Підгрупа Фиттинга і її властивості

Підгрупа Фиттинга і її властивості Група з нильпотентними додаваннями до підгруп Використовувані результати

39260

знаков

таблиц

изображений

Вивчення нильпотентної довжини кінцевих груп з відомими додаваннями до максимальних підгруп Читать далее: Група з нильпотентними додаваннями до підгруп

1. Підгрупа Фиттинга і її властивості

Добуток всіх нормальних нильпотентних підгруп групи називають підгрупою Фиттинга групи й позначають через . Множина простих дільників порядку групи позначається через а найбільшу нормальну -підгрупу групи - через .

Лема 1.1. (1) - найбільша нормальна нильпотентна підгрупа групи ;

(2) ;

(3) .

Proof. (1) Нехай і - нильпотентние нормальні підгрупи групи й нехай і - силовські -підгрупи з і . Тому що , а , те по лемі 4.1, с. 35. Аналогічно, , тому . Ясно, - -група. Покажемо, що вона силовська в. Для цього обчислимо її індекс:

Тому що чисельник не ділиться на , те - силовська -підгрупа групи . Отже, добуток двох нормальних нильпотентних підгруп є нормальна нильпотентна підгрупа. Тому - найбільша нормальна нильпотентна підгрупа групи .

(2) Ясно, що для всіх , тому

Обернено, якщо - силовська -підгрупа групи , те й нормальна в , тому й

(3) Якщо , те й нильпотентна, тому по (1) і .

Лема 1.2. (1) ; якщо розв'язно й , те ;

(2) (3) якщо , те ; якщо, крім того, абелева, те

Proof. (1) Оскільки підгрупа Фратіні - нильпотентна нормальна підгрупа групи , те . Нехай - розв'язна неодинична група. Тоді розв'язна й неодинична. Нехай

Тому що - -група для деякого простого , то по наслідку 4.2, с. 35, підгрупа нильпотентна й . Отже, .

(2) Якщо , те - нильпотентна нормальна в підгрупа по теоремі 4.3, с. 35, тому й

Зворотне включення треба з визначення підгрупи Фиттинга.

(3) Для мінімальної нормальної підгрупи або , або . Якщо , то

Якщо , то - елементарна абелева -група для деякого простого . Тому що , те . З іншого боку, по теоремі 4.4, с. 35, тому .

Теорема 1.3. для кожного . Зокрема, якщо розв'язно, те

Proof. Нехай , . Тому що по лемі 4.5, с. 35, те . Припустимо, що для деякого й нехай

Ясно, що й Нехай - силовська -підгрупа групи . Тому що

-група, те, а оскільки , те й . Тепер, - нильпотентна нормальна підгрупа групи й . Таким чином, і перше твердження доведене. Якщо розв'язно, то розв'язно, тому й .

Говорять, що підгрупа групи доповнюємо в , якщо існує така підгрупа , що й . У цьому випадку підгрупу називають доповненням до підгрупи в групі

Теорема 1.4. Якщо - нильпотентна нормальна підгрупа групи й , те дополняема в.

Proof. За умовою а по теоремі 4.6, с. 35, комутант . По теоремі 4.7, с. 35, підгрупа Фратіні а за умовою Тому й абелева. Нехай - додавання до в. По лемі 4.8, с. 35, Оскільки й те й по теоремі 4.7, с. 35,

Отже, і - доповнення до в.

Теорема 1.5. Факторгрупа є прямий добуток абелевих мінімальних нормальних підгруп групи .

Proof. Припустимо спочатку, що й позначимо через підгрупу Фиттинга По теоремі 4.6 комутант Але значить по теоремі 4.7, с. 35. Тому й абелева. Нехай - прямий добуток абелевих мінімальних нормальних підгруп групи найбільшого порядку. Тоді й по теоремі 1.4 існує підгрупа така, що По тотожності Дедекинда Але абелева, тому а тому що , те На вибір перетинання й

Нехай тепер і По лемі 1.2(2) Тому що те для твердження вже доведене.

Наслідок 1.6. У розв'язній групі з одиничною підгрупою Фратіні підгрупа Фиттинга є прямий добуток мінімальних нормальних підгруп.

Теорема 1.7. Підгрупа Фиттинга збігається з перетинанням централізаторов головних факторів групи.

Proof. Нехай

По наслідку 4.9, с. 35, підгрупа нормальна в. Якщо

головний ряд групи , те

нормальний ряд групи . Тому що підгрупа втримується в кожній підгрупі , те

для . По теоремі 4.10, с. 35, підгрупа нильпотентна, тому .

Перевіримо зворотне включення. Нехай - головний фактор групи . Тому що

те по лемі 4.11, с. 35, або

або

У першому випадку , тому

У другому випадку з нильпотентності підгрупи по лемі 1.2 одержуємо, що

Знову . Таким чином, і .

Лема 1.8. .

Proof. Нехай . Ясно, що й . Тому що

те й ізоморфна нормальної нильпотентною підгрупі групи . Тому

Нехай - група й нехай

Ясно, що

У розв'язній неодиничній групі підгрупа Фиттинга відмінна від одиничної підгрупи по лемі 1.2. Тому для розв'язної групи існує натуральне таке, що .

Нильпотентною довжиною розв'язної групи називають найменше , для якого . Нильпотентну довжину розв'язної групи позначають через . Таким чином, якщо група розв'язна й , те

Тому побудований ряд нормальний і його фактори нильпотентни.

Ясно, що тоді й тільки тоді, коли група нильпотентна.

Приклад 1.9. .

Непосредсвенно з визначення нильпотентною довжини випливає

Лема 1.10. Нехай - розв'язна група. Тоді:

(1) ;

(2) .

Лема 1.11. (1) Якщо - розв'язна група, то довжина будь-якого нормального ряду групи з нильпотентними факторами не менше, ніж .

(2) Нильпотентна довжина розв'язної групи збігається з довжиною самого короткого нормального ряду з нильпотентними факторами.

Proof. (1) Застосуємо індукцію один по одному групи . Нехай

нормальний ряд групи з нильпотентними факторами. Тому що - нормальна нильпотентна підгрупа групи , те й . Тут . Факторгрупа має порядок менше, ніж порядок групи й володіє поруч

де . Ясно, що це нормальний ряд, його довжина і його фактори

нильпотентни. По індукції й .

(2) треба з (1). Лема 1.12. Нехай - розв'язна група. Тоді:

(1) якщо , те ;

(2) якщо , те ;

(3) якщо й , те

зокрема, якщо й - розв'язні групи,те

(4) .

Proof. Нехай і . Тоді

(1) Нехай . Тоді ряд

буде нормальним рядом підгрупи з нильпотентними факторами

По лемі 1.11.

(2) Нехай і . Тоді ряд

буде нормальним рядом групи з нильпотентними факторами

По лемі 1.10.

(3) Ясно, що . Позначимо . Тоді по лемі 1.10, а по індукції

Тому . Тому що по (1), те маємо

(4) Покладемо . По лемі 1.2 для неодиничної розв'язної групи маємо й

Тому .

Наступна теорема належить К. Дерку.

Теорема 1.13. Якщо - максимальна підгрупа розв'язної групи , те, де .

Приклад. Скористаємося індукцією один по одному групи . Нехай - мінімальна нормальна підгрупа групи . Якщо , то й , де . Тому можна припустити, що всі мінімальні нормальні підгрупи групи втримуються в. Якщо група містить дві різні мінімальні нормальні підгрупи, те й по індукції

Оскільки

те теорема справедлива. Отже, можна вважати, що група містить у точності одну мінімальну нормальну підгрупу. Якщо , то по лемі 1.12 і знову

Оскільки

те знову теорема справедлива.

Отже, можна вважати, що й по наслідку 1.6. По індукції

Якщо , то твердження справедливо. Нехай , тобто . Уважаємо, що - -група. Тоді - -група. Нехай . Якщо , то й , тому

і теорема справедлива.

Залишається випадок, коли . Тому що - -підгрупа, те

причому - -група. Протиріччя.

Приклад 1.14.

Всі три значення в теоремі 1.13 мають місце. Значення виконується на будь-який нильпотентною неодиничній групі. Значення виконується на групі з максимальною підгрупою . Значення виконується на групі , у якої силовська -підгрупа максимальна.

Якщо факторгрупа нильпотентна, то групу називають метанильпотентною.

Теорема 1.15. (1) У розв'язній неодиничній групі підгрупа Фратіні збігається з перетинанням максимальних підгруп, що не містять підгрупу Фиттинга.

(2) У розв'язної ненильпотентною групі перетинання максимальних підгруп, що містять підгрупу Фиттинга, метанильпотентно.

Proof. Позначимо через перетинання всіх максимальних підгруп групи , що не містить , а через перетинання максимальних підгруп групи , що містять . Ясно, що підгрупи й характеристичні в групі й

(1) У факторгрупи підгрупа Фиттинга

по лемі 1.2, тому

Припустимо, що й нехай - мінімальна нормальна підгрупа групи , що втримується в. Тому що підгрупа нормальна в групі й факторгрупа нильпотентна, те по теоремі 4.3, с. 35, підгрупа нильпотентна й . Але тепер

протиріччя. Тому допущення невірно й , тобто .

(2) Нехай - розв'язна ненильпотентна група. Ясно, що й

Тому підгрупа метанильпотентна.

Приклад 1.16. У нерозв'язній групі центр, підгрупа Фратіні й підгрупа Фиттинга збігаються й мають порядок . Тому в групі немає максимальних підгруп, що не містять підгрупу Фиттинга.

Отже, твердження (1) теореми 1.15 у нерозв'язних групах порушується.

2. - довжина - розв'язної групи

Нехай - просте число. Назвемо групу - групою, якщо її порядок не ділиться на й, як звичайно, - групою, якщо її порядок дорівнює ступеня числа . Кінцеву групу будемо називати - розв'язної, якщо кожний з її композиційних факторів є або - групою, або -групою. Таким чином, група розв'язна у звичайному змісті тоді й тільки тоді, коли вона -розв'язна для всіх простих . Ясно, що група - розв'язна тоді й тільки тоді, коли вона має нормальний ряд

у якому кожна факторгрупа є або -групою, або -групою. Тому для такої групи ми можемо индуктивно визначити верхній -ряд.

зажадавши, щоб була найбільшої нормальною -підгрупою в , а - найбільшої нормальної -підгрупою в.

Найменше ціле число , для якого , ми назвемо -довгої групи й позначимо його , або, якщо необхідно, .

-довжину -розв'язної групи можна також визначити як найменше число -факторів, що зустрічаються в якому або ряді виду (2.1), оскільки мінімум досягається для верхнього -ряду (2.2). Підгрупи й, мабуть, характеристични в , і містить всі нормальні підгрупи групи з -довгої, не переважаючого числа . Помітимо також, що

для

Підгрупи й факторгрупи -розв'язної групи також -розв'язні, і їхня довжина не перевищує . Якщо групи й обидві -розв'язні, то таке ж їхній прямий добуток і

Нехай - -розв'язна група й - її силовська -підгрупа. Розумно припустити, що чим більше -довго групи , тим більшої повинна бути складність силовської підгрупи . Додамо точний зміст цьому твердженню й доведемо його декількома способами, обираючи різні критерії складності . Найбільш природні із цих критеріїв, силовські -інваріанти групи , такі:

(i) де - порядок ,

(ii) - клас нильпотентності , тобто довжина (верхнього або) нижнього центрального ряду ,

(iii) - довжина ряду комутантів ,

(iv) де - експонента , тобто найбільший з порядків елементів . Експонента самої групи , тобто найменшого загальне кратне порядків її елементів, дорівнює тому . Очевидно, рівність нулю кожного з інваріантів або рівносильно тому, що є -групою.

В основних теоремах обмежимося випадком непарних простих чисел , і навіть тоді результати будуть трохи різними, залежно від того, чи є простим числом Ферма чи виду ні.

Справедлива наступна теорема.

Теорема 2.1. Якщо - -розв'язна група, де - непарне просте число, те

(i)

(ii) якщо не є простим числом Ферма, і , якщо - просте число Ферма. Крім того, ці оцінки не можна поліпшити.

Ми встановимо також нерівності, що зв'язують c і з , але тут наші результати будуть тільки для простих чисел, що не є простими числами Ферма. Всі ці результати тривіальні для , і ми доведемо їхньою індукцією по . Припустимо, що й що , як завжди володіє верхнім -поруч (2.2). Нехай підгрупа Фратіні -групи . Усякий елемент групи індуцирує внутрішній автоморфізм групи й, отже, групи . Але, як відоме, є елементарної абелевой -групою; тому її можна ототожнити з аддитивной групою векторного простору над простим полем характеристики , а її автоморфізм - з лінійними перетвореннями цього простору. Автоморфизми групи , індуковані елементами , утворять тому лінійну групу над полем характеристики . Ця група, мабуть, є гомоморфним образом групи , і ми покажемо, що в дійсності вона ізоморфна групі , і тому є -розв'язною групою, не утримуючої нормальної підгрупи, відмінної від одиниці.

Теорема 2.2. Нехай - розв'язна лінійна група над полем характеристики , не утримуюча неодиничну нормальну -підгрупу. Нехай - елемент порядку в. Тоді мінімальне рівняння для має вигляд .

Число задовольняє наступній умові. Нехай найменше ціле число (якщо воно існує), для якого є ступенем простого числа із властивістю . Якщо не існує, то ; у противному випадку

Цей результат, доповнений більше детальними відомостями про елементи , для яких , буде ключем до доказу теореми А. Треба помітити, що нерівність може виконуватися тільки тоді, коли або коли - простої число Ферма. Теорема В и подібні їй теореми доводяться в основному прямим визначенням найменшої групи, що задовольняє цим умовам, і прямим обчисленням. При цьому відіграє важливу роль наступна теорема, цікава сама по собі.

Теорема 2.3. Нехай - якась -група, на яку діє -група , причому деякий елемент групи діє нетривіально на , але тривіально на кожну щиру -інваріантну підгрупу групи . Тоді існує таке просте число , що є або елементарної абелевой -групою, або -групою класу нильпотентності 2, у якої центр і комутант збігаються, факторгрупа по комутанту - елементарна абелева група й подання на неприводимо.

Слід зазначити, що якщо - розв'язна група, то обмежник тягне обмеженість довжини ряду комутантів групи .

Нехай означає наступне твердження:

: для кожного позитивного цілого числа існує таке ціле число , що всяка розв'язна група експоненти , породжувана елементами, має порядок не більше .

Теорема 2.4. істинно, якщо істинно для всіх ступенів простих чисел , що ділять .

Зокрема, тому що відомо, що , і щирі, те щирі й . У цих випадках, як і завжди, коли ділиться тільки на два простих числа, ми можемо слово "розв'язна" замінити у формулюванні словом "кінцева". Якщо - число, вільне від квадратів, ми навіть можемо обчислити , коли відомі для всіх простих , що ділять , і всіх . Так, порядок найбільшої кінцевої -породженої групи експоненти 6 дається формулою

де й

Нехай потрібно довести індукцією один по одному групи нерівність

Тут і - числові інваріанти, для деякого класу кінцевих груп, що ми вважаємо замкнутим. Ми вважаємо , що (2.3) виконується для досить малих , отже й для , і, крім того, що:

(I) якщо - підгрупа , те ;

(II) ;

(III) якщо - факторгрупа , те .

Тоді справедлива

Лема 2.5. У доказі нерівності (2.3) індукцією один по одному групи можна припустити, що володіє тільки одною мінімальною нормальною підгрупою.

Справді, якщо володіє двома мінімальними нормальними підгрупами й , ми одержимо, що , так що ізоморфно підгрупі прямого добутку . Так як - інваріант, що має однакові значення для ізоморфних груп, останні (I) і (II) дають

У силу припущення індукції й у силу умови (III) . Таким чином, , і точно також , так що , що й було потрібно.

Помітимо, що всі силовські -інваріанти, згадані раніше, крім , задовольняють умовам (I), (II) і (III). Те ж вірно й для інваріанта розв'язної групи й інваріанта -розв'язної групи; задовольняє умові (III). Таким чином, якщо задовольняє умовам (I) і (II), те цим же умовам задовольняє будь-яка функція , а якщо задовольняють умові (III), те цій же умові задовольняє будь-яка функція , що не убуває по кожному з аргументів. Тому що всі наші нерівності тривіальні для досить малих груп , то легко бачити, що твердження останньої леми можна застосовувати щораз, коли це необхідно.

Теорема 2.6. Якщо - розв'язна група, те .

Доводячи теорему індукцією один по одному , можна припустити, що володіє тільки одною мінімальною нормальною підгрупою. Тому що розв'язно, ця підгрупа буде -групою для деякого простого числа . Тоді у верхньому -ряді (2.2) групи підгрупа . Звідси

Але й -1, у той час як при інваріанти й мають однакові значення для й .

Нехай пропозиція індукції, застосована до групи , дає

Звідси треба теорема.

Нам знадобитися далі важлива властивість верхнього -ряду -розв'язної групи, що зручно вивести в небагато більше загальному контексті. Нехай - деяка множина простих чисел, а - додаткове до множина. -група - це кінцева група, порядок якої ділиться тільки на прості числа, що входять в. Кінцева група -розв'язна, якщо кожний її композиційний фактор є або -групою, або -групою. Така група володіє верхнім -поруч, для якого ми використовуємо ті ж позначення, що й у випадку, коли містить одне просте число . Таким чином, ми пишемо

для ряду нормальних підгруп, вимагаючи, щоб факторгрупа була найбільшої нормальною -підгрупою в , а факторгрупа - найбільшої нормальної -підгрупою в.

Лема 2.7. Якщо -розв'язна група не містить неодиничну -підгрупу, так що , то група містить свій централізатор у групі .

Нехай - централізатор групи . Якщо лема не вірна й , то ми можемо вибрати нормальну підгрупу групи , таку, що й мінімальну при цьому умові. Тому що група -розв'язна, факторгрупа виявляється або -групою, або -групою, а по визначенню групи вона не може бути -групою. Отже, факторгрупа є -група й порядки груп і взаємно прості. По теоремі Шура, група має доповнення в групі . Тому що , трансформування групи елементом з індуцірує її внутрішній автоморфізм, а тому що порядки й взаємно прості, цей автоморфізм може бути тільки тотожним. Тоді - прямий добуток і . Тому є характеристичною підгрупою в , а отже, нормальною підгрупою в , у протиріччі із припущенням, що . Це протиріччя доводить лему. Помітимо, що припущення насправді зайво, тому що в загальному випадку ми можемо застосувати лему до факторгрупи .

Наслідок 2.8. Нехай - деяка підгрупа , індекс якої не ділиться ні на яке просте число з , тоді центр групи втримується в центрі групи .

Дійсно, підгрупа повинна містити нормальну -підгрупу групи .

Наслідок 2.9. Нехай - деяка підгрупа групи , що містить , тоді не володіє неодиничної нормальної -підгрупою.

Дійсно, нормальна -підгрупа групи повинна втримуватися в центролизаторе групи .

Під -підгрупою кінцевої групи ми маємо на увазі таку підгрупу, порядок і індекс якої взаємно прості. Якщо група розв'язна і її порядок дорівнює , де , то група володіє -підгрупами порядку й будь-які дві з них сполучені, а тому ізоморфні.

Теорема 2.10. Якщо - розв'язна група порядку , де при , і якщо підгрупа групи порядку має клас нильпотентності те

Зокрема, для будь-якої кінцевої розв'язної групи . -підгрупа деякої факторгрупи , порядок якої ділить , має клас нильпотентності, не перевищуючий , так що ми можемо застосувати твердження леми 2.5 і одержати результат індукцією один по одному групи , допустивши що володіє тільки одною мінімальною нормальною підгрупою. Це буде -група для деякого простого числа , і ми можемо тому предполодить, що її порядок ділить . Тоді, якщо ми візьмемо в якості множина простих долителей числа , виявиться виконаної передумова леми 2.5. Якщо - найбільша нормальна -підгрупа групи й - її центр, то по наслідку леми 2.5 містить центр -підгрупи групи , що має порядок . Порядок -підгрупи групи ділить , тому клас нильпотентності її не більше . Для -підгрупи груп і порядку ізоморфні, так що в силу припущення індукції, застосованої до , одержимо

Тому що , той доказ по індукції проведено.

Перш ніж застосовувати лему 2.5 до доказу нерівності для , зручно уточнити її для випадку, при якому складається з одного простого числа . Нехай є -розв'язна група з верхнім -поруч (2.2) . Тоді лема 2.5, застосована до групи , показує, що якщо - елемент групи , що не входить в , те трансформування елементом індуцируе у нетотожний автоморфізм. Необхідне уточнення складається в заміні групи групою , де - підгрупа Фратіні групи . Тепер - -група, і в такий спосіб - елементарна абелева -група. Ясно тому, що автоморфізм групи , індукований групи , тотожний. Таким чином, множина елементів групи , що тотожно трансформує , є нормальною підгрупою групи , такий, що . По визначенню фактор група не може бути -групою, відмінної від 1, тому якщо , те група повинна містити елемент , що не входить в і порядку, взаємно простого . Тоді індуцірує автоморфізм групи порядку, взаємно простого с. Але автоморфізм -групи, по модулю підгрупі Фратіні, має порядок, рівний ступені числа . Таким чином, індуцірує у нетотожний автоморфізм, що суперечить визначенню групи . Виходить, , що й було потрібно. У такий спосіб:

Лема 2.11. Якщо є -розв'язна група з верхнім -поруч (2.2) і якщо - підгрупа Фратіні групи , те автоморфизми групи, які індуковані трансформуваннями елементами групи , представляють точно.

Наслідок 2.12. .

По лемі група не володіє неодиничної нормальної -підгрупою, і наступні члени її верхнього -ряду являють собою фактор групи по відповідних членів верхнього -ряду групи .

Теорема 2.13. Для кожної -розв'язної групи

(I)

(II)

Ми можемо використовувати індукцію один по одному групи й припустити, що володіє тільки одною мінімальною нормальною підгрупою . Очевидно, ми можемо також припустити, що , звідки наслідку з леми 2.11 , а, отже, , і - елементарна абелева -група. Тепер, думаючи , ми одержимо, що , так що по припущенню індукції містимо, що . Якщо - група порядку , то порядок її групи автоморфизмов дорівнює

так що . Відповідно до леми 2.11, група ізоморфна деякій підгрупі групи , так що , звідки . Таким чином,

що й було потрібно.

З іншої сторони відповідно до наслідку 1 леми 2.7, містить центр силовської -підгрупи групи , так що . Тому що , те індукція для (II) проводиться відразу.