D > 0, тогда уравнение (3) имеет два корня, вычисляемые по формуле

1. D > 0, тогда уравнение (3) имеет два корня, вычисляемые по формуле

.

(Приложение 1) (4)

2. D = 0, тогда уравнение (3) имеет единственный корень, или, как говорят, два совпадающих корня:

3. D < 0, то уравнение не имеет корней. Обычно в случае приведенного квадратного уравнения (3) вместо D рассматривается выражение , имеющее тот же знак, что и D. При этом формулу корней приведенного квадратного уравнения (4) записывают так:

Отсюда следует, что:

1)  если  то уравнение (3) имеет два корня;

2)  если  то уравнение имеет два совпадающих корня;

3)  если  то уравнение не имеет корней.

Важным моментом в изучении квадратных уравнений является рассмотрение теоремы Виета, которая утверждает наличие зависимости между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения [23,17].

Теорема Виета. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. (Приложение 2)

Иначе говоря, если x₁ и x₂ - корни уравнения х² +px + q = 0, то

x₁ + x₂ = - p,

x₁ x₂ = q. (5)

Данные формулы называют формулами Виета в честь французского математика Ф. Виета (1540-1603), (Приложение 3) который ввел систему алгебраических символов, разработал основы элементарной алгебры. Он был одним из первых, кто числа стал обозначать буквами, что существенно развило теорию уравнений.

Например, приведенное уравнение х^{2 -} 7х +10 = 0 имеет корни 2 и 5. Сумма корней равна 7, а произведение равно 10. Видно, что сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Справедлива также теорема, обратная теореме Виета.

Теорема, обратная теореме Виета. Если для чисел x₁, x_2, p, q справедливы формулы (5), то x₁ и x₂ - корни уравнения х² + px + q = 0 [2,49].

Теорема Виета и теорема, обратная ей, часто применяются при решении различных задач.

Например. Напишем приведенное квадратное уравнение, корнями которого являются числа 1 и - 3.

По формулам Виета

p = x₁ + x₂ = - 2, q = x₁ x₂ = - 3.

Следовательно, искомое уравнение имеет вид х² + 2х - 3 = 0.

Сложность освоения теоремы Виета связана с несколькими обстоятельствами. Прежде всего, требуется учитывать различие прямой и обратной теоремы. В прямой теореме Виета даны квадратное уравнение и его корни; в обратной - только два числа, а квадратное уравнение появляется в заключении теоремы. Учащиеся часто совершают ошибку, обосновывая свои рассуждения неверной ссылкой на прямую или обратную теорему Виета.

Например, при нахождении корней квадратного уравнения подбором ссылаться нужно на обратную теорему Виета, а не на прямую, как часто делают учащиеся. Для того чтобы распространить теоремы Виета на случай нулевого дискриминанта, приходится условиться, что в этом случае квадратное уравнение имеет два равных корня. Удобство такого соглашения проявляется при разложении квадратного трехчлена на множители

Таким образом, неполные и приведенные квадратные уравнения имеют разные алгоритмы решения, при изучении данной темы необходимо показать, что общая формула корней применима и для этих случаев. Обычно они изучаются перед выводом корней общего квадратного уравнения. В целом можно сказать, что освоение темы "Квадратные уравнения" поднимает учащихся на качественно новую ступень овладения содержанием школьной математики.

Важную роль в учебном процессе играют формы организации или виды обучения, в качестве которых выступают устойчивые способы организации педагогического процесса.

Основной формой организации учебно-воспитательной работы с учащимися является урок.

1.3 Характеристика разнообразных форм уроков

Урок - логически законченный, целостный, ограниченных определенными рамками времени отрезок учебно-воспитательного процесса, где представлены все основные элементы этого процесса (цели, содержание, средства, методы, формы организации). Урок представляет собой форму организации деятельности учителя и учащихся.

Урок - это занятие с классом учеников, продолжительностью 40-45 минут. Количество таких занятий определяет учебный план школы, а их содержание - Госстандарт и школьные программы [2,65].

Понятие урок имеет характерные черты (основные характеристики), позволяющие рассматривать его с разных позиций. Иначе, урок состоит из компонентов:

·  цель;

·  содержание;

·  средства и методы обучения;

·  организация учебной деятельности.

Главную роль среди основных характеристик урока играют цели урока: образовательные, воспитательные и развивающие. В соответствии с целью урока отбирается содержание обучения, и, прежде всего содержание урока.

На разных уроках ставится разная дидактическая цель и дидактические задачи не могут иметь одинаковые объем и значение, поэтому различают:

урок обычный, на котором решается лишь одна дидактическая задача (изучение нового материала, или закрепление изученного, или контроль);

урок комбинированный (смешанный), где последовательно решаются несколько дидактических задач;

урок синтетический, на котором решаются одновременно несколько дидактических задач.

В практике обучения наиболее часто проводятся комбинированные уроки. Структура такого урока включает:

1)  Организационный момент.

2)  Проверка знаний и умений учащихся.

3)  Изучение нового материала.

4)  Закрепление изученного материала.

Выделяют четыре основных типа уроков:

·  урок по ознакомлению с новым материалом;

·  урок по закреплению изученного материала;

·  урок проверки знаний, умений и навыков;

·  урок по систематизации и обобщению изученного материала.

Кроме рассмотренной классификации получила распространение классификация по способам проведения уроков (урок-лекция, урок-практикум, урок-презентация, урок - контрольная работа, комбинированный урок, урок - игра и т.д.) [22,64].

Урок - лекция. Материал лекции должен быть интересным, сопровождаться показом наглядных пособий, содержать много примеров из опыта учителя и школьников. Лекция проводится в течение 20 минут, в остальное время урока можно провести самостоятельную работу по проверке усвоения материала или провести этап закрепления и систематизации знаний.

Как правило, это уроки, на которых излагается значительная часть теоретического материала изучаемой темы.

По характеру изложения и деятельности учащихся лекция может быть информационной, объяснительной, лекцией-беседой и т.д.

Лекционная форма проведения уроков целесообразна при:

изучении нового материала, мало связанного ранее изученным;

рассмотрении сложного для самостоятельного изучения материала;

подаче информации крупными блоками;

применении изученного материала при решении практических задач.

Структура лекции определяется выбором темы и цели урока. Другими словами, лекция строится на сочетании этапов урока: организации; постановки цели и актуализации знаний, сообщение знаний учителем и усвоения их учащимися; определении домашнего задания.

Структура данного типа урока может быть такова:

1) повторение материала, необходимого для сознательного усвоения новых математических знаний;

2) изучение нового материала;

3) первичное закрепление изучаемого материала;

4) задание на дом.

Последовательность структурных элементов урока может быть и другой, но в любом случае основная часть урока данного типа посвящается работе над новым материалом [21,95].

Урок - практикум. Основное место на уроках данного типа занимает выполнение учащимися различных тренировочных упражнений и творческих работ. Предлагаются упражнения в определенной системе. Большое место на этих уроках отводится самостоятельной работе учащихся.

Структура этих уроков, как правило, следующая:

1)  воспроизведение учащимися знаний, умений и навыков, которые потребуются для выполнения заданий;

2) самостоятельное выполнение учащимися различных упражнений;

3) проверка выполнения работы и подведение итогов;

4) задание на дом.

С целью развития знаний, умений и навыков на таких уроках иногда включаются элементы нового. Кроме этого, с помощью специальных упражнений проводится подготовительная работа к изучению к следующих тем. Но эти дидактические цели подчиняются основной цели урока - закреплению изученного материла [8,25].

Контрольные уроки. Основное место на таких уроках отводится устной и письменной проверке усвоения изученного материла. Проверка, как правило, сочетается с закреплением знаний, умений и навыков. Самостоятельные письменные работы занимают от 15 до 30 минут, остальное время отводится на закрепление ранее изученного. В конце урока, если проверка проводилась в устной форме, учитель, как правило, дает краткую характеристику знаниям, умениям и навыкам учащихся, указывает на достижения, недостатки и пути их преодоления. Если проверка проводилась в письменной форме, то последующий урок посвящается анализу результатов контрольной работы, исправлению типичных ошибок, повторению и закреплению тех разделов, которые оказались хуже усвоенными [22,35].

Урок - путешествие. Урок проводится в форме воображаемого путешествия. Этапами урока являются остановки по пути следования. Экскурсоводом (инструктором) может быть учитель или заранее подготовленный ученик.

Урок построен в виде практических исследований, работы с изображениями, наглядными пособиями, бесед и докладов о событиях математики.

По окончанию путешествия составляют отчет об "увиденных" событиях.

Урок - презентация. Преимущество компьютерной презентации состоит в облегчении труда преподавателя, упорядочивании и сохранности наглядного материала, необходимого для конкретного занятия.

Презентации дают возможность подать в привлекательном виде тщательно подготовленную информацию. Главная дидактическая функция презентации обусловлена тем, что реализуемая в ней последовательность представления визуальных компонентов определяет порядок восприятия учебного материала. Презентация обеспечивает методически выверенное распределение внимания. Компьютерная презентация помогает упорядочить весь материал, выстроить его, следуя логике изложения и хранить его в одном файле. Сохранение наглядных материалов и возможность их корректирования тоже является важным моментом для преподавателя.

Возможны различные виды уроков с применением информационных технологий:

уроки-беседы с использованием компьютера как наглядного средства; уроки постановки и проведения исследований;

уроки практической работы;

уроки - зачеты;

интегрированные уроки и т.д.

Компьютер можно использовать на различных этапах процесса обучения: при объяснении нового материала, закреплении, повторении, контроле знаний, умений и навыков.

Урок - соревнование. Основу урока соревнования составляют состязания команд при ответах на вопросы и решении чередующихся заданий, предложенных учителем.

Формы проведения таких уроков самая различная. Это поединок, бой, эстафета, соревнования, построенные по сюжетам известных игр: "КВН", "Брейн-ринг", "Счастливый случай", "Звездный час" и др.

Урок - экскурсия проводится с целью накопления непосредственных восприятий и наблюдений учащимися объектов и явлений, связанных с изучением материала по математике. Проводя экскурсии, предусмотренные программой, в природу и на производство (например, в сад, на ферму, строительную площадку и т.п.), учитель организует наблюдения за количественными изменениями, сбор числового материла и т.п.

Экскурсия может явиться началом работы по теме программы. Цель ее - вызвать у учащихся интерес к изучению темы, содействовать накоплению материала, необходимого для последующей работы по теме.

Экскурсия может быть организована в процессе работы над темой. Ее назначение - содействовать частичной проверке уже полученных знаний и умений, а также дополнить материал, необходимый для дальнейшей работы по теме. Она может подвести итог работы по теме или нескольким темам. Цель такой экскурсии - закрепить и расширить знания учащихся, обобщить материал, полученный на уроке или ряде уроков.

Таким образом, существует многообразие форм уроков [11, 32].

Далее рассмотрим применение вышеперечисленных форм уроков при обучении математике.

Глава 2. Разработка и практическое использование различных форм уроков математики

Для того чтобы доказать или опровергнуть, что использование различных форм уроков способствует улучшению качества знаний школьников по теме "Квадратные уравнения", были разработаны и проведены разнообразные формы уроков в 8 классе МОУ “Иштеряковская средняя общеобразовательная школа". При изучении темы были выбраны такие формы уроков, как:

·  урок - лекция;

·  урок - презентация;

·  урок - практикум;

·  урок - игра "Звездный час";

·  урок - программирование;

·  контрольный урок.

 

2.1 Разработка уроков по теме "Неполные квадратные уравнения"

 

Урок - лекция по теме "Неполные квадратные уравнения"

Тип урока: изучение новой темы.

Цели урока: ввести понятие квадратного и неполного квадратного уравнения; показать решения неполных квадратных уравнений; формировать умение решать неполные квадратные уравнения; развивать математическую речь, мышление, внимание; воспитывать интерес к предмету, самостоятельность. Ход урока: 1. Организационный момент. 2. Сообщение темы и цели урока.

У нас сегодня урок - лекция, учимся решать неполные квадратные уравнения.

3. Актуализация знаний

3.1 Устный счет

4,8: 2	2,4	3 - 0,4	2,6	1,4 + 4,9	6,3
+ 0,8	3,2	: 0,13	20	: 3	2,1
: 0,4	8	: 0,1	200	+ 5,9	8
0,2	1,8	: 0,2	1000	: 20	0,4

3.2 Повторение вопросов теории

Что такое уравнение?

Что значит решить уравнение?

Что такое корень уравнения?

3.3 Итог

Итак, мы вспомнили, что такое уравнение, корень, немного посчитали устно. А сейчас открываем тетради, записываем сегодняшнее число и тему урока "Неполные квадратные уравнения".

4. Работа по теме урока

4.1 Историческая справка

Квадратные уравнения умели решать еще вавилоняне. Это было связано с решением задач о нахождении площадей земельных участков, а также с развитием астрономии. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения.