Квадратичные кривые

2. Квадратичные кривые

Для построения квадратичных кривых Безье требуется выделение двух промежуточных точек Q0 и Q1 из условия чтобы параметр t изменялся от 0 до 1:

Точка Q0 изменяется от P0 до P1 и описывает линейную кривую Безье.

Точка Q1 изменяется от P1 до P2 и также описывает линейную кривую Безье.

Точка B изменяется от Q0 до Q1 и описывает квадратичную кривую Безье.

Рисунок 3 Построение квадратичной кривой Безье

3. Кривые высших степеней

Для построения кривых высших порядков соответственно требуется и больше промежуточных точек. Для кубической кривой это промежуточные точки Q0, Q1 и Q2, описывающие линейные кривые, а также точки R0 и R1, которые описывают квадратичные кривые: более простое уравнение p0q0/p0q1=q1p1/p1p2=bq0/q1q0

Рисунок 4 Построение кубической кривой Безье

Для кривых четвёртой степени это будут точки Q0, Q1, Q2 и Q3, описывающие линейные кривые, R0, R1 и R2, которые описывают квадратичные кривые, а также точки S0 и S1, описывающие кубические кривые Безье:

Рисунок 5 Построение кривой Безье 4-ой степени

1.4 Применение в компьютерной графике

Благодаря простоте задания и манипуляции, кривые Безье нашли широкое применение в компьютерной графике для моделирования гладких линий. Кривая целиком лежит в выпуклой оболочке своих опорных точек. Это свойство кривых Безье с одной стороны значительно облегчает задачу нахождения точек пересечения кривых (если не пересекаются выпуклые оболочки опорных точек, то не пересекаются и сами кривые), а с другой стороны позволяет осуществлять интуитивно понятное управление параметрами кривой в графическом интерфейсе с помощью её опорных точек. Кроме того аффинные преобразования кривой (перенос, масштабирование, вращение и др.) также могут быть осуществлены путём применения соответствующих трансформаций к опорным точкам.

Наибольшее значение имеют кривые Безье второй и третьей степеней (квадратичные и кубические). Кривые высших степеней при обработке требуют большего объёма вычислений и для практических целей используются реже. Для построения сложных по форме линий отдельные кривые Безье могут быть последовательно соединены друг с другом в сплайн Безье. Для того, чтобы обеспечить гладкость линии в месте соединения двух кривых, три смежные опорные точки обеих кривых должны лежать на одной прямой.

1.5 Преобразование квадратичных кривых Безье в кубические

Квадратичная кривая Безье с координатами  преобразовывается в кубическую кривую Безье с координатами:

 

2. Финитные функции

Финитной называется функция , определенная для всех , но отличная от нуля лишь на некоторой конечной области , называемой конечным носителем:

(2.1)

Для , определенных на , построение базиса  из финитных функций осуществляется следующим образом. Сначала область , в которой решается задача, некоторым регулярным образом покрывается конечным числом  перекрывающихся подобластей , например как на рис. 6.1:

(2.2)

Желательно, чтобы  только для , смежных с .

Подобласти  получили название конечные элементы.

Затем на каждом  как на конечном носителе строим базисную финитную функцию . Все функции таким образом выбранного базиса линейно независимы в силу условий (2.1), (2.2).

Отметим преимущества такого выбора базиса:

а) ввиду того, что  выбираются значительно меньшими  и при этом скалярные произведения

(2.3)

равны нулю для функций с непересекающимися носителями, матрица проекционного уравнения будет сильно разрежена. Более того, если условие  выполняется только для смежных носителей, то матрица получается ленточной, т.е. аналогична той, к которой приводят сеточные методы;

б) возможность выбора специфических приграничных конечных элементов и связанных с ними финитных функций, учитывающих особенности границы, позволяет эффективно решать краевые задачи на достаточно произвольной области .

Основная трудность аппроксимации финитными функциями состоит в сопряжении финитных функций на границах W_k таким образом, чтобы функция  в целом была непрерывна вместе со своими производными достаточно высокого порядка.

При таком выборе базиса естественно поставить вопросы о его полноте, выборе вида функций  и аппроксимационных свойствах разложения искомого решения

. (2.4)

На все эти вопросы частично дает ответ теория Стренга-Фикса.

2.2 Теория аппроксимации финитными функциями Стренга-Фикса

Изложим основные идеи этой теории для функций одной переменной с регулярными конечными элементами.

Область  покрываем равномерной сеткой

, [p] – целая часть p.

Конечные элементы  выберем как отрезки длиной  с центром в точке : . Если , смежные элементы не пересекаются и их длина равна : если , то длина пересечения равна , длина  равна ; при  – длина пересечения , длина  равна . Заметим, что такое покрытие полностью удовлетворяет условиям (2.2). Все базисные финитные функции с носителями  выберем одинаковой формы как сдвиги одной «стандартной» финитной функции :

; (2.5)

Если «стандартная» функция нормирована к единице, то ее сдвиги записываются в виде

(2.6)

Теорема Стренга-Фикса (один из вариантов)

Допустим, что . В этом случае для  существует преобразование Фурье:

прямое  обратное

Допустим, что для преобразования Фурье стандартной финитной функции  выполнено условие

 и  при (2.7)

(т.е. в точках  имеет нули й кратности).

Тогда существуют такие , что при

.

Это значит, что если, например, подобрать , у которой условия теоремы выполняются для , то аппроксимация самой функции  имеет порядок , аппроксимация ее первой производной, второй – .

Наличие такой центральной теоремы, а также еще ряда доказанных Стренгом-Фиксом теорем, в частности о существовании функций, удовлетворяющих условиям (2.7), дает алгоритм для построения базисных финитных функций, обладающих необходимыми аппроксимационными свойствами.