Використовувані результати

4. Використовувані результати

Лема 4.1. Нехай . Тоді:

(1) якщо , , те ;

(2) якщо , , те .

Наслідок 4.2. Якщо  нильпотентна, те  нильпотентна.

Теорема 4.3. Нехай ,  і . Якщо  нильпотентна, то  нильпотентна.

Теорема 4.4. (1) Центр  неодиничної нильпотентною групи  відмінний від одиниці й .

(2) У нильпотентною групі кожна власна підгрупа відмінна від свого нормализатора.

(3) У нильпотентною групі  перетинання неодиничної нормальної підгрупи  із центром групи відмінно від одиниці й .

Лема 4.5. Нехай  - нормальна підгрупа групи . Тоді:

(1) якщо , те й ;

(2) якщо , те й ;

(3) ;

(4) .

Теорема 4.6. Група нильпотентна тоді й тільки тоді, коли її комутант утримується в підгрупі Фратіні.

Теорема 4.7. Нехай . Тоді:

(1) ;

(2) ;

(3) якщо , те ;

(4) якщо  й , те .

Лема 4.8. Тоді й тільки тоді підгрупа  є додаванням до нормальної підгрупи  в групі , коли  й .

Наслідок 4.9. (1) Якщо  - головний фактор кінцевої групи , те  й

(2) Якщо  - головний фактор порядку  кінцевої групи , те  - циклічна група порядку, що ділить .

Теорема 4.10. (1) Якщо існує натуральне число  таке, що , то група  нильпотентна.

(2) Щабель нильпотентності нильпотентною групи  є найменше натуральне число , для якого

Лема 4.11. Нехай . Тоді:

(1) якщо , те або , або  й ;

(2) якщо  абелева й  для деякої власної підгрупи  групи , те ;

(3) якщо  й , те .

Висновок

У даній дипломній роботі викладені основи теорії нильпотентної довжини кінцевої розв'язної групи, проведене дослідження величини нильпотентної довжини кінцевих розв'язних груп з відомими додаваннями до максимальних підгруп. У роботі розглянуті наступні питання: підгрупа Фиттинга кінцевої розв'язної групи і її властивості; нильпотентна довжина й інші інваріанти кінцевої розв'язної групи; ознаки можливості розв'язання кінцевої групи з відомими додаваннями до максимальних підгруп; знаходження величини нильпотентної довжини розв'язної групи з відомими додаваннями до максимальних підгруп.

У першому розділі "Підгрупа Фиттинга і її властивості" вивчені властивості підгрупи Фиттинга. Доведено теореми К. Дерка й Монахова В.С.

У другому розділі " - довжина -розв'язної групи" дані необхідні визначення й доведене теорема.

У главі "Група з нильпотентними додаваннями до підгруп" доведена важлива теорема:

Теорема. Кінцева нерозв'язна група з нильпотентними додаваннями до несверхразрешимих підгруп ізоморфна  або , де  - нильпотентна група, а  й  - прості числа.

Також доведений наслідок із цієї теореми.

Наслідок. Кінцева нерозв'язна група, у якій всі підгрупи непримарного індексу понад розв'язні, ізоморфна  або , де  - - група, або , де  - -група.

Список використаних джерел

[1] В.А. Белоногов. Задачник по теорії груп. - К., 2000.

[2] С.С.Левищенко. //Деякі питання теорії груп. – К., 1975. С. 173-196.

[3] В.С. Монахов. Введення в теорію кінцевих груп і їхніх класів. – К., 2000

[4] В.С. Монахов. Нерозв'язні кінцеві групи з нильпотентними додаваннями. – К., 2004

[5] М.В.Селькин. Максимальні підгрупи в теорії класів кінцевих груп. - К., 1997.

[6] М.Хол. Теорія груп. – К., 2005

[7] Л.А.Шеметков. Формації кінцевих груп. – К., 2006

[8] Скиба А.Н., Шеметков Л.А. Формації алгебр із що доповнюються підформаціями // Укр. мат. журн. - 1991. - Т. 43, № 7, 8. - С. 1008-1012.

[9] Скиба А.Н. Алгебра формацій. – К., 2004

[10] Черніков С.М. Групи із заданими властивостями системи підгруп. – К., 2000

[11] Guo Wenbin. Local formations in which every subformation of type  has a complement // Chinese science Bulletin. - 1997. - Vol. 42, № 5. - P. 364-368.

[12] Hall P. A characteristic property of soluble groups // J.London Math. Soc. - 1937. - 12. - P. 198-200.

[13] Huppert B. Endliche Gruppen. I. Berlin-Heidelberg-New York, 1976.

[14] Монахов В. С. Кінцеві групи. – К., 2004