Приклади розкладання функцій у ряд Фур'є

8. Приклади розкладання функцій у ряд Фур'є

Функції, які нижче приводяться як приклади, як правило, ставляться до класу диференцуємих або кусочно-диференцуємих. Тому сама можливість їхнього розкладання в ряд Фур'є-Поза сумнівом, і на цьому ми зупинятися не будемо.

Всі завдання взяті зі Збірника задач і вправ по математичному аналізі, Б. Н. Демидович.

№ 2636. Функцію  розкласти в ряд Фур'є.

Тому що функція  є непарної, те, отже,  буде парною. Тому її розкладання в ряд Фур'є містить одні лише косинусів.

Знайдемо коефіцієнти розкладання;

№ 2938. Розкласти в ряд Фур'є функцію . Зобразити цієї функції й графіки декількох приватних сум ряду Фур'є цієї функції.

Функція  непарна, тому її розкладання буде містити одні лише синуси.

Тобто, виходить, що при парних значеннях n коефіцієнт , а отже й весь доданок, звертається в нуль. Тому підсумовування йде тільки лише за парним значенням n.

Ряд Фур'є для цієї функції прийме наступний вид:

.

Нижче зображені графіки функцій і декількох часток сум ряду Фур'є:

Графік функції , ,  і

№ 2940.  в інтервалі .

Функція непарна.

№ 2941.  в інтервалі .

У підсумку одержуємо ряд Фур'є:

 

№ 2941.  в інтервалі .

Функція  парна.

Як і в № 2938, у нас при парних значеннях n коефіцієнт  звертається в нуль. Тому підсумувати будемо лише за непарним значенням.

У підсумку одержимо:

№ 2950.  в інтервалі .

Функція  парна.

Тому що при n=1 знаменник звертається в нуль, то підсумовування необхідно зробити починаючи у двійки.

№ 2951.  в інтервалі .

Функція  непарна.

№ 2961. Функцію  розкласти а) в інтервалі  по косинусах кратних дуг; б) в інтервалі  по синусах кратних дуг; в) в інтервалі . Зобразити графік функції  й сум рядів Фур'є для кожного окремого випадку. Використовуючи розкладання, знайти суми рядів: ;  і .

а)

І, нарешті одержуємо розкладання в ряд Фур'є:

 

б)

 

в)

 

№ 2962 Виходячи з розкладання

 ,

По членним інтегруванням одержати розкладання в ряд Фур'є на інтервалі  функцій

інтегруємо рівність  по членне, одержимо

І остаточно одержуємо:

 

Інтегруємо отриману рівність повторно

або звідси одержуємо

.

Список літератури

1.І.М. Уваренков, М.З. Маллер Курс математичного аналізу., - К., 2006

2.Г.М. Фихтенгольц Курс диференціального й інтегрального вирахування. – К., 2005р.

3.В.Е. Шнейдер, А.И. Слуцкий, А.С. Шумов Курс вищої математики. – К., 2005

4.Н.Я. Виленкин, В.В. Цукерман, М.А. Доброхотова, А.Н. Сафонов Ряди. – К., 1997

5.Б.П. Демидович Збірник задач і вправ по математичному аналізу. – К., 2005