Група з нильпотентними додаваннями до підгруп

3. Група з нильпотентними додаваннями до підгруп

У справжньому главі описані нерозв'язні кінцеві групи з нильпотентними додаваннями до несверхразрешимих підгруп. До цього класу груп ставляться, зокрема, і кінцеві групи із примарними індексами несверхразрешимих груп. Доводиться

Теорема 3.1. Кінцева нерозв'язна група з нильпотентними додаваннями до несверхразрешимих підгруп ізоморфна  або , де  - нильпотентна група, а  й  - прості числа.

Наслідок 3.2. Кінцева нерозв'язна група, у якій всі підгрупи непримарного індексу сверхразрешими, ізоморфна  або , де  - -група, або , де  - -група.

Відзначимо, що кінцеві групи з нильпотентними підгрупами непримарного індексу вивчені С. С. Левищенко [13]. Серед них немає нерозв'язних груп.

Розглядаються тільки кінцеві групи. Всі позначення, що зустрічаються, і визначення стандартні, їх можна знайти в [2,14].

Нам знадобиться наступна

Лема 3.3. Нехай у кінцевій групі  кожна несверхразрешима група володіє нильпотентним додаванням. Тоді в будь-якій підгрупі й у будь-який фактор-групі групи  кожна несверхразрешима підгрупа володіє нильпотентним додаванням.

Proof. Нехай  - довільна підгрупа кінцевої групи , і нехай  - несверхразрешимая підгрупа з . У групі  існує нильпотентное додавання  до підгрупи . Тому , а . Тепер  - нильпотентна, і до  можна взяти нильпотентне додавання в підгрупі .

Нехай  - нормальна в  підгрупа, і  - несверхразрешимая в  підгрупа. Тоді  несверхразрешима, і існує нильпотентна підгрупа  така, що . Тепер  нильпотентна й , тобто до підгрупи  можна знайти в  нильпотентное додавання.

Доведемо теорему.

Приклад. Шлях  - кінцева нерозв'язна група з нильпотентними додаваннями до підгруп. Тому що  не -нильпотентна, те в  існує -замкнута підгрупа Шмидта , де  - нормальна в  силовська 2-підгрупа, підгрупа  - циклічна [14,c. 434]. Оскільки  не є сверхразрешимої, те існує нильпотентна підгрупа  така, що . З урахуванням парності порядку  з теореми 2.8 [15] містимо, що фактор-група  ізоморфна  або , де  - деяке просте число, а  - найбільша розв'язна нормальна в  підгрупа. Крім того,

 а

Тут  і  - 'елементарна абелева й циклічна підгрупи порядку . З теореми 2.10 [15] одержуємо, що  - простої число.

У випадку, коли  й  - прості числа в простій групі , кожна несверхразрешима підгрупа ізоморфна групі . Остання підгрупа має в  циклічне доповнення . Тому група  у випадку, коли  й  - прості числа, задовольняє умові теореми.

Перевіримо, що група  не задовольняють умові теореми. Нехай

Відомо, що  - нормальна в  підгрупа, а  - циклічна група порядку . Для силовської -підгрупи  з  маємо

Тепер

Оскільки  й  - прості числа, то в  існує підгрупа  порядку . Для  підгрупа  -замкнута, і зовнішній автоморфізм  не централізує силовскую -підгрупу, тому  несверхразрешима. Тому що в  немає нильпотентною підгрупи порядку , то  не задовольняє умові теореми при . Якщо , то в  для підгрупи Шмидта, ізоморфній знакозмінній групі  ступеня , повинна найтися нильпотентна підгрупа  порядку, що ділиться на . Але такий нильпотентною підгрупи в  немає.

Отже, якщо , те  ізоморфна , де  й  - прості числа.

Нехай тепер . Припустимо, що  не є мінімальною нормальною в  підгрупою, і нехай  - мінімальна нормальна в  підгрупа, що втримується в.  По індукції, , де  - нильпотентна, а  ізоморфна  або . Тому що , те  - власна в  підгрупа, і для її прообразу  в групі  по індукції одержуємо, що , де  або . Підгрупа  характеристична в , а  нормальна в , тому  нормально в.  Тому що

 те

Оскільки для несверхразрешимої підгрупи  з  існує нильпотентна підгрупа  така, що , те

буде нильпотентною підгрупою.

Тепер розглянемо випадок, коли  - мінімальна нормальна в  підгрупа. Припустимо, що комутант  - власна в  підгрупа. Тому що

 те

З мінімальності  одержуємо, що

 Тому що

де  й  - прості числа, то в цьому випадку теорема доведена.

Отже, нехай . Якщо  - власна підгрупа у своєму централізаторі, то із простоти  треба, що  втримується в центрі . Тепер група  ізоморфна  або  по теоремі VI.25.7 [14].

Нехай  само централізована. Оскільки  розв'язно, те  - -група для деякого простого . Допусти, що існує простої , що ділить порядок , і нехай  - силовська -підгрупа з . Якщо підгрупа  сверхразрешима, то  нильпотентна й  не само централізована. Якщо  не сверхразрешима, то за умовою теореми існує нильпотентна підгрупа  така, що . Але тепер

буде розв'язної як добуток двох нильпотентних підгруп, протиріччя. Отже,  - найбільше просте число, що ділить порядок .

Допустимо, що  не втримується в.  Тоді  - власна в  підгрупа й . Тому що ,  і  - -група, те  - група непарного порядку. Підгрупа  має порядок  і  - просте число. Тому  й тепер , а фактор-група

буде розв'язної як добуток двох нильпотентних підгруп. Протиріччя.

Отже,  утримується в  і із  й нильпотентності  одержуємо, що  - -група для найбільшого простого , що ділить порядок . З теореми 2.1 [15] одержуємо, що , а . Але тепер  - підгрупа непримарного індексу. Тому вона сверхразрешима, а тому що її порядок дорівнює , те  нильпотентна, і знову  не само централізована. Протиріччя.

Теорема доведена повністю.

Розглянемо доказ наслідку.

Proof. Нехай  - кінцева нерозв'язна група, у якій всі підгрупи непримарного індексу сверхразрешимі. Якщо  - несверхразрешима в  підгрупа, те, де  - просте число. Тепер  для силовської -підгрупи  з , тобто група  задовольняє умові теореми. Тому

 або

де  - нильпотентна група. Якщо

те в  є несверхразрешима підгрупа  індексу . Тому що цей індекс повинен бути примарним, те  або , тому  або , а  - або -група, або -група. Якщо

те в  є несверхразрешимая підгрупа Шмидта порядку , а її індекс дорівнює  й повинен бути примарним, тобто  повинна бути -групою. Наслідок доведений.