О минимальных замкнутых тотально насыщенных не формациях конечных групп

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины»

Математический факультет

Курсовая работа

О МИНИМАЛЬНЫХ -ЗАМКНУТЫХ ТОТАЛЬНО НАСЫЩЕННЫХ НЕ -ФОРМАЦИЯХ КОНЕЧНЫХ ГРУПП

Исполнитель:

Студентка группы М-32 Макаренко Л.А.

Научный руководитель:

Канд. физ-мат. наук, доцент Сафонов В.Г.

Гомель 2006

Содержание

Введение

1. Определения и обозначения

2. Используемые результаты

3. Основные результаты

Заключение

Литература

Введение

Все рассматриваемые в работе группы предполагаются конечными. Используемую терминологию можно найти в [1, 2].

При изучении внутреннего строения, а также классификации насыщенных формаций важную роль играют так называемые минимальные насыщенные не -формации [3] или -критические формации [4]. Напомним, что насыщенная формация , называется минимальной насыщенной не -формацией, если все собственные насыщенные подформации  содержатся в классе групп . Задача изучения формаций такого рода впервые была поставлена Л.А. Шеметковым на VI симпозиуме по теории групп [3]. Ее решение, в классе насыщенных формаций, получено А.Н. Скибой [5].

В теории тотально насыщенных формаций изучение минимальных тотально насыщенных не -формаций было начато А.Н.Скибой в книге [2], где было дано описание разрешимых минимальных тотально насыщенных не -формаций ( – формация всех разрешимых групп нильпотентной длины ). В работах автора [6-10] теория минимальных -замкнутых тотально насыщенных не -формаций получила свое дальнейшее развитие. Основными результатами в этом направлении являются следующие теоремы.

Теорема 1 [10]. Пусть  и  – -замкнутые тотально насыщенные формации, . Тогда и только тогда  – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -формация, когда , где  – такая монолитическая -минимальная не -группа с монолитом , что выполняется одно из следующих условий:

1)  – группа простого порядка ;

2)  – неабелева группа и , где  – совокупность всех собственных -подгрупп группы ;

3) ,

где  – самоцентрализуемая минимальная нормальная подгруппа в  при всех , а  либо группа простого порядка , либо такая монолитическая -минимальная не -группа с неабелевым монолитом , что ,  совпадает с -корадикалом группы  и

где  – совокупность всех собственных -подгрупп группы .

 Теорема 2 [10]. Пусть  и  – -замкнутые тотально насыщенные формации, . Тогда и только тогда  – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -формация когда  удовлетворяет одному из следующих условий:

1) , где  – такая монолитическая -минимальная не -группа с неабелевой минимальной нормальной подгруппой , что справедливо включение , где  – совокупность всех собственных -подгрупп группы ;

2) ,

где  и ;

3) ,

где , а  – такая монолитическая группа с неабелевой минимальной нормальной подгруппой , что  совпадает с -корадикалом группы ,  и .

В настоящей работе, основываясь на результатах работы [10], мы даем описание -критических формаций для некоторых наиболее известных формаций .