Многочленні ермітові сплайни

3. Многочленні ермітові сплайни

При  отримаємо ермітовий сплайн з парною кількістю параметрів .

Ланка такого сплайна має вигляд

 . (22)

Означення 3. Нехай ,  - многочлен 3-го степеня На множині  задані значення функції  та її похідної. Кубічним ермітовим сплайном називатимемо функцію з ланкою (22)

 , (23)

яка задовольняє систему рівнянь

 (24)

де - параметри сплайна на -й ланці;

Згідно означення 3 параметри ланки ермітового сплайна (23) з ланкою (22) задовольняють системі рівнянь (24)

 (25)

де - ліва, а - права границі ланки; ,. Розв’яжемо систему (25) щодо невідомих . Отримаємо формули для обчислень значень параметрів:

 (26)

При отримаємо ермітовий сплайн з непарною кількістю параметрів . Ланка такого сплайна має вигляд

 (27)

Означення 4. Нехай ,  - многочлен 4-го степеня. На множині  задані значення функції  та її похідних до - го порядку включно, а на множині  задані значення функції . Многочленним ермітовим сплайном 4-го степеня називатимемо функцію виду (3), яка задовольняє систему рівнянь

 (28)

Згідно з означенням 4 параметри ланки (27) ермітового сплайна (23) задовольняють системі рівнянь (28):

 (29)

де . Розв’яжемо систему (29) щодо невідомих . Із першого, третього і четвертого рівнянь системи (29) знайдемо вирази для

. (30)

Прирівняємо вирази для (31) із першого і четвертого та першого і третього рівнянь системи (29), отримаємо два вирази для

 (31)

 (32)

Прирівнявши між собою вирази для  із (32) і (33), отримаємо рівняння

 (33)

Підставивши перший вираз для (30) і перший вираз для (31) в друге рівняння системи (29) отримаємо рівняння

 (34)

Підставивши третій вираз для (30) і перший вираз для (31) в п’яте рівняння системи (30) отримаємо рівняння

 (35)

Ми отримали систему трьох лінійних рівнянь (23-35) щодо трьох невідомих . Розв’язавши її отримаємо

 (36)

Із формул (30), (31), (32) і (36) для параметрів  випливає, що необхідною умовою існування наближення ермітовим сплайном з ланкою (27) є виконання умови .