Класс F равномерно ограничен;

1. Класс F равномерно ограничен;

2. ;

3. Множества I_k⁺ (k-1, U) – открыты для всех k>n+1;

4. Для k>n из любой последовательности {f_i}_i³1ÌI_k⁺ такой, что

,

можно выделить подпоследовательность, относительно класса U слабо сходящуюся к некоторой функции ;

5. I_k⁺ÌF_U для k³n+1.

Теорема 2. Пусть система  образует T₊-систему на [0, ¥), F-верхний W-индексационный с дефектом n класс функций на [0, ¥). Тогда

.

Определение 6. Систему  непрерывных на [0, ¥) функций назовем T₊¹-системой, если она является T₊-системой, и, кроме того, системы u₁, …, u_l-1, u_l+1, …, u_n также являются T₊-системами для .

Лемма 2. Пусть - T₊¹-система на [0, ¥), функции f и g таковы, что

(-1)^n-i F_i(f) ³ (-1)^n-i F_i(g), .

Тогда отношения ,  и , , невозможны.

Доказательство. Допустим, что имеет место отношение  и 1£p£n.

Пусть x₁, …, x_p-1 (-¥<x₁<…<x_p-1<¥) – точки перемен знака функции ; x_о=-¥, x_n=¥; . Выберем точки x_n-1<x_n-2<…<x_p<x_p-1 так, чтобы , , . Рассмотрим систему равенств

, (4)

где h_i=±1. Из условия  следует, что h_n=1. С другой стороны, из (4) получаем

,

где А – матрица, записанная в (4) слева, A_nⁱ – матрица, получаемая из А удалением i-ой строки и n-го столбца. Так как - T₊¹-система на [0, ¥), то detA>0, detA_nⁱ>0, . Следовательно, h_n£0. Получили противоречие.

Случай , , рассматривается аналогично.

Теорема 3. Пусть - T₊¹-система на [0, ¥), F-нижний W-индексационный с дефектом n класс функций на [0, ¥). Тогда

.

Доказательство. Пусть . Возьмем последовательность векторов  так, чтобы  при  и

для , j³1.

Согласно теореме 1, для любого  найдется последовательность  такая, что .

Существует j₁, такое, что , где r - какая-либо метрика в Rⁿ, и

, .

Выберем j₂ так, чтобы  и

, .

Продолжая таким образом, получим последовательность  такую, что  и

 (5)

Рассмотрим произвольные  и . Отношения  и для k>n невозможны, в силу условий .

Из неравенств (5), в силу леммы 2, имеем

,

т. е. существует функция  такая, что . Включение  противоречит условию , в силу принципа инвариативности области.

Из произвольности  следует утверждение теоремы 2.
Глава 1 Неравенство Маркова на индексационных классах

§ 1 Экстремальная задача

Пусть Â – некоторый класс функций распределения (ФР) на [a, b], -¥<a<b<¥; W(t) – (n+1) раз непрерывно дифференцируемая функция на [a, b], причем W^(k)(t)>0 для tÎ[a, b] и ; c₁, …, c_n – вещественные константы; xÎ[a, b].

Экстремальная задача. Найти супремум и инфимум интеграла

на множестве   ФР из Â, удовлетворяющих ограничениям

, .

Для классов Â_o - всех ФР на [a, b] и В_L – ФР на [a, b], удовлетворяющих условию , -¥<x<y<¥, задача решена в [1].

Важность решение экстремальных задач на разных классах ФР обоснована, например, в [1 - 5].

Задача при x=b решена в [4] для мажоризационных классов.

Анализ задачи на мажоризационных классах в общем случае наталкивается на трудности. Выход мы видим в рассмотрении классов с иной структурой – индексационных классов ФР.

Ниже предполагается, что Â - индексационный с дефектом n класс ФР на [a, b]. Определение индексационного с дефектом n класса приведено в [5]. Индексационными являются многие важные классы ФР, например, Â_o, B_L, класс унимодальных ФР на [a, b] и др.

Обозначим (k³1, AÌÂ, sÎÂ): I_k⁺ (I_k^-) –множество всех ФР из Â, имеющих индекс k⁺ (k^-); ;  - пространство моментов порядка k; ; ; , .

Основной результат работы содержится в утверждении.

Теорема. Пусть , . Тогда:

1.  ,

2.  ,

3.  ,

4.  .

§ 2 Свойства отображения

Нам понадобятся два факта из [6].

1. Для любого  существует и единственная ФР .

2. Если , то множество  одноэлементно. Если , то существуют непрерывные, однопараметрические семейства  (т. е.  при  и (значок Þ обозначает слабую сходимость)) и  ФР такие, что ,, , для aÎ(0,1) и  для bÎ(0,1).

Пусть  и , где , xÎ[a, b].

Функция Á_s непрерывна слева на [a, b] и Á_s(a)=0 для всех sÎÂ. Так как W(t)>0 при tÎ[a, b], то Á_s(x) не убывает по x.

Далее, из s_kÞs при k®¥ следует ÁÞÁ_s. Следовательно, семейства распределений {Á} и {Á} непрерывны.

Определение 1. Функция f имеет на [a, b] m строгих перемен знака, если существуют множества B₀(f)<…<B_m(f) (под X<Y (X, YÌR¹) понимаем x<y для всех xÎX, yÎY) из [a, b] такие, что (-1)^jf(x)>0 (или (-1)^j+1f(x)>0 при xÎB_j(f),  и f(x)=0 при .

Лемма 1. Для любого распределения Á (Á) и для любого Á_m, , функция Á_m - Á(Á_m - Á) имеет либо n+1, либо n+2 строгих перемен знака на [a, b].

Доказательство. Предположим, что функция Á_m - Áимеет более n+2 строгих перемен знака. Тогда существуют a<x₀<x₁<…<x_n+3£b такие, что (-1)ⁱ [Á_m -Á] > 0, . Кроме того, Á_m(a)=Á(a)=0. Следовательно, существуют точки y₀Î[a, x₀), y₁Î[x₀, x₁), …, y_n+3Î[x_n+2, x_n+3) такие, что функция (-1)ⁱ[m(t) - h_a(t)] возрастает в точке y_i, , что противоречит условию .

Равенство  запишем в виде

Á_s(t)=c_i, ,

где , , с₀ = 1.

Очевидно, что последовательности u₀, …, u_k, , образуют T₊ - системы на [a, b]. Из условия W^(k)(t)>0 для tÎ[a, b] и  следует (см. [1]), что последовательности –u₀, …,-u_k, также образуют T₊ - системы. Следовательно, выполнены условия мажоризационной теоремы (см. [4]) и функция Á_m - Áне может иметь n+1 строгих перемен знака.

Пусть функция f(t) имеет k строгих перемен знака на [a, b]. Наряду с множествами B_i(f) строгого знакопостоянства рассмотрим множества P₀(f)=(-¥, infB₁(f)], P_i(f)=[supB_i-1(f), infB_i+1(f)],

 , P_k(f)=[supB_k-1(f), +¥).

Зафиксируем ФР . Рассмотрим два класса функций

{D_a=Á_s - Á:aÎ[0,1]} и {d_b=Á_s - Á:bÎ[0,1]}.

Число a (число b) назовем: параметром первого типа, если функция D_a (d_b) имеет n+2 строгих перемен знака (в этом случае на последнем множестве строго знакопостоянства функция D_a (d_b) отрицательна (положительна)); параметром второго типа, если функция D_a (d_b) имеет n+1 строгих перемен знака, причем на последнем множестве строгого знакопостоянства она отрицательна; параметром третьего типа, если функция D_a (d_b) имеет n+1 перемен знака, причем на последнем множестве строгого знакопостоянства она положительна.

Каждому aÎ[0,1] (bÎ[0,1]) сопоставим набор из n+3 множеств X₀(a), …, X_n+2(a) (Y₀(b), …, Y_n+2(b)) следующим образом. Если a (b) есть:

1.параметр первого типа, то

X_i(a)=P_i(D_a),  (Y_i(b)=P_i(d_b), );

2.

3.параметр второго типа, то

X_i(a)=P_i-1(D_a), , X₀(a)=(-¥, infB₀(D_a)],

(Y_i(b)=P_i(d_b), , Y_n+2(b)=(supB_n+1(d_b), +¥));

4.параметр третьего типа, то

X_i(a)=P_i(D_a), , X_n+2(a)=[supB_n+1(D_a), +¥)),

(Y_i(b)=P_i-1(d_b), , Y₀(b)=(-¥, infB₀(d_b)]).

Таким образом:

(-1)^n-iD_a(t)£0 при tÎIntX_i(a), , (1)

(-1)^n-id_b(t)³0 при tÎIntY_i(b), .

При этом ни для какого i не существует интервала X, для которого выполнено строгое включение XÉIntX_i(a) и (-1)^n-iD_a(t)£0 при tÎX. Ни для какого i не существует интервала YÉIntY_i(b) и (-1)^n-id_b(t)³0 при tÎY.

Заметим также, что X_i(0)=Y_i+1(0), X_i+1(1)=Y_i(1).

Определение 2. Отображение Z(g): gÎ[0, 1]®Z(g)ÌR¹ непрерывно, если из g_i®g⁰, x_i®x⁰, где g⁰, g_i Î[0, 1], x_iÎZ(g_i), i³1, следует x⁰ÎZ(g⁰).

Лемма 2. Отображения X_i(a), Y_i(b),  непрерывны.

Доказательство. Пусть a_j®a, j®¥. Обозначим через  границы отрезка X_i(a_j). Определим a₀=-¥. Возьмем произвольную точку a₁ сгущения последовательности {a₁^(j)}_j³1. Пусть для удобства . Проделаем ту же операцию с последовательностями {a_i^(j)}_j³1,  и {b_i^(j)}_j³1, . Положим b_n+2=+¥.

Итак,

, ,  (2)

причем -¥=a₀<a₁£b₀£a₂£b₁£…£a_n+1£b_n£a_n+2£b_n+1<b_n+2=+¥.

Из (1) и (2) следует, что для .

(-1)^n-iD_a(t)£0 (3)

при tÎ(a_i, b_i), если a_i¹b_i.

Из (3) и  следует, что a_i¹b_i, , так как в противном случае функция D_a имело бы не более n строгих перемен знака, что противоречит лемме 1. Отсюда и из определения X_i(a) следует [a_i, b_i]ÌX_i(a),. Для любого i из x_jÎ[a_i^(j), b_i^(j)] и x_j®x⁰ вытекает, что x⁰Î[a_i, b_i]. Следовательно, x⁰ÎX_i(a).

Непрерывность отображений Y_i(b) доказывается аналогично.

§ 3 Доказательство теоремы

В случае утверждение теоремы очевидно.

Пусть .

Лемма 3. Для любого ФР  и любой точки xÎ[a, b] существует ФР  такая, что Á_v(t)³Á_s(t) (Á_v(t)£Á_s(t)) в некоторой окрестности точки x.

Доказательство. Если не существует такого i, 0£i£n+2, что n-1 четно и xÎY_i(0), то в некоторой окрестности точки x имеет место d₀£0. В этом случае положим .

Пусть существует i такое, что n-i четно и xÎY_i(0).

Случай I, i¹n+2. a) Предположим, что xÏY_i(1). Пусть . Согласно лемме 2, xÎY_i(b^¢). В силу сделанного предположения, b¢<1 и, следовательно, существует последовательность {b_j}_j³1 такая, что xÎY_i(b_j) и b_j®b¢. Пусть для некоторого b_l не существует такого k, что n-k четно и xÎY_k(b_l). Тогда в некоторой окрестности точки x. В этом случае полагаем . Если же для всех b_j, j³1, существует k_j такие, что n-k_j четны и , то существует m, m¹i, такое, что n-m четно и xÎY_m(b_j) для бесконечного числа элементов последовательности {b_j}. По лемме 2 xÎY_m(b¢). Так как n-i и n-m четны, то m¹i-1, m¹i+1. Вместе с m¹i это противоречит включению xÎY_i(b¢).

б) Предположим, что xÎY_i(1)=X_i+1(1). Пусть a¢=inf{a:xÎX_i+1(a)}. Согласно лемме 2, xÎX_i+1(a¢). Если a¢=0, то xÎX_i+1(0)=Y_i+2(0). Это противоречит условию xÎX_i+1(a¢). Поэтому a¢¹0 и дальнейшее рассмотрение аналогично приведенному в а).

Случай II, i=n+2. а) При x¹Y_n+2(1) доказательство аналогично доказательству пункта а) случая I.

б) Пусть xÎY_n+2(1). Так как Y_n+2(1)ÌY_n+1(1), то xÎY_n+1(1). Точка x не может совпадать с левым концом отрезка Y_n+1(1), так как в этом случае множества Y_n+1(1) и Y_n+2(1) совпадают, что невозможно. Так как xÎY_n+1(1) и не совпадает с левым концом отрезка Y_n+1(1), то d₁(t)£0 в некоторой окрестности точки x. В этом случае полагаем .

Итак, доказано существование такой ФР , что Á_s-Á_n£0 в некоторой окрестности точки x. Случай Á_s-Á_n³0 рассматривается аналогично.

Теорема следует из леммы 3 и утверждения:

Á_s(x) и Á_s(x+0) достижимы. Докажем последнее.

Пусть d=Á_s(x) . Пусть последовательность ФР , i³1, такова, что Á. Выберем подпоследовательность последовательности {s_i}, слабо сходящуюся к некоторой ФР  . Покажем, что Á_s(x)=d. Для произвольного e>0 выберем x¢<x такое, что Á_s(x)-Á_s(x¢)<e¤2 и x¢- точка непрерывности Á_s. Существует номер N такой, что для любого j>N выполнено неравенство ½Á(x¢)-Á_s(x¢)½<e¤2, из которого следует, что Á_s(x¢) - Á(x¢)<e, j>N. Так как Á(x¢) £ Á(x), то Á_s(x) - Á(x)<e, откуда следует Á_s(x) - d£e. Последнее неравенство влечет Á_s(x)=d.

Глава 2 О чебышевской экстремальной задаче на [0, ¥)

В настоящей работе на конкретных классах функций распределения (ФР) даны два подхода к решению чебышевской экстремальной задачи на [0, ¥).

Чебышевская экстремальная задача. Пусть Â - выпуклый класс ФР на [0, ¥), системы u₀º1 на [0, ¥) функций образуют T₊-системы на [0, ¥).

Положим (1£i£n, sÎÂ):

, ,

 - моментное пространство класса Â относительно системы .

Пусть .

Найти , где .

1⁰. Первый подход заключается в урезании справа класса  в точке x>0, наложении условий, при которых задача на «урезанном» классе Â_х решается, и в переносе предельным переходом x®¥ решения на класс Â.

Для любого x>0 введем подкласс класса Â: Â_х={sÎÂ:s(x+0)=1}.

Очевидно, для любых x₁<x₂

 (1)

Предположим, что для любого x>0 Â_х - индексационный с дефектом n класс ФР на [0, x] ([5]).

Примерами таких классов служат: класс всех ФР на [0, ¥), класс ФР вогнутых на [0, ¥),класс ФР s на [0, ¥), удовлетворяющих при 0£x<y<¥ неравенству , L>0 и т. д.

Перечисленные выше классы являются нижними индексационными ([2]), т. е. для них выполнено включение

 (-замыкание множества XÌRⁿ),

где I_i^- - множество всех ФР, имеющих индекс i^- в Â.

Кроме того, для этих классов справедливо включение , и следовательно,

 (2)

Лемма 1. .

Доказательство. Пусть . Из выпуклости множества  следует, что точка  является внутренней точкой некоторого (n+1)-мерного симплекса, лежащего в , т. е. существуют векторы , и числа l₁>0, …, l_n>0, l_n+1>0 такие, что .

Из (2) следует существование последовательностей , таких, что

.

Тогда для достаточно больших k выполнено равенство

,

где , .

Следовательно, .

Из леммы 1 следует, что  для достаточно больших x. Так как класс Â_x является индексационным на [0, x], то ([5])

,

,

где ,  () – ФР с нижним (верхним) индексом n+1 в классе Â_x.

Так как ФР  имеет индекс (n+1)^- в Â и , то

.

Из (1) следует, что

.

Вид экстремальных ФР  и  для рассматриваемых классов имеется в [5].

2⁰. Второй подход продемонстрируем на примере класса Â₀ всех ФР на [0, ¥).

Лемма 2. Если u₀, u₁, …, u_n – T₊-система на [0, ¥), то для всех i и j существуют пределы .

Доказательство. Из определения T₊-системы следует, что для произвольных i, j и чисел a, b функции u_j(t) и au_j(t)+bu_j(t) обращаются в нуль более, чем в n+1 точках.

Пусть х – наибольшее решение уравнения u_j(t)=0. Рассмотрим уравнение

au_j(t)+bu_j(t)=0, t>x. (3)

Уравнение  (u_i(t)¹0, t>x) имеет не более (n+1) решений на (x, ¥) при любых a, b.

Пусть , .

Допустим, что  не существует, т. е. А<B.

Введем последовательности {t_i}_i³1, {t_i}_i³1, удовлетворяющие условиям:

а) t_k®¥, t_k®¥ при k®¥;

б) , ;

в) t₁<t₁<t₂<t₂<…<t_m<t_m<… .

Пусть cÎ(A, B).

Из-за непрерывности функции  на (x, ¥) уравнение

имеет бесконечное множество решений на (x, ¥).

Выберем 0£j₀£n так, чтобы  для всех  и обозначим .

Пусть число t₀ таково, что  при t>t₀.

Рассмотрим функцию

Пусть , , .

Легко видеть, что системы v₀, v₁, …, v_n и v₀, v₁, …, v_n, W являются T₊-системами на [0, ¥).

Предположим, что эти системы являются T₊-системами также на [0, ¥], т. е. для любых 0£t₀<t₁<…<t_n-1<t_n<¥

, ,

где .

Через  обозначим множество ФР sÎÂ₀, для которых интегралы , , абсолютно сходятся.

Пусть  - моментное пространство класса  относительно системы .

Рассмотрим класс непрерывных слева и неубывающих на [0, ¥) функций .

Имеем , т. е. .

Заметим, что отображение  является взаимно однозначным, причем .

Таким образом,  - множество всех неубывающих, непрерывных слева функций ограниченной вариации на [0, ¥).

Пусть .

Необходимо найти

. (4)

Из равенств (sÎÂ₀^U)

следует, что задача (4) эквивалентна следующей.

Найти

, (5)

где  - множество функций , удовлетворяющих равенствам

, , .

Таким образом, задача в классе Â₀ сведена к задаче (5), решение которой приведено, например, в [3].

Именно для любого

,

где - ступенчатая функция, имеющая положительные скачки в точках  при нечетном n и в точках  при четном n, - ступенчатая функция, имеющая положительные скачки в точках  при нечетном n и в точках  при четном n.

Из приведенных выше рассуждений следует, что

,

,

где , ,

r - величина скачка функции  в точке ¥.

Литература

1.  Крейн М.Г., Нудельман А.А. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. – Москва: Наука, 1973.

2.  Таталян К.Р. Экстремальные задачи проблемы моментов на классах распределений. – Дисс. на соиск. ученой степени кандидата физ.-мат. наук. Москва, МИЭМ, 1988.

3.  Карлин С., Стадден В. Чебышевские системы и их применение в анализе и статистике. – Москва: Наука, 1976.

4.  Даниэлян Э.А., Таталян К.Р. О проблеме моментов на мажоризируемых классах. – Ереван: Межвуз. сб. научн. трудов “Прикладная математика”, № 7, 1988.

5.  Манукян В.Р. О проблеме моментов для индексационных классов распределений. – Ереван: ДАН РА, том XCI, № 4, 1990.