Методика преподавания элементов теории вероятностей

2.2 Методика преподавания элементов теории вероятностей

В теории вероятностей понятие «событие» неразрывно связано с теоретико-множественными представлениями. В частности, по определению, под событием понимается любое подмножество множества элементарных исходов. Следовательно, для корректного введения определения этого понятия необходимо, чтобы учащиеся были знакомы с элементами теории множеств, теоретической основой теории вероятностей. Изучение теории множеств в школьном курсе математики не предусмотрено, поэтому учителю необходимо определиться, как решать эту проблему. В некотором смысле одним из путей ее решения можно считать наличие экспериментального курса математики начальной школы, реализуемого на основе учебного пособия Л. Г. Петерсон (2002 г.). В нем изучаются первоначальные сведения из теории множеств (введено интуитивное представление о понятии «множество», рассмотрены некоторые операции над множествами: пересечения, объединения и разности множеств и их простейшие свойства). Методика изучения материала во многом сходна с методикой изучения элементов теории множеств, реализованной в учебнике математики для 4—5 классов под редакцией А. Н. Колмогорова 60—70-х гг. издания прошлого века. Наиболее предпочтительным при изучении основных понятий теории вероятностей представляется логически обусловленный путь на базе необходимых понятий теории множеств вводятся основные понятия теории вероятностей.

Изучение понятия «событие» сопряжено учащихся трудностями психологического характера. Его ученики обычно воспринимают контексте «бытовой» лексики, связывая его неким единичным бытовым актом.соответствии же определением понятия «события» наряду единичным актом надо мыслить некоторое их множество, числом элементов большим или равным единице. Далее, необходимо четко разграничить понятия эксперимента (опыта) события как некоторого исхода, благоприятствующего некоторому комплексу условий Для учащихся понятия «эксперимент» «событие» часто совпадают.

Формирование представления о понятии «события» начинается рассмотрения простейших вероятностных моделей подбрасывание игральной кости, извлечение шаров из урны, извлечение карт из колоды, стрельба по мишенформирования на интуитивном уровне понятия «элементарного исхода» При этом имеет смысл вводить изучать основные понятия историческом контексте, так как при этом не нарушается логика развертывания теории вероятностей. Следуя. Байесу, рассматриваются такие опыты, при каждом испытании которых возможны несовместные равновозможные исходы. Каждый такой исход называется элементарным исходом или элементарным событием. На основе рассматриваемых опытов можно ввести понятие «полной группы событий» как множества попарно несовместных равновозможных элементарных событий. Все эти понятия дают возможность сформулировать определение понятия «событие» сформировать первичное представление об этом важном понятии теории вероятностей.

Еще одним элементом, способствующим формированию представлений понятии «события» является классификация событий по степени их «объективной возможности реализации» Изучение классификации событий по этому признаку имеет для учеников важное мировоззренческое значение. Оказывается, что окружающем мире не существует иных событий, кроме достоверных, невозможных случайных. Здесь же подчеркивается фундаментальный характер понятия «случайного» события построении изучении закономерностей вероятностных моделей окружающего мира. Примеры таких моделей естественным образом привлекаются из школьных дисциплин (физики, химии, географии, биологии, истории, обществоведения, экономики) При этом имеет место реализация межпредметных связей.

Значение классификации по указанному выше признаку определяется еще тем, что на ее основе осуществляется фактически первый подход формированию понятия «вероятность» Если попытаться сопоставить возможностью или невозможностью наступления конкретного события некоторую численную меру, частности каждому достоверному событию поставить соответствие число каждому невозможному число тогда понятно, что каждому случайному событию будет соответствовать действительное число из интервала (Оставляя временно нераскрытым вопрос методах установления соответствия между случайными событиями элементами множества (логически обоснованным является переход изучению вопроса об операциях над событиями.

Предварительно надо рассмотреть понятие «отношения между событиями» имеется виду отношение включения (синонимичное наиболее часто употребляемыми оборотами речи «событие влечет за собой событие «событие является следствием события «событие является частью события На основе этого отношения логично ввести определение равных событий. При изучении отношений операций над событиями естественно использование наглядно-графических средств курсе теории вероятностей изучаются следующие операции над событиями сложение (объединение) умножение (пересечение) Разность событий можно ввести через соответствующее определение или на основе введенных операций. Подчеркивая, что события это множества, можно изучать операции над событиями аналогично изучению операций над множествами, используя примеры, построенные на базе основных вероятностных моделей.

Наличие учащихся теоретико-множественных представлений позволит им проследить полную аналогию между операциями над множествами операциями над событиями. Теория вероятностей дает возможность ученикам увидеть, что объекты отношения этом разделе математики фактически те же, что теории множеств. Разница заключается лишь терминологии, языке, используемом теории вероятностей. Полезно составить таблицу соответствия между терминами теории множеств терминами теории вероятностей.

Следует отметить, что уверенное владение учащимися навыками по работе с операциями над событиями и умение использовать основные свойства этих операций важны для развития навыков решения задач по курсу теории вероятностей. Одна из важнейших проблем, рассматриваемая теории вероятностей определение вероятности сложных событий, получаемых из простых использованием операций над событиями. Кроме этого, изучение операций над событиями актуально для случаев, когда вероятностное пространство имеет достаточно большое число элементов решение задач его использованием приводит громоздким вычислениям. Эти положения можно считать основой мотивации изучения операций над событиями.

Изучение операций над событиями желательно сопровождать примерами, которые достаточно наглядно отражают не только сущность самой изучаемой операции, но различие этих операциях. Как правило, ученики достаточно легко по определению построят сумму, произведение событий.

Труднее сформировать понимание сущности операций над событиями. Например, после введения определений операций суммы произведения событий рассмотрения соответствующих примеров, можно предложить ученикам следующее задание.

Пример: по самолету стреляют два зенитно-ракетных комплекса (ЗРК) Самолет сбит, когда в него попал хотя бы один снаряд неважно какого ЗРК, первого или второго (это естественно, совсем необязательно, чтобы самолет попали оба ЗРК) Пусть событие самолет сбит первым ЗРК, событие самолет сбит вторым ЗРК. Событие самолет сбит.

Ставя перед учениками проблему, что представляет собой событие учитель активизирует деятельность учащихся. Эта задача приводит учеников рассуждению возможности события как суммы событий (= возможности события как произведения событий Аи (Для учащихся, очевидно, что качестве решения задачи, прежде всего, является именно сумма событий, не их произведение, так как есть четкое понимание того, что самолет будет сбит случае, когда хотя бы один ЗРК него попал. Кроме этого, становится интуитивно ясно, что вероятность события, что самолет попадут оба ЗРК, много меньше, чем вероятность попадания него каждым ЗРК отдельности.

Методической проблемой при изучении этой темы процессе решения задач можно считать обучение процедуре выделения простых событий.

Разрешение этой проблемы приходит результате накопления опыта решения задач.

Отбор системы задач по этой теме желательно осуществить так, чтобы позже использовать их для решения задач по вычислению вероятности сложного события по известным вероятностям простых событий.

Изученные операции над событиями должны привести к более глубокому осмыслению учащимися таких понятий, как «пространство элементарных событий» «несовместные события» «достоверные события» «невозможные события» «противоположные события» так как эти понятия могут быть определены на основе операции над событиями.

Далее, после изучения операций над событиями свойств изучаются элементы комбинаторики основы дл вычисления вероятностей событий широком классе вероятностных схем. Элементы методики изучения комбинаторики школьном курсе математики достаточно подробно разработаны, так как этот раздел изучался школьном курсе математики. настоящее время происходит возврат разделу комбинаторики, так как он востребован потребностями дискретной математики, широко применяемой в различных областях знания, например информатики.

Тема «Элементы комбинаторики» может изучаться изучения темы «Теория вероятностей» так как она содержательно богата как теоретическом, так прикладном аспектах.

Второе фундаментальное понятие теории вероятностей это понятие «вероятности» Это понятие является основой построения всех схем вероятностного характера, описывающих широкий класс случайных явлений.

Формирование этого понятия, так же как понятия «события» начинается преодоления противоречия между субъектным опытом ученика употребления им термина «вероятность» повседневной практике смыслом, вкладываемым определение этого понятия математике.

Настоящее время существует несколько определений понятия «вероятности события» статистическое, аксиоматическое, классическое, субъективное (на основе экспертных оценок) Можно сказать, что формирование понятия «вероятности» происходит настоящее время. Философский подход определению вероятности как «примеры объективной возможности наступления (или не наступления) некоторого события» для математики неприемлем силу весьма его размытого характера. Неприемлемо это определение для реализации целей обучения теории вероятностей школьном курсе математики.

В качестве примеров определения вероятностей событий на основе классического определения вероятности можно рассмотреть задания на вычисление вероятности выпадения «орла» или «решки» при бросании симметричной монеты, рождения мальчика или девочки.

Формирование понятия «вероятности» может быть осуществлено несколько этапов. Сначала, реализуя принцип историзма обучении, рассматривается классическое определение понятия вероятности. Вероятностью события называется отношение числа случаев, благоприятствующих событию общему числу исходов Это определение, являясь конструктивным, дает способ вычисления вероятности события формулируется для так называемых классических экспериментов. Эксперимент называется классическим, если результате его проведения реализуется множество событий, удовлетворяющих следующим условиям:

•  все события равновозможны;

•  они попарно несовместны;

•  образуют полную группу событий.

Исторически такие события назывались шансами, случаями, исходами, речь шла о рассматриваемых ранее основных вероятностных моделях подбрасывание игральной кости, извлечение шаров из урны, извлечение карт из колоды, стрельба по мишени.

Можно проверить, что введенное таким образом определение вероятности обладает следующими свойствами:

•  (= вероятность достоверного события равна так как

•  (= вероятность невозможного события равна так как вероятность принимает значения из промежутка [; так всегда то из следует

•  (+ (+( если события несовместны.

Это свойство можно обосновать. Пусть результате проведения серии экспериментов событие произошло m₁ раз, событие m₂. Так как события несовместны, то сумма событий произошла m₁₊ m₂ раз. Тогда получаем, что

В качестве примеров определения вероятностей событий на основе классического определения вероятности можно рассмотреть задания на вычисление вероятности выпадения «орла» или «решки» при бросании симметричной монеты, рождения мальчика или девочки например, такое, которое используется дальнейшем при изучении теорем сложения.

Одним из существенных недостатков классического определения вероятности является то, что оно пригодно толы для классических экспериментов, которые редко имеют место повседневной практике. Важно добиться от учащихся четкого понимания того факта, что введенное выше определение вероятности обслуживает весьма узкий класс явлений рамках классических экспериментов) его, вообще говоря, недостаточно, поэтому возникает необходимость рассмотрения других подходов определению понятия вероятности [10, 396]

После изучения методики преподавания теории вероятностей необходимо рассмотреть, используются ли задачи по теме на уроках математики классе.

Методика изучения основных теорем теории вероятностей:

основным теоремам теории вероятностей относятся теоремы сложения вероятностей следствия из них теорема умножения вероятностей. Изучение теорем желательно вести использованием примеров, иллюстрирующих их применение.

В случае если события несовместные исходы одном том же испытании, то для них имеет место теореме сложения вероятностей: вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. Следует подчеркнуть, что это утверждение имеет статус теоремы только для классического эксперимента. общем случае, при аксиоматическом построении теории вероятностей, оно выступает качестве аксиомы.

Это утверждение допускает два важных обобщения:

если события А₁  А₂, А_n— несовместны, то

(A_1,A₂,,А_n) (А₁) (А₂) (А_n) если два события совместны, то

( ( ( (АВ) сумма вероятностей несовместных событий, образующих полную группу событий, равна единице:

(А₁) (А₂) (А_n) сумма вероятностей противоположных событий равна единице,

Из этой формулы можно получить следствие вероятности противоположного события по известной вероятности.

Теорема сложения вероятностей для случая совместных событий может рассматриваться как основа мотивации изучения теоремы умножения вероятностей. Действительно, формуле, выражающей математическую формулировку теоремы вероятности двух несовместных событий, имеется слагаемое (АВ) которое не выражено через вероятности ( ( ( ( ( (АВ)

Изучение теоремы умножения вероятностей начинается введения понятия «условной вероятности» Введению этого понятия предшествует обсуждение вопроса зависимости них событий от других. По определению, событие называется зависимым от событий В_1,В₂, B_k, если вероятность события зависит от того, произошли или не произошли события В₁, В₂, B_k. противном случае событие называется независимым. Если события В₁, В₂, B_k произошли, то вероятность события вычисленная при этих условиях, называется условной обозначается (В₁, В₂, B_k) Если вероятность события вычисляется вне связи событиями B_1, B₂, B_k, то она называется безусловной. Таким образом, получаем, что если событие зависит от события то (│ (если не зависит, то (│ (

Рассмотрим пример, позволяющий уяснить смысл понятия условной вероятности.

Пример: урне белых черных шара. Определить вероятность того, что два последовательно вынутых шара окажутся разных цветов, если один из них белый.

Пусть событий «оба вынутых шара разных цветов» «один из шаров белый» принятых обозначениях ставится задача вычисления вероятности задачах на вычисление условных вероятностей важно правильно определить полную группу событий. В данном примере полная группа событий включает все различные пары, содержащие хотя бы один белый шар. Так как количество шаров невелико, полную группу событий можно задать перечислением: где событие, состоящее том, что извлечен первый белый второй черный шар. Следовательно, искомая вероятность соответствии классическим определением равна

Теперь можно переходить формулировке теоремы умножения вероятностей. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного события на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло:

Необходимо подчеркнуть, что общем случае доказать эту теорему невозможно, теории вероятности она вводится как правило. Существует лишь толкование этой формулы.

Из доказанной теоремы получаются следствия:

• симметричность независимости событий если событие не зависит от события то событие не зависит от события

• если события независимы, то (ВА)

Рассмотрим пример применения теоремы умножения вероятностей.

Пример ящике находятся белых черных шара. Последовательно вынимаются два шара без возвращений. Определить вероятность того, что оба шара белые. Рассмотрим следующие события «первый шар белый» «второй шар белый» Требуется определить вероятность события =АВ. соответствии теоремой (АВ) Определим соответствующие вероятности ак как при извлечении первым белого шара количество белых шаров урне станет при общем числе шаров.

Для иллюстрации применений теоремы умножения вероятностей случае независимых событий можно рассмотреть следующий комплексный пример.

Изученные теоремы дают возможность получить важные утверждения теории вероятностей формулу полной вероятности формулу Байеса.

Рассмотрим систему из попарно несовместных событий В₁, В₂, B_k, образующих полную группу событий, где невозможное событие. Пусть дано событие удовлетворяющее равенству В₁А В₂А B_kA. Показав попарную несовместность событий В₁ В₂А, B_kA, найдем вероятность наступления события Любое событие, входящее обязательно входит некоторое, но одно В_i так как B₁ B₂, В_k образуют полную группу, тогда. Полученная формула называется формулой полной вероятности. Довольно часто можно встретить подходы, при которых события B_t называются гипотезами обозначаются Н_i, тогда формула полной вероятности может быть переписана.

Иллюстрацию формулы полной вероятности легко провести на основе рассмотренного ниже примера.

Пример: ящике находятся белых черных шара. Последовательно вынимаются два шара без возвращений. Определить вероятность того, что на втором шаге появится черный шар. На первом шаге может появиться как белый, так черный шар. Рассмотрим следующие события: событие В₁ «первый шар белый» событие В₂ «первый шар черный» событие «второй шар черный» По формуле полной вероятности:Требуется определить вероятности событий (В₁) (В₂) (/В₁) (/В₂) Вероятность на первом шаге извлечь белый шар (В₁) вероятность на первом шаге извлечь черный шар (В₂) вероятность того, что на втором шаге появится черный шар, если на первом шаге был извлечен белый (/В₁) вероятность того, что на втором шаге появится черный шар, если на первом шаге был извлечен черный шар (/В₂) тогда по формуле полной вероятности:

Как правило, вместе формулой полной вероятности соответствии логикой вопроса изучается формула Байеса, так как она дает решение обратной задачи. Проводится испытание, результате которого произошло событие Какова вероятность того, что этом испытании произошло событие В_i

Методика изучения понятия «случайная величина»

Изучение основных характеристик случайных величин

Понятие «случайная величина» третье фундаментальное понятие теории вероятностей. Без знаний учащихся области элементов математического анализа корректное изучение этого понятия его свойств не представляется возможным. Можно остановиться лишь на изучении дискретной случайной величины. При достаточном уровне математической подготовки учащихся есть возможность более детально изучить определение свойства непрерывных случайных величин.

Ввести определение случайной величины желательно конкретно-индуктивным способом. Рассмотрев ряд примеров случайных величин (число выпавших очков при бросании игровых костей, число голосов, набранных кандидатами, результат измерения формулируется определение понятия случайной величины (переменная, которая принимает числовые значения зависимости от исхода некоторого опыта; обозначение подчеркивается, что случайная величина принимает числовые значения, которые заранее неизвестны. Другой подход определению функциональный. Случайную величину можно рассматривать как функцию элементарного события областью определения (множество событий)

Таким образом, представлена методика работы при использовании элементов теории вероятностей классе.

На основании этого можно сделать вывод, что ознакомление школьников элементами теории вероятностей повышает интерес предмету, следовательно, повышается эффективность обучения, которое может проводиться на факультативных занятиях.

Так как при анализе учебников математики анкетировании учителей Кунгура было выявлено, что данная тема рассматривается недостаточно, лишь учебнике математики класса Дорофеева (приложение Автором данной работы была разработана программа факультативного курса по теории вероятностей курсе математики класса.

Заключение

На современном этапе обучения школьный курс математики стали вводиться элементы теории вероятностей.

В настоящее время она завоевала очень серьезное место науке прикладной деятельности. Сейчас без достаточно развитых представлений случайных событиях их вероятностях невозможно полноценно работать физике, химии, биологии, управлять производственными процессами.

Значение теории вероятностей современной науке практической жизни понято достаточно хорошо представителями ряда научных дисциплин. Но эта наука имеет очень важное методологическое значение, поскольку она вводит круг новых, гораздо более широких закономерностей, которые позволяют описывать явления окружающего нас мира полнее глубже. Познакомить этими закономерностями еще школьном возрасте является важной задачей, поскольку позднее переделать психику на новый способ мышления гораздо сложнее.

Поскольку многие задачи элементами теории вероятностей доступны ученикам, интересны им, то их необходимо включать учебники. Они привлекают ребят делают уроки многообразными интересными.

Целью формирования развития математических способностей школьников их интереса математике будет актуальна такой способ обучения как факультативный курс.

Факультативные занятия школьники посещают по желанию, следовательно, педагогу необходимо создать условия, при которых способные ученики смогут реализовать свои возможности, остальные учащиеся смогут решать посильные для них задачи или, пользуясь помощью учителя, более трудные задания.

В ходе работы было рассмотрено два определения теории вероятностей: классическое статистическое. Для решения задач по теории вероятностей следует применять следующие теоремы: сложения вероятностей несовместимых событий, умножения вероятностей, сложений вероятностей совместимых событий; формулы: полной вероятности, Бейеса (Байеса)

И также изучена различная литература, разработаны проведены уроки. На основании этого можно сделать вывод, что ознакомление школьников элементами теории вероятностей повышает интерес предмету, следовательно, повышается эффективность обучения. Однако эффективность может быть достигнута лишь том случае, если учитель понимает осознает эффективность такого обучения.

Также была представлена методика работы при использовании элементов теории вероятностей классе.

В ходе работы был проведен анализ учебников математики. Выявлено, что лишь учебнике математики класса под редакцией Дорофеева раскрывается материал по данной теме.

Было проведено анкетирование учителей разных школ города, по итогам которого можно сказать, что задания по данной теме используются недостаточно, хотя играют большую роль развитии логического мышления.

Таким образом, была разработана программа факультативного курса по теории вероятностей курсе математики класса; изучена методическая научная литература по данной теме; показана методика работы при использовании элементов теории вероятностей на уроках математики школе; подобрана система задач упражнений, направленных на изучение данной темы. Следовательно, цель реализована, задачи решены.

Литература

1. Баврин, Высшая математика: Учеб. для студ. естественно-научных специальностей педагогических вузов Баврин. - изд. испр. доп. Издательский центр «Академия» 2004. 616

2. Газета «Математика» 27, 2000.

3. Газета «Математика» 2007.

4. Дорофеева, .Высшая математика. Гуманитарные специальности: Учеб. пособие для вузов. - изд. перераб. доп. Дрофа, 2003. 384

5. Журнал «Математика в школе» 2005

6. Каменкова, Элементы теории вероятностей: Учеб. пособие. для ссузов. – изд. Дрофа, 1993.-328

7. Математика кл. Учеб. Для общеобразоват. учеб.завед. Дорофеев, Суворова, Шарыгина др. - изд. Стереотип. Дрофа, 2000. 416

8. Методика технология обучения -ке. Курс лекций: пособие для вузов Стефановой, Подходовой.– Дрофа, 2005.-416

9. Никольский, Элементы математического анализа: Учеб. пособие для студ. ссузов. - изд. перераб. доп. Дрофа, 2002. 272

10.http:/med-lib.ru/

11.http:/referatovbank.ru/

Приложения

Приложение: Анкетирование учителей

Шерстобитова Ольга Александровна Лицей	Гердовец Жанна Николаевна Школа 16	Воронкова Наталья Ивановна Школа 10
Есть ли учебниках математики -го класса задания по теории вероятностей?
да, но не во всех	не во всех	да
в каких?
Мордкович . Виленкин . Дорофеев	Последнее издание Виленкина .	Мордкович .,Виленкин .
Нужны ли такие задачи школьникам?
Нужны, . они развивают логическое мышление, интерес к математике
Используются ли вами задачи по теории вероятностей на уроках в классе?
да, но редко	редко	в конце года хотела попробовать
Нравятся ли данные задачи детям?
нравятся	да, но не все их понимают	еще не знаю

Приложение

Программа факультативного курса по теории вероятностей в курсе математики 8 класса

Предисловие

Вы начинаете изучать раздел математики под названием:«Теория вероятностей».

В данном факультативном курсе вы найдете много интересных полезных для себя сведений, которые связаны жизнью.

Случай, случайность ними мы встречаемся повседневно: случайная встреча, случайная поломка, случайная находки, случайная ошибка. Этот ряд можно продолжать бесконечно. Казалось бы, тут нет места для математики—какие уж законы царстве Случая! Но здесь наука обнаружила интересные закономерности—они позволяют человеку уверенно чувствовать себя при встреча со случайными событиями.

Основа хорошего понимания теории вероятностей умение считать, думать, рассуждать, находить удачные решения задач. Все эти навыки способности вы можете выработать, если будете настойчивы, трудолюбивы внимательны на уроках, будете самостоятельно интересом заниматься.

На данном факультативном курсе будут использованы такие виды деятельности, как практические, лабораторные работы, игры, семинары. Данный курс вам поможет по-другому посмотреть на окружающий мир, ведь мы живем мире случайных событий. Изучив его, вы сможете объективно оценивать некоторые вещи, опираясь на математические подсчеты.

Для изучения данного факультативного курса вам понадобится: кубики (кости) пуговицы, спичечный коробок, монеты, кнопки, жестяные крышки, клей, картон, спички.

Желаю вам успехов в овладении тайнами удивительного раздела математики теория вероятностей!

Урок: Изготовление наглядных пособий

Цель: изготовление наглядных пособий для изучения данного курса.

Оборудование: картон, карандаш, клей, пластилин, спичка.

Изготовьте «неправильный» кубик из листа плотной бумаги. Для этого надо вырезать фигуру, изображенную на рис. написать на гранях цифры склеить кубик, предварительно прикрепив внутренней стороны грани цифрой кусок пластилина.

Развертка пирамидки внутренней стороны грани цифрой приклейте кусок пластилина, после чего склейте пирамидку. Считается, что на пирамидке выпало очка, когда грань цифрой не видна, она касается стола

Вырежьте из плотного картона неправильный пятиугольник, Проткните его точке спичкой, чтобы получился волчок. Позиция волчка, означает, что выпало очков.

Наглядные пособия убираются в шкаф или лаборантскую.

Урок: Вероятность случайных событий

Цели:

·  ознакомление учащихся темой «Вероятность случайных событий»

·  рассмотрение роли задач в усвоении элементарных знаний теории вероятностей; доступности изучения элементов теории вероятностей.

Оборудование: записи на доске, индивидуальные карточки, аншлаги,

карточки домашним заданием.

Ход урока

Изложение нового материала.

А что же такое случайные события? К примеру, вы купили лотерейный билет. Вы можете выиграть, можете проиграть. Такие события называют случайными. Случайные события события, которые могут произойти, могут не произойти при одних и тех же условиях. На выборах может победить один кандидат, может другой.

Рассмотрим виды случайных событий. Например, вы бросаете монету. Может выпасть «орел» может «решка» Возможности наступлений этих событий равны. Такие события называются равновозможными или равновероятными.

Но не все события равновозможные. Например, будильник может прозвенеть, может не прозвенеть, автобус может изломаться, перегореть лампочка. Но при обычных условиях они маловероятны.

Маловероятные события это события, которые при обычных случаях не происходят. Пример: автобус может изломаться, перегореть лампочка.

Более вероятно, что будильник зазвенит, лампочка загорится.

Более вероятные события - это события, которые происходят при обычной жизни при обычных условиях.

Есть такие события, которые в обычных условиях происходят обязательно не всегда. Они называются достоверными. Например, если опрокинуть чашку с водой, вода обязательно выльется. Приведите свои примеры достоверных событий.

Есть такие события, которые при обычных условиях не происходят никогда. Они называются невозможными. Например, невозможно в обычных условиях, не вылить воду, перевернув стакан вверх дном. Приведите свои примеры невозможных событий.

Достоверные невозможные события встречаются сравнительно редко. Можно сказать, что мы живем в мире реальных событий. Поэтому важно понять, можно ли найти какие либо закономерности в мире случайного? Можно ли какими либо способами оценить шансы наступления интересующего нас случайного события? Ответы на эти вопросы дает наука, которая так называется теория вероятностей. Подведем итог: что такое случайные события? Какие они бывают, приведите примеры на каждый вид случайного события.

Решение задач и упражнений.

Задание. - Какие из следующих событий - случайные, достоверные, невозможные.

На доске начерчена таблица:

События
случайные	достоверные	невозможные

Инструктаж

Вы должны выбрать соответствующие события и вписатьв в таблицу ту цифру, которая соответствует событию. Разберем первый пример:

Черепаха научится говорить. Это событие невозможное. Вписываем букву, в колонку невозможных событий.

Самостоятельная работа по карточкам:

 черепаха научится говорить;

 вода в чайнике, стоящем на плите, закипит;

 ваш день рождения 10 июня;

 день рождения вашего друга 30 февраля;

 вы выигрываете, участвуя в лотерее;

 вы не выигрываете, участвуя в беспроигрышной лотерее;

 вы проигрываете партию в шахматы;

 вы завтра встретите инопланетянина;

 на следующей неделе испортится погода;

 сегодня не четверг;

 после четверга будет пятница;

 после пятницы будет четверг.

 Проверка самостоятельной работы

Задание - Егор и Даниил договорились: если стрелка вертушки остановится на белом поле, то забор будет красить Егор, а если на темном то Даниил.У кого из мальчиков больше шансов красить забор?

Задание - Используя выражения «более вероятно»«менее вероятно»«равновероятные» события сравните возможность наступления случайных событий (устно)

Вы просыпаетесь утром

Это будний день; это выходной.

Вы подбрасываете игральный кубик

Выпадает шестерка; выпадает не шестерка.

Сборная России играет со сборной Чехии

Сборная России выигрывает; сборная России не выигрывает.

Домашняя работа

Дома у вас будет работа по карточкам. Посмотрите на карточку. Прочитайте про себя все пункты. Что нужно сделать? Как это сделать?

Карточка с домашней работой

Бросить монету и определить, что выпало: орел или решка. Провести 10 бросков. перечертить таблицу в тетрадь. Результаты записать в таблицу. После таблицы подсчитать отношение числа выпадения решки.

Число бросаний	Выпадение орла	Выпадение решка
10

Итог урока

Урок. Частота и вероятность случайного события

Цели:

·  ознакомление учащихся с темой: «Частота и вероятность случайного события»

·  продолжение изучения случайных событий;

·  проведение ряда опытов на определение вероятности случайного события.

Оборудование: две пуговицы, неправильная пирамидка.

Изучение нового материала

Как вы помните, мы проводили эксперимент с подбрасыванием монеты определяли вероятность выпадения орла.

Итоговые результаты вашего класса вы можете сравнить с результатами, полученными учениками одной из школ 1994 году, при 6000 испытаний «орел» выпал 2953 раза.

В XVIII в. такие же эксперименты с монетой проводил французский естествоиспытатель Жорж Луи де Бюффон, у которого «орел» выпал 2048 раз при 4040 подбрасываниях монеты. В начале XX в. английский математик Карл Пирсон провел уже 24 000 экспериментов, при этом «орел» выпал 12 012 раз.

Для каждого из рассмотренных экспериментов подсчитаем, какую часть составляет выпадение «орла» от общего числа бросаний монеты, или, как говорят, подсчитаем частоту выпадения «орла»

Получим:

 Бюффона

 школьников

 Пирсона

 какая частота выпадения «орла» получилась в вашем классе?

Нетрудно заметить, что серии экспериментов, проведенных в разные эпохи в разных странах, дают похожий результат: при многократном подбрасывании монеты частота появления «орла» примерно равна , Следовательно, хотя каждый результат подбрасывания монеты случайное событие, при многократном повторении эксперимента видна отчетливая закономерность.

Число, это вероятность случайного события «выпадение «орла» Так как в этих экспериментах «решка» появляется также примерно в половине случаев, то вероятность выпадения «решки» равна.

Вероятность события обозначается большой латинской буквой (первой буквой французского слова probabilite, что при переводе означает возможность, вероятность)

Если обозначить событие «выпадет «орел» событие «выпадет «решка» буквой наш результат можно записать так:

Иногда вероятность выражают в процентах, тогда:

( 50% ( 50%

Тот факт, что вероятность появления «орла» равна, конечно, не означает, что при любой серии экспериментов «орел» появится ровно в половине случаев. Но если число экспериментов достаточно велико, мы можем дать прогноз, что «орел» выпадет примерно половине случаев. Таким образом, в каждом из экспериментов бросанием монеты мы сначала подсчитывали частоту рассматриваемого события с помощью формулы:

Затем, используя найденную частоту, мы оценивали вероятность данного события.

Оценку вероятности случайного события по его частоте можно сделать, используя результаты других, самых разнообразных экспериментов кнопками, игральным кубиком, рулеткой, автомобильными или телефонными номерами.

В таблице представлены результаты экспериментов, проведенных учениками летней математической школы, которые оценивали вероятность наступления случайного события «кнопка выпадет острием вниз»

Число экспериментов	10	20	30	50	100	200	500	1000
Число выпадения кнопки острием вниз			14	22	45	92	225	450
Частота выпадения кнопки острием вниз	,	,45	,47	,44	,45	,46	,45	,45

По таблице можно сделать вывод, что вероятность выпадения кнопки острием вниз примерно равна ,45 или 45%

Вероятностные оценки широко используются по физике, биологии, социологии, экономике политике, спорте повседневной жизни каждого человека.

Если прогнозепогоды сообщают, что завтра будет дождь с вероятностью 70% это значит, что не обязательно будет дождь, но шансы велики стоит, выходя из дому, захватить плащ или зонтик.

Проведение экспериментов

Эксперимент

Оцените вероятность выпадения очков при подбрасывании пирамидки, выполнив 100 экспериментов. Развертка пирамидки с внутренней стороны грани с цифрой приклеен кусок пластилина. Считается, что на пирамидке выпало очка, когда грань с цифрой не видна, она касается стола.

Задание. Известно, что на 100 батареек попадаются бракованные. Какова вероятность купить бракованную батарейку?

Задание. По статистике, в ороде Новинске за год из каждой 1000 автомобилистов попадают ваварию. Какова вероятность того, что автомобилист в этом городе весь год проездит без аварий?

Домашняя работа

Принести спичечный коробок и монету

Итог урока

Урок. Практикум по решению заданий

Цели:

·  использование на практике теоретических знаний;

·  проверка усвоения изученного материала по определению случайных событий их вероятности.

Оборудование: монеты, спичечный коробок

Ход урока

Работа по теме

Задание. Для каждого из перечисленных событий определите, какое оно: достоверное, очень вероятное, возможное, маловероятное или невозможное. Отметьте это в таблице знаком « как это сделано для событий:

1.  Летом у школьников будут каникулы.

2.  В июле в Москве будет солнечно.

3.  После уроков дежурные уберут кабинет.

4.  В классе школьники не будут изучать математику.

5.  Зимой выпадет снег.

6.   января 2001 года наступит XXI век.

7.  При включении света лампочка перегорит.

Событие

10

11

12

Достоверное

Очень вероятное

Возможное

Маловероятное

Невозможное

Задание. Разобьемся на 10 групп по 3 человека Каждая группа должна совершить 10 бросаний монеты и подсчитать, сколько раз выпадет «орел» Результаты запишите в таблицу.(начерчена на доске)

1группа		6группа
2группа		7группа
3группа		8группа
4группа		9группа
5группа		10группа

Итого:

После таблицы подсчитать отношение числа выпадения орла.

Домашняя работа

Задача. Пусть в мешке имеется 15 шаров различных цветов: 7белых, 3 зеленых, 5 красных. Вытаскивают наугад один шар. Какова вероятность того, что будет вытащен белый шар? Зеленый шар? Красный шар?

Итог урока

Урок. Лабораторная работа.

Тема:«Вероятность случайных событий»

·  Цели: обобщение и систематизирование знаний по данной теме; развитие интереса к математике;

Оборудование: монеты, фишки, кости.

Ход работы.

Игра «Спасайся!

Поставьте фишку на кружок "начало"

Бросьте любую монету. Если выпадет "орёл" то двигайтесь по стрелке Если выпадет "решка" то двигайтесь по стрелке

Продолжайте игру, пока вас не съедят или вы окажетесь в безопасности в подводной пещере.

Сыграйте 10 раз. Сколько раз вас съели?

Результат запишите в таблицу.

Начните игру с другого кружка. Сыграйте 10 раз.

Результат запишите в таблицу.

Сделайте вывод. У какого кружка надо начинать игру, чтобы она была менее опасной?

Игра «Кости»

Бросить кости и сосчитать сумму очков. .Провести 10 игр по 10 бросков.

Результат записать в таблицу.

броска(по десяткам)	Сумма очков на кости
						12
10
20
100

Всего: 100

Вероятность:

Вычислить вероятность появления каждой суммы очков.

Сделайте вывод. Сколько очков выпало больше число раз? Как вы думаете, почему?

Итог урока: контрольные вопросы:

Кaкие события называют достоверными? невозможными? случайными? Приведите примеры.

Какие события считаются равновозможными? несовместимыми? единственно возможными? Приведите примеры.

Урок. Эксперименты со случайными исходами

Цели:

·  ознакомление учащихся с темой «Случайные исходы»

·  проведение ряда экспериментов по данной теме;

·  закрепление знаний по теме:«Вероятность случайных событий»

Оборудование: записи на доске, кубики, карточки с домашним заданием.

Ход урока

Повторение изученного материала.

Изучение нового материала.

Сегодня мы вами узнаем, что такое случайные исходы. Представьте: перед началом футбольного матча судья подбрасывает монетку, чтобы определить, какая из команд начнет матч из центра поля. Как вы думаете, какие шансы у каждой команды начать игру? Имеет ли право судья вместо монеты подбросить, например, кнопку?

Подбрасывание кнопки, как и подбрасывание монеты, это эксперимент со случайными исходами, его результат тоже зависит от случая.

Кнопка может упасть как на острие, таки и на кружок. Но можно ли считать эти события равновозможными, или одно из них более вероятно, чем другое? Чтобы ответить на этот вопрос, надо много раз повторить эксперимент подбрасыванием кнопки.

Такое исследование провела группа из 20 шестиклассников в летней математической школе в 1994 году. Каждый из них 100 раз подбросил кнопку, всего было проведено 2000 экспериментов. В итоге кнопка упала на острие 909 раз, на кружок 1091 раз. Имеет ли право судья подбросить кнопку?

Эти эксперименты показывают, что кнопка чаще падает на кружок. Следовательно, судья не имеет права перед матчем заменить монету кнопкой команд такой ситуации были бы неравные шансы начать игру.

Приведите свои примеры случайных исходов.

Проведение экспериментов.

Эксперимент

При бросании игрального кубика возможно исходов. Какие? Как вы думаете, если сделать 1000 бросаний, сколько примерно, раз из 1000 бросаний кубика выпадает очко? Проверьте ваше предположение, проведя классе следующий эксперимент.

Разобьемся на 10 групп по 3 человека Всего получилось 10 групп. Каждая группа должна совершить 10 бросаний и подсчитать, сколько раз выпадет очко. Результаты запишите в таблицу №(начерчена на доске)

Результаты просуммировать. Сравнить ответ, полученный экспериментально с вашими предположениями. Вычислите вероятность выпадения очка. Что для этого нужно сделать?(поделить количество выпадения очка на 1000) Сделайте вывод. Большая ли вероятность выпадения очка.

Эксперимент

Возьмите «неправильный» кубик, предварительно был прикреплен пластилин на стороне с цифрой. Каждой группе нужно провести 10 бросаний «неправильного» кубика. Подсчитать, сколько раз выпадет очко. Каждая группа также подсчитывает свои результаты и заносит их в таблицу №(такая же, как таблица № Результаты просуммировать. Вычислите вероятность выпадения очка при бросании «неправильного» кубика. Сравнить результат этого опыта с результатами предыдущего. В каком случае вероятность выпадения очка больше и почему? Сделайте вывод.

Эксперимент

В предыдущем эксперименте вы подбрасывали кубики и записывали сумму выпавших очков. Приведите по два примера:

 достоверных событий;

 невозможных событий;

 случайных событий.

Домашняя работа

Установите, какие из событий достоверные, невозможные, случайные:

 выплата 100 рублей семью монетами;

 наугад выбранное число, составленное из цифр без повторений, меньше 400.

 появление 19 очков при бросании трех игральных кубиков;

 выплата 1000 рублей четырьмя купюрами;

 появление сразу трех лайнеров над аэропортом.

 Итог урока.

Урок. Практикум по теме: «Эксперименты со случайными исходами»

Цель: закрепление знаний по теме:«Эксперименты со случайными исходами» Оборудование: две кнопки, неправильный пятиугольник, карточки с незаконченными предложениями.

Ход урока

Работа по теме

Задание. Два приятеля с помощью вертушки решают, как им провести воскресенье: если стрелка остановится на белом, они пойдут в кино, если на черном, на стадион. Какое из событий вероятнее: приятели пойдут на стадион или в кино?

Задание. Вы выигрываете, если стрелка останавливается на белом. Какая из вертушек, дает вам больше шансов на выигрыш?

Задание. Сколько раз из ста при одновременном подбрасывании двух кнопок обе кнопки упадут на кружок? Проведите эксперименты.

Задание. Возьмите Волчек из неправильного пятиугольника. Проведите 100 случайных экспериментов, заполните таблицу результатов, чтобы подсчитать частоту и оценить вероятность следующих событий:

 выпадает четное число очков;

 выпадает число очков, меньшее

Работайте парами: один из вас крутит волчок, другой записывает результаты экспериментов.

Домашняя работа

В урне 10 одинаковых шаров, из которых 5 красных 3 голубых. Из урны извлекается шар. Какова вероятность того, что извлеченный шар окажется голубым?

Есть три ключа от трех замков. Они перемешались. Сколько проб достаточно, чтобы подобрать ключи к замкам?

Итог урока

Урок. Лабораторная работа «Эксперименты со случайными исходами»

Цель:

·  обобщение и систематизирование знаний по теме:«Эксперименты со случайными исходами»

Оборудование: две кнопки, два кубика.

Опыт

Провести эксперимент из 100 одновременных бросаний двух кнопок.

Подсчитать, сколько раз ОБЕ кнопки упадут на кружок.

Подсчитать вероятность выпадения двух кнопок на кружок.

Опыт

Провести эксперимент из 100 одновременных бросаний двух кубиков.

Подсчитать, сколько раз на ОБОИХ кубиках выпадет очка.

Подсчитать вероятность выпадения очков.

Сравните эти два опыта, сделайте вывод и запишите его.

Итог урока: Сравнение результатов опытов.

Урок. Практикум по теме: «Частота вероятность случайного события»

·  Цели: представить роль задач и усвоении элементарных знаний прит вычислении частоты вероятности случайного события; представить доступность изучения элементов теории вероятностей и использование их в жизни.

Оборудование: книга, неправильный кубик, монета.

Ход урока

Работа по теме

Задание. Чтобы определить, как часто встречаются в лесопарке деревья разных пород, ребята провели следующие эксперименты. Каждый выбрал свою тропинку по пути следования записывал породу каждого десятого дерева. Результаты были занесены в таблицу.

Оцените вероятность того, что выбранное наугад в этом парке дерево будет: сосной; хвойным; лиственным.

Указание. Ответ округлите до сотых.

Задание. Чтобы определить, какой цвет волос встречается в городе чаще, а какой реже, студенты за полчаса провели следующий эксперимент. Каждый выбрал свой маршрут и записывал по пути следования цвет волос каждого пятого встречного.

Результаты были занесены в следующую таблицу:

Цвет волос	брюнеты	шатены	рыжие	блон­дины	всего
Число людей	198	372	83	212	865

Оцените вероятность того, что выбранный наугад житель этого города будет:шатеном; рыжим; не рыжим.

Указание. Ответ округлите до сотых.

Задание 15. Выберите наугад одну страницу из книги любого писателя и посчитайте, сколько раз на этой странице появляются буквы « « также сколько всего на ней букв. Оцените вероятность появления букв « « в этом тексте.

Объясните, почему на клавиатурах пишущих машинок и компьютеров буква « расположена ближе к центру, буква « ближе к краю. Как вы объясните расположение других букв?

Задание. Задача Даламбера. Какова вероятность того, что при двух бросаниях монеты хотя бы один раз выпадет «орел» Проведите 100 экспериментов оцените эту вероятность.

Домашняя работа

В мешке имеется 9 красных, 6 белых 5 зеленых шара. Сколько шаров нужно вынуть из мешка, чтобы наверняка иметь шары трех цветов?

Итог урока.

Урок. Лабораторная работа «Частота и вероятность случайного события»

Цель:

·  обобщение и систематизирование знаний по теме:«Частота и вероятность случайного события»

Оборудование: кубик.

Какова вероятность выпадения очков при подбрасывании правильного кубика?

Для ответа на эти вопросы проведите 100 экспериментов, подбрасывая кубик.

Всего: 100

Сведите в общую таблицу результаты своих экспериментов. При этом каждая следующая строка таблицы заполняется прибавлением от предыдущей строке результатов, полученных одним из учеников. Подсчитайте частоты указанных событий. Результаты округлите до сотых.

Всего экспериментов	Выпадает		Частота выпадения
	очка	не очка	очков	не очков
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
1100
1200
1300
1400
1500

Итог урока.

Урок. Вероятности достоверных, невозможных и случайных событий

Цели:

·  ознакомление учащихся с темой «Вероятность достоверных, невозможных и случайных событий»

·  представление роли задач и усвоении элементарных знаний теории вероятностей.

Ход урока

Работа по теме

Как мы уже знаем, достоверное событие это событие, которое обязательно происходит при каждом повторении эксперимента, невозможное событие не происходит ни при каком повторении эксперимента.

Поэтому естественно считать, что вероятность достоверного события равна вероятность невозможного события равна

Вероятность случайного события может быть любым числом. Чем больше вероятность, тем чаще наступает случайное событие при многократном повторении эксперимента.

Какова вероятность того, что солнце взойдет на западе?

Какова вероятность того, что после 31 декабря наступит 1 января?

В пакете лежат 20 зеленых 10 желтых груш. Какова вероятность вынуть из пакета грушу? Какова вероятность вынуть из пакета яблоко?

В мешке 20 красных яблок и 10 зеленых. Какое наименьшее количество яблок нужно вынуть, не заглядывая в мешок, чтобы с вероятностью, равной 3 среди вынутых было хотя бы одно красное яблоко? Придумайте и запишите по 2 примера вероятности достоверных, невозможных и случайных событий.

Домашняя работа

В мешке имеется 2 белых 3 синих шара. Какова вероятность вытащить все шары? Белый шар? Синий шар?

Итог урока

Урок. Вероятность равновозможных событий

Цели:

·  ознакомление учащихся с темой:«Вероятность равновозможных событий»

·  продолжение изучения случайных событий;

Ход урока

Работа по теме

Вы уже научились оценивать вероятность случайного события, проводя достаточно большое число экспериментов.

Однако, когда все исходы случайного эксперимента равновозможны, вероятность каждого исхода легко подсчитать, не проводя экспериментов.

Самый простой из примеров такого рода это подбрасывание монеты. Этот эксперимент имеет два исхода:«орел» или «решка» Проведя эксперименты, мы уже установили, что вероятность появления «орла» равна вероятности появления «решки»,тот результат нетрудно было предугадать без проведения опытов. Так как при бросании монеты возможны два равновозможных исхода выпадение «орла» и выпадение «решки» то вероятность каждого из них равна

Точно так же при бросании «правильного» кубика все шесть исходов данного эксперимента равновозможны.

Таким образом, мы можем вычислить вероятности возможных исходов, не проводя экспериментов, только если очевидно, что все исходы случайного эксперимента равновероятны.

На экзамене 24 билета. Андрей не разобрался и одном билете и очень боится его вытянуть. Какова вероятность, что Андрею достанется несчастливый билет?

Всего из данного эксперимента «вытянуть наугад один билет» 24 исхода, все они равновероятны. У Андрея один шанс из 24 вытянуть несчастливый билет. Поэтому вероятность того, что Андрею достанется несчастливый билет, равна 24

В лотерее 10 выигрышных билетов, 240 билетов без выигрыша. Какова вероятность выиграть эту лотерею, купив один билет?

Задание. На вопрос викторины было получено 1250 открыток с правильными ответами, в том числе и ваша. Для определения призера ведущий должен наугад вытащить одну открытку. Какова вероятность того, что приз достанется вам?

Задание. За победу на телеигре Яна получит главный приз путешествие, если за одну попытку угадает, в каком из 12 секторов в табло спрятан приз.

Какова вероятность того, что Яна отправится в путешествие?

Известно, что призы расположены в четырех секторах табло. Какова вероятность того, что Яна выиграет какой-нибудь приз?

Домашняя работа.

Итог урока.

Урок. Практикум по теме: Вероятность равновозможных событий

Цели:

·  проверка осмысления материала по теме:«Вероятность равновозможных событий» путем решения задач;

·  закрепление знаний по теме:«Вероятность случайных событий»

Оборудование: карточки с незаконченными предложениями.

Ход урока

Работа по теме

Задание. На трехместную скамейку произвольным образом садятся двое мужчин и женщина. Какова вероятность того, что мужчины окажутся рядом?

Задание. Грани кубика окрашены в красный и желтый цвет. Вероятность выпадения красной грани равна 5, вероятность выпадения желтой грани равна 7 Сколько красных и желтых граней у кубика?

Задание. В ящике лежат 10 красных, 15 синих и 20 зеленых карандашей. Вы наугад вынимаете карандаш. Какова вероятность того, что это красный карандаш? желтый карандаш? не зеленый карандаш? Какое наименьшее количество карандашей нужно вынуть, чтобы с вероятностью, равной 4 среди них был зеленый карандаш?

Итог урока

Урок 14. Практикум по теме:«Вероятность равновозможных событий»

Цели:

·  проверка осмысления материала по теме:«Вероятность равновозможных событий» путем решения задач;

·  закрепление знаний по теме:«Вероятность случайных событий»

Оборудование: карточки незаконченными предложениями.

Ход урока

Работа по теме

Задание. Какова вероятность того, что при трех бросаниях монеты три раза выпадет орел? два раза выпадет орел? один раз выпадет орел? ни разу не выпадет орел?

Задание. Придумайте три эксперимента, имеющие равновероятные исходы, три эксперимента, имеющие неравновероятные исходы.

Задание. Бросаются одновременно два игральных кубика. Какова вероятность того, что сумма очков будет равна 12?

Задание. В известной игре «камень и ножницы и бумага» два игрока одновременно выбрасывают на пальцах одну из трех возможных фигур.

В комбинации — выигрывает камень (камень «тупит» ножницы), в комбинации — выигрывает бумага (бумага «обернет» камень), в комбинации — выигрывают ножницы (ножницы «режут» бумагу) Если игроки выбрасывают одинаковые фигуры, ничья.

Какова вероятность выигрыша для каждой из фигур?

Домашняя работа

Принести монету, жестяную крышку.

Придумать записать равновозможных событий.

Итог урока

Урок. Лабораторная работа «Вероятность равновозможных событий»

Цель:

·  обобщение и систематизирование знаний по теме «Вероятность равновозможных событий»

Оборудование: монета, жестяная крышка

Ход урока