Асимптотичне рішення трансцендентних рівнянь: дійсного змінного

2.1 Асимптотичне рішення трансцендентних рівнянь: дійсного змінного

Приклад 1.

Розглянемо рівняння

x +th x = u,

де u - дійсний параметр,  - гіперболічний тангенс [6], , х і th x – безперервні, строго зростаючі функції на всій числовій прямій.

Знайдемо асимптотичне наближення для кореня:

1). Функція u(x) = x +th x безперервна й строго монотонна на R. По теоремі О безперервність зворотної функції, існує зворотна до неї функція х(і), безперервна й строго монотонна на Е_и = R.

Тому що при х®¥ і(х)®¥, те при й®¥ х(і)®¥.

Нехай і®¥, тоді х®¥ і .

Виходить, х(і) ~ і, при й®¥. Це перше асимптотичне наближення для кореня.

2). Приведемо рівняння до виду:

x = і - th x.

+З, де З – деяка константа. По визначенню символу О thx = 1+O(1).

x = і – 1 + О(1) - це друге асимптотичне наближення кореня.

3). Доведемо, що е^-2х = О(е^-2і):(2.1.1)

підставимо друге асимптотичне наближення кореня

е^-2х = е^{-2(і – 1 + О(1))} = е^-2і × е²× е^О(1) = (по 1.2.3 і 1.2.9) = е² О(е^-2і)(1 + О(1))×=

(по 1.2.3) = е² О(е^-2і)(2О(1)) = (по 1.2.6 і 1.2.4) = О(е^-2і).

Розкладемо th x у ряд [6], зручний при більших х:

th x = 1 – 2е^-2х + 2е^-4х – 2е^-6х +…(х > 0)

Тоді по теоремі [3]:(2.1.2)

якщо ряд  сходиться при , тоді для фіксованого n  у будь-якому колі , де . Ряд – 2е^-2х + 2е^-4х – 2е^-6х +…сходиться при х > 0, тобто  і його сума дорівнює th x - 1. Виходить, по теоремі: th x - 1 = О(е^-2х), тобто th x=О(е^-2х)+1. Тоді x = і - th x = і – 1 + О(е^-2х) = (по 2.1.1) = і – 1 + О(О(е^-2і)) = (по 1.2.5) = і – 1 + О(е^-2і). Таким чином, x = і – 1 + О(е^-2і) - цей третє асимптотичне наближення кореня.

4). Доведемо, що е^-2х = е^-2і+2 + О(е^-4і):(2.1.3) підставимо третє асимптотичне наближення кореня

(по 1.2.9)

(по 1.2.6)

(по 1.2.3 і 1.2.4) .

Ряд 2е^-4х – 2е^-6х + 2е^-8х – 2е^-10х +…сходиться при х > 0, тобто  і його сума дорівнює th x – 1 + 2е^-2х. Виходить, по теоремі: th x – 1 + 2е^-2х = О(е^-4х), тобто th x=О(е^-4х)+1 - 2е^-2х.

Тоді

x = і - th x = і – 1 + 2е^-2х + О(е^-4х) = (по 2.1.3) =

= і – 1 + 2(е^-2і+2 + О(е^-4і)) + О(е^-4х) = (по 1.2.6) =

= і – 1 + 2е^-2і+2 + О(е^-4і) + О(е^-2х × е^-2х) = (по 2.1.1) =

= і – 1 + 2е^-2і+2 + О(е^-4і) + О(О(е^-2і)× О(е^-2і)) = (по 1.2.4) =

= і – 1 + 2е^-2і+2 + О(е^-4і) + О(О(е^-4і)) = (по 1.2.5) =

= і – 1 + 2е^-2і+2 + О(е^-4і) + О(е^-4і) = і – 1 + 2е^-2і+2 + 2О(е^-4і) = (по 1.2.6) =

= і – 1 + 2е^-2і+2 + О(е^-4і).

Таким чином, x = і – 1 + 2е^-2і+2 + О(е^-4і) - цей четверте асимптотичне наближення кореня.

Продовжуючи цей процес, одержимо послідовність наближень із помилками, асимптотичний порядок яких постійно убуває. Збіжність цієї послідовності при необмеженому зростанні числа кроків на основі проведених міркувань побачити важко, але чисельні можливості цього процесу можна оцінити, взявши, наприклад, і = 5:

1) х = 5;

2) х = і – 1 + О(1) = 5 – 1 = 4; (не враховуємо помилку О(1))

3) x = і – 1 + О(е^-2і) = 5 – 1 = 4; (не враховуємо помилку О(е^-2і))

4) x = і – 1 + 2е^-2і+2 + О(е^-4і) = 5 – 1 + 0,000670925…=4,000670925..... (не враховуємо помилку О(е^-4і))

Точне значення, отримане стандартними чисельними методами, дорівнює 4,0006698...

Приклад 2.

Знайдемо більших позитивних корінь рівняння

x tg x = 1

Це рівняння можна звернути в такий спосіб:

,

де n – ціле число, а арктангенс приймає значення в інтервалі , знаходимо, що x ~ np при (n → ¥).

Якщо x > 1, то [6]

1). По теоремі (2.1.2)

.

.

2).

По теоремі (2.1.2)

. Тоді .

.

3).

По теоремі (2.1.2)

. Тоді .

.

І так далі.