Похибки наближення ермітовими сплайнами

4. Похибки наближення ермітовими сплайнами

Максимальна похибка  рівномірного наближення нелінійними ермітовими сплайнами з парною кількістю параметрів у ланці має вигляд

, (37)

а для ермітових сплайнів з непарною кількістю параметрів

 (38)

де  - кількість ланок сплайна на інтервалі , - вагова функція,  - ядро похибки наближення,  - дефект ермітового сплайна, . Для ермітового сплайна з ланкою (13) кількість параметрів , дефект сплайна за означенням , величина . Щоб скористатись формулами (37) і(38), потрібно мати вираз для ядра похибки наближення , який би не залежав від параметрів ланки сплайна . Вирази для конкретних ядер можна знайти, використовуючи властивості ядер похибок, які випливають із обмінних теорем.

Теорема 1. Нехай для функції   при  існує єдине наближення ермітовим сплайном з парною кількістю параметрів з вузлами  і ланками вигляду

 (39)

Тоді для функції  на проміжку  з тими ж вузлами існує єдине наближення ермітовим сплайном з парною кількістю параметрів і ланками вигляду

 (40)

Нехай  — найбільша відносна похибка наближення функції  на проміжку  ермітовим сплайном з ланкою (39), а  — найбільша відносна похибка наближення функції  на проміжку  ермітовим сплайном з ланкою вигляду (40). В цьому випадку між параметрами наближень мають місце співвідношення;

 (41)

. (42)

Доведення. Сплайн з ланкою вигляду (39) характеризується системою рівнянь

 (43)

а сплайн з ланкою вигляду (40) — системою рівнянь

 (44)

Надалі опускаємо індекс, який вказує на приналежність параметра до -ї ланки. Із системи (44) при  матимемо

.

Подамо  як , про логарифмуємо це рівняння і отримаємо

,

де . Тобто при  рівняння із системи (44) зведене до рівняння із системи (43).

При рівняння із системи (44) має вигляд

.

Помножимо чисельник і знаменник цього рівняння на

.

Оскільки з умов теореми  не дорівнюють нулю, то рівність досягається за умови, що

,

а це і є рівняння із системи (43) при .

Використовуючи метод математичної індукції, покажемо, що рівняння із системи (44) зводиться до рівнянь із системи (43) за довільних . Нехай це доведено для . Доведемо для . Рівняння із системи (43) при :

.

Для  рівняння із системи (44) має вигляд

.

Про диференціюємо це рівняння і отримаємо

Перший доданок в квадратних дужках дорівнює нулю через рівність нулю останнього співмножника. Рівняння набере вигляду

.

Множник, який стоїть перед квадратними дужками, не дорівнює нулю з умов теореми, отже нулю дорівнює вираз у квадратних дужках. А це і є рівняння із системи (43). Отже, ми довели, що за довільних  рівняння в системах (43) і (44) еквівалентні, а , значить, і системи рівносильні. Тому  при , а .

Доведемо справедливість відношення (43) для похибок наближення. Оскільки системи (43) і (44) рівносильні, то точки, в яких досягається максимальні похибки, збігаються. Нехай точка , в якій досягається максимальна похибка наближення функції  ермітовим сплайном з ланкою (39). Тоді похибка в цій точці дорівнює

.

Із цієї рівності випливає, що

.

У правій частині маємо відносну похибку наближення функції  ермітовим сплайном з ланкою (40) на проміжку . Звідси . Теорема доведена.

За допомогою цієї теореми можна отримувати наближення ермітовим сплайном з ланкою (40) шляхом знаходження наближення ермітовим сплайном з простішою ланкою (39). Зокрема, наближення до функції  ермітовим сплайном з ланкою вигляду зводиться до наближення функції  ермітовим сплайном з ланкою . При цьому найбільша відносна похибка першого наближення виражається через найбільшу абсолютну похибку другого наближення.

Теорема 2. Нехай для функції    при  існує єдине наближення ермітовим сплайном з непарною кількістю параметрів з вузлами  і ланками вигляду

 (45)

Тоді для функції  на проміжку  з тими ж вузлами існує єдине наближення ермітовим сплайном з непарною кількістю параметрів і ланками вигляду

 (46)

Нехай  — найбільша відносна похибка наближення функції  на проміжку  ермітовим сплайном з ланкою (45), а  — найбільша відносна похибка наближення функції  на проміжку  ермітовим сплайном з ланкою вигляду (45). В цьому випадку між параметрами наближень мають місце співвідношення;

 (47)

. (48)

Доведення. В теоремі 1 до системи рівнянь (42) додається рівняння

 , (49)

а до системи (43) рівняння

 (50)

Для доведення цієї теореми для ермітових сплайнів з непарною кількістю параметрів необхідно довести еквівалентність рівнянь (48) і (50). Для цього перепишемо (50) у вигляді

.

Про логарифмуємо і отримаємо

,

де із умови теореми 2 , а .Тобто рівняння (50) зведено до (49). Теорему доведено.

Властивість 1. Нехай при . Тоді

 (51)

Доведення. Із теорем 1 і 2 випливає, що наближення функції  на  ермітовим сплайном з ланкою  може бути знайдено через наближення функції  на цьому проміжку ермітовим сплайном з ланкою . При цьому із формули (42) випливає, що максимальна відносна похибка  першого наближення виражається через максимальну абсолютну похибку другого наближення

Із рівності похибок і формули (37) матимемо

.

Цей вираз справедливий для довільних  ,  і проміжків  лише в тому випадку, якщо підінтегральні вирази рівні між собою. Із їх рівності випливає вираз (51).

Тепер можна вивести аналітичний вираз для ядра похибки наближення  ермітовим сплайном з ланкою (1). Ядро похибки наближення многочленом степеня має вигляд . Застосувавши формулу (52), отримаємо

 . (52)

Для ермітового сплайна з експоненціальною ланкою (6) ядро матиме такий вигляд:

.

А для ланки (13)