть , где
– некоторая
-кратно
-насыщенная нильпотентная подформация формации
,
– минимальная
-кратно
-насыщенная ненильпотентная подформация формации
. Тогда в формации
не существует минимальных
-кратно
-насыщенных ненильпотентных формаций, отличных от
.
Лемма 5. Пусть ,
и
–
-насыщенная формации и
. Тогда
.
Доказательство аналогично лемме 20.3 [2].
Лемма 6 [8]. При всякая
-кратно насыщенная формация, имеющая
-дефект 2, приводима.
Лемма 7 [4]. Пусть –
-кратно
-насыщенная формация
. Тогда спутник
является
-значным.
Лемма 8 [9]. Пусть – такая полная решетка формаций, что
. Пусть
–
-локальная формация с каноническим
-локальным спутником
,
–
-локальная формация с минимальным
-локальным
-значным спутником
. Тогда в том и только в том случае
–
-критическая формация, когда
, где
– такая монолитическая группа с монолитом
, что либо
,
и
–
-критическая формация для всех
, либо
и
–
-критическая формация.
Лемма 9 [4]. Пусть , где
, и пусть
– минимальный
-значный спутник формации
. Тогда справедливы следующие утверждения: 1)
; 2)
для всех
; 3)
, спутник
является
-значным и
– некоторый фиксированный элемент из
, то
, где
для всех
,
и, кроме того,
; 4)
, где
и
для всех
.
Лемма 10 [4]. Пусть такой внутренний
-кратно
-локальный спутник формации
, что
,
. Тогда
, где
.
Лемма 11 [10]. Тогда и только тогда является минимальной
-кратно
-насыщенной ненильпотентной формацией, когда
, где
– такая монолитическая группа с цоколем
, что либо
, либо
и выполняется одно из следующих условий:
1) – группа Шмидта с
, где
– абелева
-группа,
и
– простое число;
2) – неабелева
-группа,
, где
, причем, если
, то
и
– простая неабелева группа.
Лемма 12 [6]. Пусть – монолитическая группа с неабелевым монолитом
. Тогда если простое число
делит порядок группы
, то
.
Лемма 13 [1, с. 26]. Пусть – произвольная непустая формация и пусть у каждой группы
-корадикал
не имеет фраттиниевых
-главных факторов. Тогда если
– монолитическая группа из
, то
.
Лемма 14 [2, с.168]. Пусть и
– формации, причем
– локальна и
– группа минимального порядка из
. Тогда
монолитична, ее монолит совпадает с
и если
–
-группа, то
.
Лемма 15 [2, с.171]. Если в группе имеется лишь одна минимальная нормальная подгруппа и
(
– некоторое простое число), то существует точный неприводимый
-модуль, где
– поле из
элементов.
Лемма 16 [4]. Пусть –
-насыщенная формация и
– ее
-локальный спутник. Если
, то
.
Лемма 17 [4]. Пусть и
– минимальные
-локальные
-значные спутники формаций
и
соответственно. Тогда
в том и только в том случае, когда
.
Лемма 18 [10]. Пусть (
), где
– такая монолитическая группа с неабелевым монолитом
, что
и
. Тогда
имеет единственную максимальную
-кратно
-насыщенную подформацию
, причем
.
Основные результаты
Теорема 1. Пусть –
-кратно
-насыщенная формация. Тогда в том и только в том случае
-дефект формации
равен 1, когда
, где
–
-кратно
-насыщенная нильпотентная подформация формации
,
– минимальная
-кратно
-насыщенная ненильпотентная подформация формации
, при этом: 1) всякая
-кратно
-насыщенная нильпотентная подформация из
входит в
; 2) всякая
-кратно
-насыщенная ненильпотентная подформация
из
имеет вид
Доказательство. Необходимость. Пусть -дефект формации
равен 1. Так как
не является нильпотентной формацией, то по лемме 1 в
входит некоторая минимальная
-кратно
-насыщенная ненильпотентная подформация
. По условию
– максимальная
-кратно
-насыщенная подформация в
. Значит,
.
Достаточность. Пусть , где
–
-кратно
-насыщенная нильпотентная подформация формации
,
– минимальная
-кратно
-насыщенная ненильпотентная подформация
. Понятно, что
. Пусть
-дефекты
-кратно
-насыщенных формаций
,
и
равны соответственно
,
и
. Поскольку
–
-кратно
-насыщенная нильпотентная подформация формации
, то
. Так как
– минимальная
-кратно
-насыщенная ненильпотентная формация, то ее
-дефект
равен 1. В силу леммы 2 имеет место неравенство
. Если
, то
– нильпотентная формация, что противоречит условию
. Таким образом,
-дефект формации
равен 1.
Докажем теперь справедливость утверждения 1) второй части теоремы. Так как – максимальная
-кратно
-насыщенная подформация в
, то, в силу леммы 3, имеет место решеточный изоморфизм
Следовательно, – максимальная
-кратно
-насыщенная подформация в
. Тогда, поскольку
, то всякая
-кратно
-насыщенная нильпотентная подформация из
входит в
.
Докажем утверждение 2). Используя лемму 4, получаем, что в формации нет минимальных
-кратно
-насыщенных ненильпотентных подформаций, отличных от
.
Пусть теперь – произвольная
-кратно
-насыщенная ненильпотентная подформация из
. Тогда в силу уже доказанного и леммы 4 получаем, что
. Следовательно, применяя лемму 3, получаем
. Теорема доказана.
Теорема 2. Пусть –
-приводимая формация,
. Тогда и только тогда
-дефект формации
равен 2, когда
удовлетворяет одному из следующих условий: 1)
, где
,
и
– различные минимальные
-кратно
-насыщенные ненильпотентные формации; 2)
, где
,
–
-неприводимая формация
-дефекта 2,
, причем если
, то
.
Доказательство. Заметим, что при , справедливость утверждения теоремы вытекает из теоремы 1.1 [5], а также теоремы 1 работы [11]. Поэтому мы можем считать, что
.
Необходимость. Пусть -дефект формации
равен 2,
– такая максимальная
-кратно
-насыщенная подформация формации
, что
-дефект формации
равен 1. По теореме 1 получаем
, где
– минимальная
-кратно
-насыщенная ненильпотентная формация, а
. Если в формации
имеется еще одна минимальная
-кратно
-насыщенная ненильпотентная подформация
, отличная от
, то, в силу леммы 4,
. Значит,
и выполнено условие 1).
Пусть теперь в формации нет отличных от
минимальных
-кратно
-насыщенных ненильпотентных подформаций. Поскольку
–
-приводимая формация, то в
найдется такая группа
, что
. Понятно, что
. Ввиду леммы 5
-дефект формации
меньше или равен 2. Поскольку
и
-дефект формации
равен 1, то
-дефект формации
не равен 0. Допустим, что
-дефект формации
равен 1. Тогда по теореме 1 и предположению о единственности
получаем, что
, где
. Значит,
где
. Но тогда в силу леммы 2
-дефект формации
равен 1. Противоречие. Поэтому
-дефект формации
равен 2. Тогда
, так как иначе
, что противоречит максимальности формации
в формации
. Таким образом,
Предположим, что –
-неприводимая формация. Заметим, что если
и
–
-насыщенная формация, то
является насыщенной формацией. Действительно, из
-насыщенности формации
получаем, что для любой группы
из условия
следует, что
. Но
. Значит,
. Тогда получаем, что из условия
следует, что
. Таким образом,
является насыщенной формацией. Ввиду леммы 6 всякая
-кратно насыщенная формация, имеющая нильпотентный дефект 2, приводима. В этом случае
– приводимая
-кратно насыщенная формация. Противоречие. Поэтому
. Тогда получаем, что формация
удовлетворяет условию 2).
Пусть теперь –
-приводимая формация. Воспользуемся индукцией по числу разрешимых
-кратно
-насыщенных подформаций однопорожденной формации
.
Обозначим через максимальную
-кратно
-насыщенную подформацию формации
, имеющую
-дефект, равный 1. Так как
–
-приводимая формация, то в
существует такая группа
, что
. Ввиду максимальности формации
в формации
справедливо
. По теореме 1 и предположению единственности
получаем, что
, где
– некоторая нильпотентная
-кратно
-насыщенная подформация формации
.
Тогда . Заметим, что повторяя приведенные выше рассуждения для
, получаем, что либо формация
(где
) удовлетворяет условию 2), и необходимость доказана, либо формация
является
-приводимой формацией
-дефекта 2. Понятно, что
, так как иначе
, что противоречит максимальности формации
в
.
Поскольку – собственная
-кратно
-насыщенная подформация формации
, то число разрешимых подформаций формации
меньше чем у
. Ввиду замечания 3 [4] в однопорожденной формации
имеется лишь конечное множество разрешимых
-кратно
-насыщенных подформаций. Поэтому, повторяя описанные выше действия, через конечное число шагов мы придем к ситуации, когда либо формация
(где
) удовлетворяет условию 2) и необходимость доказана, либо
, где
–
-приводимая формация
-дефекта 2,
– наименьшая неединичная разрешимая подформация формации
, такая что
.
Обозначим через максимальную
-кратно
-насыщенную подформацию формации
, имеющую нильпотентный
-дефект, равный 1. Так как
–
-приводимая формация, то в
существует такая группа
, что
. Ввиду максимальности формации
в формации
справедливо
. По теореме 1 и предположению единственности
получаем, что
, где
– некоторая нильпотентная
-кратно
-насыщенная подформация формации
. Тогда
Но по предположению индукции. Следовательно, формация
не может быть
-приводимой формацией. Значит,
, где
,
–
-неприводимая формация
-дефекта 2. Необходимость доказана.
Достаточность. Пусть , где
,
и
– различные минимальные
-кратно
-насыщенные ненильпотентные формации. Пусть
,
,
и
-дефекты формаций
,
,
и
соответственно. Тогда по лемме 2
-дефект формации
не превосходит
. С другой стороны по лемме 5
-дефект формации
больше либо равен
. Таким образом,
-дефект формации
равен 2.
Аналогично рассматривается случай, когда , где
,
–
-неприводимая формация
-дефекта 2. Теорема доказана.
Теорема 3. Пусть –
-кратно
-насыщенная формация
. Тогда и только тогда формации
–
-неприводимая формация
-дефекта 2, когда
, где
– такая монолитическая группа с цоколем
, что выполняется одно из следующих условий:
1) , где
–
-группа,
, а
– группа, удовлетворяющая одному из следующих условий:
1.1) циклическая примарная группа порядка ;
1.2) неабелева группа порядка простой нечетной экспоненты
;
1.3) монолитическая группа с цоколем и
–
-группа;
2) – неабелева группа,
, а группа
удовлетворяет одному из следующих условий:
2.1) -группа, где
;
2.2) элементарная абелева -группа,
;
2.3) подпрямое произведение групп изоморфных , где
– такая монолитическая группа с цоколем
, что
– неабелева группа,
;
3) –
-группа, формация
имеет
-дефект 1,
–
-базисная группа, где
,
, а
– такая монолитическая группа с цоколем
, что выполнено одно из следующих условий:
3.1) – группа Шмидта с
, где
– абелева
-группа,
и
– простое число,
;
3.2) – неабелева группа, причем
;
3.3) –
-группа.
Доказательство. Необходимость. Пусть –
-неприводимая формация
-дефекта 2,
– максимальная
-кратно
-насыщенная подформация формации
с каноническим спутником
. Заметим, что ввиду леммы 7 спутник
является
-кратно
-локальным. Тогда
является минимальной
-кратно
-насыщенной не
-формацией. Пусть
и
– минимальные
-кратно
-локальные спутники формаций
и
соответственно. В силу замечания 2 [4] имеем
, для всех
.
Применяя лемму 8, получим, что , где
– такая монолитическая группа с цоколем
, что либо
(,
и
–
-критическая формация для всех
, либо
и
–
-критическая формация. По теореме 1
, где
– минимальная
-кратно
-насыщенная ненильпотентная подформация формации
,
.
Предположим, что . Тогда найдется простое число
. Пусть
– группа порядка
. Тогда
. Так как
– максимальная
-кратно
-насыщенная подформация формации
и
, то
. Но формация
является
-неприводимой по условию теоремы. Противоречие. Следовательно,
.
Пусть и
– минимальные
-кратно
-локальные спутники формаций
и
соответственно. По лемме 9 формации
и
имеют такие внутренние
-кратно
-локальные спутники
и
, принимающие соответственно значения
, при
,
, при
,
, при
, и
, при
,
, при
,
, при
. Ввиду леммы 10 справедливо равенство
.
В силу леммы 11 , где
– такая монолитическая группа с цоколем
, что либо
, либо
и выполняется одно из следующих условий:
(1) –группа Шмидта с
, где
– абелева
-группа,
и
– простое число;
(2) – неабелева
-группа
, где
.
Заметим, что если , то любая
-насыщенная подформация из
является насыщенной. Следовательно, любая
-кратно
-насыщенная подформация формации
является
-кратно насыщенной. По лемме 6 при
всякая
-кратно насыщенная формация с
-дефектом 2 приводима. Поэтому при
формация
не может быть
-неприводимой формацией, что противоречит условию. Таким образом,
.
Допустим, что – неабелев цоколь группы
. Пусть
и
. Тогда по лемме 12 имеем
. Значит,
Пусть для формации выполнено условие (1). Предположим, что
. Так как
, то имеем
. Тогда
– минимальная
-кратно
-насыщенная не
-формация. Значит,
,
и
-дефект формации
равен 1 по лемме 11. Противоречие. Поэтому
. Используя лемму 9, имеем
.
Следовательно, .
Покажем, что . Действительно, если
, то найдется такое
, что
. Поскольку
, то
. Тогда
. Так как
делит порядок
, то по лемме 12 имеем
. Тогда
– минимальная
-кратно
-насыщенная не
-формация. Поскольку
и
, то
. Так как при этом
и
, то
. Но
. Противоречие. Поэтому
.
По лемме 9 имеем Следовательно,
и
является минимальной
-кратно
-насыщенной не
-формацией.
Ясно также, что , поскольку в противном случае
-дефект формации
равен 1 в силу леммы 11.
Если , то
. Значит,
является минимальной
-кратно
-насыщенной не
-формацией. Поэтому
. Значит,
, и формация
удовлетворяет условию 2.1) теоремы.
Если , то
. Тогда
. Так как
, то
, т.е.
является элементарной абелевой
-группой, и формация
удовлетворяет условию 2.2) теоремы.
Пусть для формации выполнено условие (2). Покажем, что
. Предположим, что существует
. Тогда
. Значит,
– минимальная
-кратно
-насыщенная не
-формация. Последнее невозможно, так как
. Поэтому
. Но
. Следовательно,
.
Ввиду леммы 12, . Так как
, то
– минимальная не
-формация. Значит,
. Но, как нетрудно показать,
. Если
, то по лемме 11
-дефект формации
равен 1. Противоречие. Следовательно,
и
. Но тогда
Так как при этом группа
является монолитической группой с неабелевым цоколем
, то применяя лемму 13 получим, что
– подпрямое произведение групп изоморфных группе
. Таким образом, группа
удовлетворяет условию 2.3) теоремы.
Пусть теперь – такая формация, что
– монолитическая группа с цоколем
,
. Так как
, то
. Но тогда
– минимальная
-кратно
-насыщенная не
-формация. Значит,
и по лемме 11 получаем, что
-дефект формации
равен 1. Противоречие. Таким образом, данный случай невозможен.
Пусть – абелева
-группа,
. Тогда по лемме 14 имеем
. Пусть формация
удовлетворяет условию (1).
Предположим, что . Тогда
. Значит,
– минимальная
-кратно
-насыщенная не
-формация. Пусть
– группа минимального порядка из
. Тогда
является монолитической группой с цоколем
. Ясно, что
и
. Применяя лемму 15, получаем, что существует точный неприводимый
-модуль
. Обозначим через
. Ввиду леммы 16 группа
. Так как
, то
. Поскольку
и формация
разрешима, то
– абелева
-группа для некоторого простого числа
. Но
. Если
, то группа
нильпотентна. Поскольку
, то
– группа простого порядка
. Но тогда по лемме 11 получаем, что
-дефект формации
равен 1. Противоречие. Поэтому
. Так как при этом
, то
, что невозможно. Поэтому
.
Но тогда и
– минимальная
-кратно
-насыщенная не
-формация.
Рассмотрим группу . Тогда
является монолитической группой с цоколем
. Поскольку
и формация
разрешима, то
– абелева
-группа для некоторого простого числа
. Ясно, что
. Применяя лемму 15, получаем, что существует точный неприводимый
-модуль
. Обозначим через
. Ввиду леммы 16 группа
. Так как
, то
. Но
. Значит,
. Но
– монолитическая группа. Значит,
–
-группа. Если
, то
, что невозможно. Значит,
. Если
, то по лемме 11
-дефект формации
равен 1. Противоречие. Следовательно,
. Поскольку
, то
. Таким образом,
и
. Тогда
– минимальная не
-формация. Поскольку группа
нильпотентна, то любая собственная подгруппа из
принадлежит
. Таким образом,
– минимальная не
-группа. Так как при этом
–
-группа, то
либо циклическая примарная группа порядка
, либо неабелева группа порядка
простой нечетной экспоненты
. Но тогда группа
удовлетворяет условию 1.1) или 1.2) теоремы.
Пусть для формации выполнено условие (2). Допустим, что
. Тогда
. Значит,
– минимальная
-кратно
-насыщенная не
-формация. Поскольку
, то
. Так как при этом
, то
. Если
, то
, что невозможно. Значит,
. Но
. Следовательно,
. Противоречие. Таким образом,
.
Тогда и
– минимальная
-кратно
-насыщенная не
-формация. Выберем в
группу
минимального порядка. Тогда
– монолитическая группа с цоколем
и
. Применяя лемму 15, получаем, что существует точный неприводимый
-модуль
. Обозначим через
. Ввиду леммы 16 группа
. Так как
, то
. Предположим, что
– неабелев цоколь группы
. Ввиду того, что
и
то
. Следовательно, по лемме 13 имеем
. Поскольку
и
, то группа
изоморфна группе
. Но тогда
. Однако
. Поэтому
и
-дефект формации
равен 1. Противоречие. Следовательно,
– абелева
-группа, для некоторого простого числа
. Допустим, что
. Пусть
– группа порядка
. Тогда
. Пусть
– точный неприводимый
-модуль и
. Применяя лемму 16, получим
. Ввиду леммы 11 формация
имеет
-дефект 1. Поскольку
и
, то мы получаем противоречие с леммой 5. Значит,
. Поскольку
и
то
. Следовательно, по лемме 13 имеем
Так как
и
, то группа
изоморфна группе
. Но
– неабелева
-группа. Противоречие. Следовательно, данный случай невозможен.
Пусть формация такая, что
. Так как
, то
. Но тогда
– минимальная
-кратно
-насыщенная не
-формация. Пусть
– группа минимального порядка из
. Тогда
является монолитической группой с цоколем
. Понятно, что
и
. Применяя лемму 15 получаем, что существует точный неприводимый
-модуль
. Обозначим через
. Ввиду леммы 16 группа
. Так как
, то
.
Пусть – абелева
-группа для некоторого простого числа
. Если
, то
. Противоречие. Значит,
. Кроме того, понятно, что
. Так как в противном случае
и по лемме 11 формация
имеет
-дефект 1, что невозможно. Поскольку
и
, то
. Тогда по лемме 13 получим, что
. Так как
и
, то группа
изоморфна группе
.
Пусть – неабелев цоколь группы
. Тогда так как
и
, то
. Применяя теперь лемму 13, заключаем, что
. Так как
и
получаем, ввиду монолитичности
, что группы
и
изоморфны.
Кроме того, заметим, что . Поскольку иначе найдется группа
простого порядка
, такая, что
. Пусть
– точный неприводимый
-модуль и
. Применяя лемму 16, получим
. Ввиду леммы 11 формация
имеет
-дефект 1. Поскольку
и
, то мы получаем противоречие с леммой 5. Значит,
. Таким образом, группа
удовлетворяет условию 1.3) теоремы.
Пусть теперь –
-группа и пусть формация
удовлетворяет условию (1) или (2). Тогда
или, соответственно,
. Если
, то
или
. Но
–
-группа. Значит,
. Противоречие. Поэтому
. Но тогда
– единственная максимальная подформация
и
–
-базисная группа. Если
, то по лемме 11 формация
имеет
-дефект 1. Противоречие. Значит,
. Так как при этом,
, то
-дефект формации
равен 1. Значит,
удовлетворяет условию 3.1) или 3.2) теоремы.
Пусть теперь для формации выполняется условие
. Тогда по лемме 8
– минимальная
-кратно
-насыщенная не
-формация. Снова применяя лемму 8, получим, что
–
-критическая формация, …,
– минимальная не
-формация и
–
-базисная группа. Если
, то по лемме 11 формация
имеет
-дефект 1. Противоречие. Значит,
. Так как при этом,
, то
-дефект формации
равен 1. Таким образом, группа
удовлетворяет условию 3.3) теоремы.
Достаточность. Пусть для формации выполнено условие 1) теоремы и
– циклическая примарная группа порядка
,
. Пусть
– минимальный
-кратно
-локальный спутник формации
. По лемме 14 имеем
. Так как
, то
. Заметим, что
является единственной максимальной подформацией формации
, где
– группа порядка
.
Построим -кратно
-локальный спутник
, принимающий следующие значения
, при
,
, при
. Рассмотрим
-кратно
-насыщенную формацию
. Пусть
– минимальный
-кратно
-локальный спутник формации
. Тогда так как
, то, ввиду леммы 17,
.
Пусть – произвольная собственная
-кратно
-насыщенная подформация формации
. И пусть
– минимальный
-кратно
-локальный спутник формации
. Если
, то так как
, получаем
. Следовательно,
. Противоречие. Значит,
. Тогда, так как
– единственная максимальная подформация
, то
и
для
, т.е.
. По лемме 17 получаем, что
. Таким образом,
– единственная максимальная
-кратно
-насыщенная подформация формации
, т.е.
является
-неприводимой формацией.
Поскольку , то ввиду леммы 15 существует точный неприводимый
-модуль
, где
– поле из
элементов. Пусть
. Тогда, так как
, то, ввиду леммы 16,
. Если предположить, что
, то по лемме 17 получаем
, где
– минимальный
-кратно
-насыщенный спутник формации
. Но тогда
. Противоречие. Значит,
, т.е. формация
порождается группой Шмидта и имеет нильпотентный
-дефект 1. Но тогда
-дефект формации
равен 2.
Случаи, когда – неабелева группа порядка
простой нечетной экспоненты
, и
– монолитическая группа с цоколем
, где
–
-группа, рассматриваются аналогично.
Пусть для формации выполнено условие 2) теоремы. Построим
-значный
-локальный спутник
, принимающий следующие значения:
, при
,
, при
. Ясно, что
.
Рассмотрим -кратно
-насыщенную формацию
, порожденную спутником
. Пусть
– минимальный
-кратно
-локальный спутник формации
. Тогда так как
, то, ввиду леммы 17,
.
Пусть – произвольная собственная
-кратно
-насыщенная подформация формации
,
– ее минимальный
-значный
-локальный спутник. Тогда
для любого
. Кроме того, как нетрудно показать, имеет место включение
Поэтому . Таким образом,
– единственная максимальная
-кратно
-насыщенная подформация формации
, т.е.
является
-неприводимой формацией.
В силу леммы 11 -дефект
-кратно
-насыщенной формации
равен 1. Но тогда
-дефект
-неприводимой формации
равен 2.
Пусть для формации выполнено условие 3). Построим
-локальный спутник
– такой, что
и
для любого
. Так как группа
является
-базисной, то всякая подформация из
содержится в
. Следовательно, формация
по лемме 8 является
-критической. Пусть теперь
– такой
-значный
-локальный спутник, что
и
для любого
. Снова применяя лемму 8, получаем, что формация
является
-критической и т.д. Построим
-значный
-локальный спутник
такой, что
и
для любого
. Опять применяя лемму 8, получим, что формация
является
-критической. Заметим также, что ввиду леммы 11
-дефект
-кратно
-насыщенной формации
равен 1. Следовательно,
-дефект
-неприводимой формации
равен 2. Теорема доказана.
Дано решение проблемы описания -кратно
-насыщенных формаций
-дефекта 2, поставленной А.Н. Скибой и Л.А. Шеметковым в работе «Кратно
-локальные формации и классы Фиттинга конечных групп» (Матем. Труды. – 1999. – Т.2, №2. – С. 114-147, проблема 5). В частности, установлено внутреннее решеточное строение
-приводимых формаций
-дефекта
2; получено описание конечных групп, порождающих
-неприводимые формации
-дефекта 2.
ЛИТЕРАТУРА
1. Шеметков Л.А. Формации конечных групп. – М., 1978. – 267 с.
2. Шеметков Л.А., Скиба А.Н. Формации алгебраических систем. – М., 1989. – 256 с.
3. Скиба А.Н. Алгебра формаций. – Мн.: Беларуская навука, 1997. – 240 c.
4. Скиба А.Н., Шеметков Л.А. Кратно -локальные формации и классы Фиттинга конечных групп // Матем. труды. –1999. – Т.2, №2. – С. 114–147.
5. Частично локальные формации с заданными системами подформаций: отчет о НИР (заключительный): ГБЦМ 20-07 / УО «Гомельский государственный университет имени Ф.Скорины»; рук. В.Г.Сафонов; исполн.: В.М.Селькин, В.В.Аниськов. – Гомель, 2001. – 69 с. – Библиогр.: с. 66-69. – № ГР 2000419.
6. Шаблина И.П. Модулярные и алгебраические решетки -кратно
-насыщенных формаций конечных групп: Дис. … канд. физ.-мат. наук. – Гомель, 2003. – 92 с.
7. Рябченко А. И О частично насыщенных формациях с -дефектом 1 // Изв. НАН Беларуси. Сер. физ.-мат. наук. – 2008. – № 1 .– С.28–34.
8. Сафонов В.Г. О минимальных кратно локальных не -формациях конечных групп // Вопросы алгебры. Гомель: Изд-во Гом-го ун-та, 1995. – Вып. 8. – С. 109–138.
9. Селькин В.М., Скиба А.Н. О -критических формациях // Вопросы алгебры. – Гомель: Изд-во ГГУ им. Ф.Скорины, 1999. – Вып. 14. – С. 127–131.
10. Рябченко А. И. О минимальных -кратно
-насыщенных ненильпотентных формациях // Вестник Полоцкого государственного университета. Сер. С. – 2008. – №5. – C. 41–46.
11. Рябченко А. И. К теории частично насыщенных формаций // Изв. Гом.гос.унив.им.Ф.Скорины. – 2008. – №6(51). Ч.2.– С. 153–160.
Похожие работы
... Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -разложимая формация, когда , где – отличное от простое число. Минимальные -замкнутые тотально насыщенные не -формации. Класс всех разрешимых групп с нильпотентной длиной не превосходящей совпадает с произведением (число сомножителей равно ) и является наследственной тотально насыщенной формацией. Теорема 3.6. Тогда и ...
... 1.6 . В главе 2 получено описание наследственных насыщенных -формаций Шеметкова, теорема 2.2 . В главе 3 в классе конечных разрешимых групп получено описание наследственных формаций Фиттинга , замкнутых относительно произведения -подгрупп, индексы которых не делятся на некоторое фиксированное простое число, теорема 3.3 . Список использованных источников 1. Васильев, А.Ф. О максимальной ...
... 13-A]. 2. Получено описание наследственных насыщенных сверхрадикальных формаций, критические группы которых разрешимы [20-A]. 3. В классе конечных разрешимых групп получено описание наследственных насыщенных формаций , замкнутых относительно произведения обобщенно субнормальных -подгрупп взаимно простых индексов [18-A]. 4. Доказано, что любая разрешимая 2-кратно насыщенная формация , замкнутая ...
... -подгруппами, индексы которых взаимно просты, наследственно насыщенным формациям В данном разделе в классе конечных разрешимых групп получена классификация наследственных насыщенных формаций , замкнутых относительно произведения обобщенно субнормальных -подгрупп, индексы которых взаимно просты. 2.1 Теорема [18-A]. Пусть --- наследственная насыщенная формация, --- ее максимальный внутренний ...
0 комментариев