Построение переходного процесса численным методом

1.2 Построение переходного процесса численным методом.

Для решения дифференциального уравнения используется многошаговый, неявный метод второго порядка, интерполяционная схема Адамса.

В неявных методах используется информация о возможном будущем значении решения в точке п+1. Это несколько повышает точность получаемых результатов по сравнению с явными методами.

Погрешность

При решении уравнения высокого порядка необходимо перейти к нормальной форме Коши.

нормальная форма Коши имеет вид

Разгонный метод Рунге – Кутта 5.

Дифференциальное уравнение системы.

Рис.7. Переходная функция найденная численным методом и точная

Рис.8. Переходная функция найденная численным методом и точная при

Рис.9. Переходная функция найденная численным методом и точная

Заключение: из графиков видно, что наибольшая погрешность возникает в самом начале процесса интегрирования.

При  погрешность значительно вырастает.

1.3 Анализ спектральным методом системы по базису функций Лягерра.

 

Разложим ядра  интегрального уравнения в ряды Фурье по базису функций Лягерра.

 функции Лягерра.

Выбираем  

Дифференциальное уравнение системы.

Спектральная характеристика системы определяется по формуле

Спектр выходного сигнала системы:

 Спектральная характеристика системы:

Рис.10. Переходная функция, построенная спектральным методом

Рис.11. Реакция на

Фазовый сдвиг

2. Синтез регулятора

Так реальная переходная характеристика системы не удовлетворяет поставленным требованиям , необходимо произвести коррекцию системы. В качестве корректирующего устройства ПИД –регулятор .

Эталонная переходная характеристика

Необходимо минимизировать следующую целевую функцию.

Метод оптимизации Дэвидона, Флетчера, Пауэла.

Согласно данному методу минимум ищется в направлении

 - ищется на каждом шаге мини минимизацией

 - некоторая симметричная положительно определённая матрица, которая при  переходит в матрицу Гессе. Обычно при  

 достоинства этого метода высокая скорость сходимости, простота вычисления

 - будем искать методом золотого сечения.

Параметры регулятора:

Рис.12. Графики переходных характеристик системы