Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей

3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных событий. Поэтому в этом случае 0 < m < n и, значит, 0 <  < 1. Следовательно, 0 < Р(А) < 1.

Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству, 0 Р(А) 1 [2, 17].

Статистическое определение вероятности

Классическое определение вероятности не является при­годным для изучения произвольных случайных событий. Так, оно неприемлемо, если результаты испытания не равновозможны. Например, при бросании неправильной игральной кости выпаде­ние ее различных граней не равновозможно.

В таких случаях используется, так называемое, статистическое определение вероятности.

Пусть произведено n испытаний, при этом некоторое событие А наступило m раз (m < n).

Число m называют абсолютной частотой (или просто частотой) события А, а отношение Р*(А) = называют относительной частотой события А.

При транспортировке из 10 000 арбузов испортилось 26. Здесь m = 26 - абсолютная частота испорченных арбузов, а Р*(А) = = 0,0026 - относительная.

Результаты многочисленных опытов и наблюдений помогают заключить: при проведении серий из n испытаний, когда число сравнительно мало, относительная частота Р*(А) принимает значения, которые могут довольно сильно отличаться друг от друга. Но с увеличением n - числа испытаний в сериях – относительная частота Р*(А) = приближается к некоторому числу Р(А), стабилизируясь возле него и принимая все более устойчивые значения.

Было проведено 10 серий бросаний монеты, по 1000 бросаний в каждой. Относительные частоты выпадения герба оказались равными 0,501 0,485; 0,509; 0,536; 0,485; 0,488; 0,500; 0,497; 0,494; 0,484. Эти частота группируются около числа 0,5.

По официальным данным шведской статистики относительные частоты рождения девочек по месяцам 1935 г. характеризуются следующими числами (расположены в порядке следования месяцев, начиная с января): 0,486; 0,489; 0,490; 0,471; 0,478; 0,482; 0,462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,47. Эти частоты группируются около числа 0,482.

Относительная частота события приближенно совпадает с его вероятностью, если число испытаний достаточна велико. Имеется огромный опытный материал по проверке последнего утверждения. Укажем еще один такой пример с бросанием монеты (приложение 1).

Здесь относительные частоты незначительно отклоняются от числа 0,5, причем тем меньше, чем больше число испытаний. При 4040 испытаниях отклонение равно 0,008, а при 24 000 - 0,0005.

Таких примеров очень много. Возникли целые науки о том, как же эффективно действовать в нашем случайном мире. Их задачей является уменьшение неприятностей от случайного при использовании самой случайности.

Таким образом, было рассмотрено два определения теории вероятностей: классическое и статистическое [6, 210].

Для решения задач по данной теме необходимо использовать основные правила и теоремы теории вероятности.

 

1.2 Правила и теоремы теории вероятностей

Теорема сложения вероятностей несовместимых событий

Суммой событий А и В называют событие С = А + В, состоящее в наступлении, по крайней мере, одного из событий А или В.

Испытание - стрельба двух стрелков (каждый делает по одному выстрелу). Событие А - попадание в мишень первым стрелком, событие В - попадание в мишень вторым стрелком. Суммой событий А и В будет событие С = А + В, состоящее в попадании в мишень, по крайней мере, одним стрелком.

Аналогично суммой конечного числа событий А₁ , А₂, ..., А_k называют событие А = А₁ + А₂ + … + А_k, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий A_i (i = 1,..., k).

Произведением событий А и В называют событие С = АВ, состоящее в том, что в результате испытания произошло и событие А и событие В.

Аналогично произведением конечного числа событий А₁ , А₂, ..., А_k называют событие А = А₁ А₂ … А_k, , состоящее в том, что в результате испытания произошли все указанные события.

В условиях предыдущего примера произведением событий А и В будет событие С = АВ, состоящее в попадании в мишень двух стрелков.

Из определения непосредственно следует, что АВ = ВА.

Теорема. Вероятность суммы двух несовместимых событий А и В равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В). (1)

Доказательство. Используем классическое определение вероятности. Предположим, что в данном испытании число всех элементарных событий равно n, событию А благоприятствуют k элементарных событий, событию В - I элементарных событий. Так как А и В - несовместимые события, то ни одно из элементарных событий U₁ , U₂,... , U_n не может одновременно благоприятствовать и событию А и событию В. Следовательно, событию А + В будет благоприятствовать k + l элементарных событий. По определению вероятности Р(А)=, Р(В)=, Р(А+В)=  откуда и следует утверждение теоремы.

Совершенно так же теорема формулируется и доказывается для любого конечного числа попарно несовместимых событий.

Следствие. Сумма вероятностей противоположных событий А и равна единице:

Р(А)+Р()= 1

Так как события А и несовместимы, то по доказанной выше теореме Р(А) + Р() = Р (А + ). Событие А +  есть достоверное событие (ибо одно из событий А или  произойдет). Поэтому Р (А + ) =1.

В урне 10 шаров: 3 красных, 5 синих и 2 белых. Какова вероятность вынуть цветной шар, если вынимается один шар? Вероятность вынуть красный шар Р(А) = , синий Р(В) = . Так как события А и В несовместимы, то по доказанной выше теореме

Р(А + В)= Р(А) + Р(В) =  + = 0,8 [3, 25].

Теорема умножения вероятностей

Два события А и В называют независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, появилось другое событие или нет. В противном случае события А и В называют зависимыми [5, 19].

Пример 1. Пусть в урне находятся 2 белых и 2 черных шара. Пусть собы­тие А - вынут белый шар. Очевидно, Р(А) = . После первого испытания вынутый шар кладется обратно в урну, шары перемешиваются и снова вынимается шар. Событие В - во втором испытании вынут белый шар – также имеет вероятность Р(В) = , т.е. события А и В- независимые.

Предположим теперь, что вынутый шар в первом испытании не кладется обратно в урну. Тогда если произошло событие А, т.е. в первом испытании вынут белый шар, то вероятность события В уменьшается Р(В) = ,если в первом испытании был вынут черный шар, то вероятность события В увеличивается Р(В) = .

Итак, вероятность события В существенно зависит от того, произошло или не произошло событие А, в таких случаях события А и В - зависимые.

Пусть А и В - зависимые события. Условной вероятностью Р_А(В) события В называют вероятность события В, найденную в предположении, что событие А уже наступило.

Итак, в примере 1 Р_А(В) = .

Заметим, что если события А и В независимы, то Р_А (В )= Р(В).

Теорема 1. Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие уже наступило:

 P(AB)= Р(А)Р_А(В).  (2)

Доказательство.

Пусть из всего числа n элементарных событий k благоприятствуют событию А и пусть из этих k событий l благоприятствуют событию В, а значит, и событию АВ. Тогда Р(АВ)= =.= Р(А)Р_А(В), что и доказывает искомое равенство (2).

Замечание. Применив формулу (2) к событию ВА, получим

Р(ВА) = Р(В)Р_В(А). (3)

Так как АВ = ВА, то, сравнивая (2) и (3), получаем, что

Р(А)Р_А(В) = Р(В)Р_В(А).

Пример 2. В условиях примера 1 берем тот случай, когда вынутый шар в первом испытании не кладется обратно в урну. Поставим следующий вопрос: какова вероятность вынуть первый и второй разы белые шары? По формуле (2) имеем

Теорема 2. Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий:

(4)

Р(ВА) = Р(А)Р(В).

Действительно, если А и В - независимые события, то Р_А (В) = = Р(В) и формула (2) превращается в формулу (4).

Пример 3. Вероятность выживания одного организма в течение 20 мин Р = 0,7. В пробирке с благоприятными для существования этих организмов условиями находятся только что родившиеся 2 организма. Какова вероятность того, что через 20 минут они будут живы?

Пусть событие А - первый организм жив через 20 мин, событие В - второй организм жив через 20 мин. Будем считать, что между организмами нет внутривидовой конкуренции, т.е. события А и В независимы. Событие, что оба организма живы, есть событие АВ. По теореме 2 получаем Р(АВ) = 0,7 ∙ 0,7 = 0,49 [7,115].

Теорема сложения вероятностей совместимых событий

Теорема. Вероятность суммы двух совместимых событий А и В равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ). (5)

Доказательство. Пусть из всего числа n элементарных событий k благоприятствуют событию А, l - событию В и m - одновременно событиям А и В. Отсюда событию А + В благоприятствуют к + 1 - m элементарных событий. Тогда

Р(А+В)= = Р(А) + Р(В) - Р(АВ)

Замечание. Если события А и В несовместимы, то их произведение АВ есть невозможное событие и, следовательно, Р(АВ) = 0, т.е. формула (1) является частным случаем формулы (5).

Пример. В посевах пшеницы на делянке имеется 95% здоровых растений. Выбирают два растения. Определить вероятность того, что среди них хотя бы одно окажется здоровым.

Введем обозначения для событий:

А₁- первое растение здоровое;

А₂ - второе растение здоровое;

А₁+A₂ - хотя бы одно растение здоровое.

Так как события А₁ и А₂ совместимые, то согласно формуле (5)

P(А₁₊ А₂) = P(А₁) + P(А₂) = 0,95 + 0,95 - 0,95 · 0,95 = 0,9975 ≈ 1 [4, 28].

Формула полной вероятности

Теорема. Вероятность события А, которое может нacmупить лишь при условии появления одного из n попарно несовместимых событий В₁, В₂, ... В_n , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:

 (6)

(формула полной вероятности).

Доказательство. Событие А может наступить лишь при условии наступления одного из событий B₁, В₂, ..., B_n, т.е. А = B₁ А + В₂А + ... +, B_nА причем ввиду несовместимости событий B₁, В₂ , ..., B_nА события B₁А, В₂А, ..., B_nА также несовместимы. По этому на основании теорем сложения и умножения вероятностей имеем

Пример 1. Имеются три одинаковых по виду ящика. В первом находят две белые мыши и одна серая, во втором - три белые и одна серая, в третьей две белые и две серые мыши. Какова вероятность того, что из наугад выбранного ящика будет извлечена белая мышь?

Обозначим: B₁  - выбор первого ящика, B₂ - выбор второго ящика, В₃ - выбор третьего ящика,  А - извлечение белой мыши. Так как все ящики одинаковы, то P(В₁)= Р(В₂) = Р(В₃) =.

Если выбран первый ящик, то (А) = . Аналогично (А) = , (A) = . Наконец, по формуле (6) получаем  [8, 22].

Формула Бейеса

Пусть в условиях рассуждения, относящегося к формуле полной вероятности, произведено одно испытание, в результате которого произошло событие А. Спрашивается: как изменились (в связи с тем, что событие А уже произошло) ве­личины P(B_k), k = 1,... , п.

Найдем условную вероятность Р_A(В_k).

По теореме умножения вероятностей и формуле (3) имеем:

Отсюда:

Наконец, используя формулу полной вероятности, находим

(k=1, 2, …, n).  (7)

Формулу(7) называют формулой Бейеса (Байеса)

Пример. Большая популяция людей разбита на две группы одинаковой численности. Диета одной группы отличалась высоким содержанием ненасыщенных жиров, а диета контрольной группы была богата насыщенными жирами. После 10 лет пребывания на этих диетах возникновение сердечнососудистых заболеваний составило в этих группах соответственно 31% и 48%. Случайно выбранный из популяции человек имеет сердечно-сосудистое заболевание. Какова вероятность того, что этот человек принадлежит к контрольной группе?

Введем обозначения для событий:

А - случайно выбранный из популяции человек имеет сердечно-сосудистое заболевание;

B₁ - человек придерживался специальной диеты;

В₂ - человек принадлежал к контрольной группе. Имеем

Р(В₁) = Р(В₂) = 0,5,

 (A) = 0,31, (A) = 0,48.

Согласно формуле полной вероятности

Р(А) = 0,5 ∙ 0,31 + 0,5 ∙ 0,48 = 0,395

и, наконец, в силу формулы (7) искомая вероятность

 [11, 216].

Таким образом, можно привести много разнообразных примеров случайных величин. Все же и в мире случайностей обнаруживаются определенные закономерности. Математический аппарат для изучения таких закономерностей и дает теория вероятностей. Она занимается математическим анализом случайных событий и связанных с ними случайных величин.

Для решения задач по теории вероятностей следует применять следующие теоремы: сложения вероятностей несовместимых событий, умножения вероятностей, сложений вероятностей совместимых событий; формулы: полной вероятности, Бейеса (Байеса).

Одной из форм дифференцированного обучения по курсу теории вероятностей может являться факультативный курс.