Экстремальная задача на индексационных классах

Содержание

Введение

Глава 1. Неравенство Маркова на индексационных классах

§ 1. Экстремальная задача

§ 2. Свойства отображения

§ 3. Доказательство теоремы

Глава 2. О чебышевской экстремальной задаче на [0, ¥)

Литература

Введение

В работе вводится понятие индекса функции на [0,¥) относительно произвольного класса F функций на [0, ¥), основанное на сравнении двух функций через количество перемен знака их разности. С помощью понятия индекса аксиоматически определяется индексационный класс F. На индексационных классах изучается конечная проблема моментов.

Определение 1. Скажем, что функция D(t), tÎR¹, имеет k строгих перемен знака, если существуют множества A₁<A₂<…<A_k+1, такие, что

а) ;

б) знаки функции D(t) на множествах A₁, A₂, …, A_k+1 перемежаются.

Пусть f(t) и g(t) – функции на R¹. Пишем , если функция D=g-f имеет k-1 строгих перемен знака, причем на последнем множестве строгого знакопостоянства она отрицательна.

Нетрудно видеть, что отношение  выполнено тогда и только тогда, когда

а) не существует точки x₁, …, x_k (-¥<x₁<…<x_k<¥) такие, что

(-1)^k-i f(x_i) > (-1)^k-i g(x_i), ;

б) существуют точки y₁, …, y_k (-¥<y₁<…<y_k<¥) такие, что

(-1)^k-i f(y_i) > (-1)^k-i g(y_i), .

Пусть F – некоторый класс непрерывных слева функций на [0, ¥) и f, g Î F.

Определение 2. Пишем , если для любой функции hÎF, h¹g, выполнено одно из отношений: ,  , , . Пишем , если для любой функции hÎF, h¹f, выполнено одно из отношений: ,  ,, .

Функция f имеет индекс k^- в F, если выполнено отношение  и не выполнено . Функция g имеет индекс k⁺ в F, если выполнено  и не выполнено .

Через I_k^- (I_k⁺), k³1, обозначим совокупность всех функций с индексом k^- (k⁺) в F.

Пусть U – семейство функций на [0, ¥).

Через F_U обозначим множество функций fÎF, для которых интегралы

, uÎU,

абсолютно сходятся.

В случае  положим , fÎF_U, AÌF_U, :

, F_i(A)={F_i(f): fÎA},

, ,

.

Множество  называется моментным пространством класса F относительно системы функций .

Лемма 1. Пусть системы u₁(t), …, u_n(t) и u₁(t), …, u_n(t), u_n+1(t) образуют T₊-системы на [0, ¥) такие, что . Тогда отношение  невозможно для  и, если , то

.

Доказательство. Допустим, что , где k£n, и A₁, …, A_k – множества строгого знакопостоянства функции D=g - f. Для векторов  рассмотрим матрицу

.

Так как

, ,

то есть

, (1)

где d_i(-1)^k-i,  и d_i=0,  для всех векторов .

Из (1) следует, что detH()=0 для любых . С другой стороны, применив k раз теорему о среднем к H(), получим

, (2)

где 0£x₁<x₂<…<x_k<¥. Так как векторы  линейно зависимы, то их можно дополнить до системы линейно независимых векторов  . Из (2) получаем .

Пусть теперь  и .

Так как

, (3)

где d_i=(-1)^n+1-i, , то

,

где H – матрица, записанная в (3) слева, - матрица, получаемая из H удалением (n+1)-ых строки и столбца. Применив теорему о среднем, получаем detH>0, . Вместе с равенством d_n+1=1 это означает, что d>0.

Определение 3. Скажем, что последовательность {f_i}_i³1 функций на [0, ¥) относительно класса U слабо сходится к функции f , если

для всех uÎU.

Определение 4. Множество AÌF_U назовем (k, U) окрестностью функции f в F, если fÎA и множество А имеет вид , где V открыто,  при ,  при  .

Множество AÌF_U назовем (k, U)-открытым, если каждая функция fÎA имеет (k, U) окрестность, состоящую из функций множества А.

Определение 5. Класс F непрерывных слева, неотрицательных функций на [0, ¥) назовем нижним U-индексационным с дефектом n, если: