Численное решение алгебраических проблем собственных значений

Численное решение алгебраических проблем собственных значений: степенной метод.

Екатеринбург 2006

Введение

Выбор наиболее эффективного метода определения собственных значений и собственных векторов для конкретной инженерной задачи зависит от ряда факторов, таких, как тип уравнений, число искомых собственных значений и их характер. Различают полную (алгебраическую) проблему собственных значений, предполагающую нахождение всех собственных пар {λ, v} матрицы А, и частичную проблему собственных значений, состоящую как правило, в нахождении одного или нескольких собственных чисел λ и, соответствующих им собственных векторов v. Достаточно часто возникают задачи поиска наибольшего и наименьшего по модулю собственных значений квадратной матрицы – знание таких характеристик матрицы позволяют, например, делать заключения о сходимости итерационных процессов, оптимизировать параметры итерационных методов, учитывать влияние на результаты решения алгебраических задач погрешностей исходных данных. Другой пример: имеется матрица размера 5000*5000, в каждой строке которой содержится порядка десяти отличных от нуля элементов (разреженная матрица), и требуется найти только несколько, может быть, четыре или пять, собственных значений. Нахождение всех собственных пар разреженной матрицы представляет собой достаточно сложную вычислительную проблему.

Итерационные методы позволяют находить собственные значения и векторы, минуя процедуру построения характеристического полинома. Отличительной чертой этих методов является то, что собственные значения находятся лишь после определения собственных векторов. Рассмотрим метод, который позволяет найти наибольшее по модулю собственное значение матрицы и соответствующий собственный вектор - степенной метод.

Степенной метод

Классическим методом, который иногда оказывается полезным для больших разреженных систем, хотя и страдает серьезными недостатками, является степенной метод. Предположим, что собственные значения  матрицы  вещественны и удовлетворяют условию

 (1)

При заданном векторе  рассмотрим последовательность

(2)

Предположим, что матрица  имеет n линейно независимых собственных векторов  соответствующих собственным значениям  (это имеет место, например, в случае симметричной матрицы А). Разложим  по собственным векторам:

Пусть , тогда, учитывая (2):

Разделим обе части равенства на λ₁^k ≠ 0.

В силу (1) все множители  стремятся к нулю при k→ ∞ и вектор  по направлению приближается к собственному вектору :

 при k→ ∞, (4)

Если , то норма вектора  будет при этом стремиться к нулю, либо неограниченно возрастать, если . На практике вычисляемые векторы нормируют на каждой итерации, а в качестве критерия окончания процесса используют условие:

.

Формульно-словесное описание метода:

1.  Выбираем : , k=0, ε – точность вычисления компонент собственного вектора

Похожие работы

Численные методы

Скачать

36307

0

44

... на главной и двух побочных диагоналях, равны нулю при та В общем случае системы линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей имеют вид Для численного решения систем трехдиагональными матрицами применяется метод прогонки, который представляет собой вариант метода последовательного исключения неизвестных. Т.е. матрицу А можно записать Идея метода прогонки состоит в ...

Методы решения краевых задач, в том числе "жестких" краевых задач

Скачать

32594

0

1

... D2 ∙ c = p. Отсюда получаем, что: c = D2 ∙ ( p - D1∙ u ) Таким образом, искомые константы найдены. Далее показано как применять этот метод для решения «жестких» краевых задач. Запишем V∙ K(1←0) ∙ ∙ = p. совместно с K(1←0) = K(1←x2) ∙ K(x2←x1) ∙ K(x1←0) и получим: V∙ K(1←x2) ∙ K(x2&# ...

Методы численного моделирования МДП-структур

Скачать

11306

2

0

... системы на ЭВМ, а так же требование его экономичности обуславливают применение регулярных сеток, расположение узлов в которых подчиняется определённым закономерностям. В практике численного моделирования микроэлектронных структур примеяются как непрерывные прямоугольные (неравномерные), так и треугольные сетки (рис.2.). Треугольная сетка позволяет с меньшим количеством дополнительных узлов сгущать ...

Решение системы линейных уравнений

Скачать

21070

4

16

... Вывод   Программа, разработанная в данной курсовой работе, реализует метод Зейделя для решения СЛАУ 6-го порядка. Она даёт гарантированно правильное решение системы линейных уравнений, если каждый элемент главной диагонали матрицы коэффициентов является единственным максимальным в своей строке, ненулевым, либо справедливы условия: максимальный элемент строки является единственным максимальным в ...