Основные операции над деревьями

15.3 Основные операции над деревьями

Над деревьями, как и над другими связными списками, выполняются те же операции: поиск элемента, вставка элемента в дерево и удаление из него.

Так как образование дерева с помощью рекурсивной процедуры идет по двум ветвям - LEFT и RIGHT, то и поиск нужного элемента должен реализоваться по тому же принципу. Сам же поиск может иметь в качестве результата (выхода) значение некоторого признака, свидетельствующего, что такой элемент в списке есть, или даже ссылку на этот найденный элемент (звено).

Итак, процедуру поиска элемента в двоичном дереве организуют в виде рекурсивной процедуры, где есть:

1) входные параметры (параметры-значения) - ссылка на дерево (т.е. на корень дерева, где ищется элемент) и значение элемента поиска;

2) выходной параметр (параметр-переменная) - ссылка на найденный элемент.

Таким образом, имеем следующую процедуру:

procedure POISK(S: SS; ZNACH: integer; var ELEM: SS);

begin

¦ if S <> nil then

if S^.k = ZNACH then ELEM:= S

¦ else

begin

¦ ¦ POISK(S^.left, ZNACH, ELEM);

¦ ¦ POISK(S^.right, ZNACH, ELEM);

¦ end;

end.

ЗАМЕЧАНИЕ. Из самой процедуры видно, что рекурсия заканчивается по достижению последнего элемента дерева, поэтому переменная ELEM получит значение ссылки на последний элемент, равный ZNACH. Если такого элемента в дереве нет, то переменная ELEM не будет определена, т.к. на оператор ELEM:= S программа выходит только при условии S^.K = ZNACH. В этом случае значение переменной ELEM^.K - "мусор".

В качестве элемента поиска может быть и корень дерева, но тогда никакой рекурсии не произойдет, а будет сразу получен ответ. Итак, процедура POISK "пробегает" все дерево независимо от результатов. Для приостановки поиска после получения положительного результата необходимо организовать досрочный выход, что реализует следующая процедура:

procedure POISK1(S: SS; ZNACH: integer; var ELEM: SS);

begin

¦ if (S^.k >= N1) and (S^.k <= N2) then

¦ begin write(S^.k:3); i:= i+1; end;

¦ if S^.k = ZNACH then begin j:=1;ELEM:= S end

¦ else if S <> nil then

¦ begin

¦ ¦ POISK1(S^.left, ZNACH, ELEM);

¦ ¦ if j = 0 then

¦ ¦ POISK1(S^.right, ZNACH, ELEM);

¦ end;

end.

ПОЯСНЕНИЕ. Данная процедура заканчивает работу либо при нахождении искомого элемента, либо при достижении конца дерева. В ней имеются две глобальные переменные I и J, которые должны быть обнулены в основной программе. Переменная I служит для подсчета просмотренных во время поиска элементов, которые попутно выводятся на печать. При нахождении элемента ZNACH в левом поддереве вырабатывается признак J = 1, препятствующий вхождению поиска в правое поддерево.

Условие (S^.k >= N1) and (S^.k <= N2) необходимо для того, чтобы не выводились на печать K - элементы "сухих" ветвей (выходящих из терминальных вершин) при обходе дерева. Здесь N1 - наименьший и N2 - наибольший из введенных в дерево элементов. Обе эти переменные должны быть определены в основной программе.

Вставка элементов в дерево более сложна, чем поиск. Это связано с тем, что каждый элемент (кроме терминального) ссылается на два других (левый и правый) и указания на то, после какого элемента надо осуществить вставку, будет недостаточно. Необходимо знать, в какую из ветвей следует ввести новую вершину.

Если поставить вопрос о вставке нового элемента перед указанным, то, казалось бы, ситуация выглядит проще. Но это на самом деле не так. Ведь при вставке элемента перед указанным также следует держать ссылку на предыдущее звено. Поэтому задача имеет тот же вариант, что и раньше:

Кроме того, необходимо знать, с какого из полей (левого или правого) вставляемого элемента надо делать ссылку на оставшуюся часть дерева, а какое поле оставить незаполненным, т.е. сделать его терминальным (листом).

Чтобы избежать этой неопределенности, условились делать процедуру вставки по следующему алгоритму:

1) вставлять новый элемент S2 между S и S1;

2) если S ссылается на S1 левым полем, то вставляемый элемент S2 будет также ссылаться на S1 левым полем;

3) если S ссылается на S1 правым полем, то и вставляемый элемент должен ссылаться на S1 правым полем.

Отсюда следует процедура вставки (нерекурсивная):

procedure VSTAVKA (S, S1, S2: SS);

begin

¦ if S^.left = S1 then

¦ begin

¦ ¦ S^.left:= S2;

¦ ¦ S2^.left:= S1;

¦ ¦ S2^.right:= nil;

¦ end

¦ else

¦ begin

¦ ¦ S^.right:= S2;

¦ ¦ S2^.right:= S1;

¦ ¦ S2^.left:= nil;

¦ end;

end.

ЗАМЕЧАНИЕ. В отличие от процедуры POISK здесь нет на входе явного указания на корень дерева. Однако при указании двух соседних вершин в ссылках на них фигурирует ссылка на корень дерева. Например, для вставки в дерево DER некоего элемента EL между вторым и третьим элементами левого поддерева необходимо выполнить следующие операторы:

new(Z); write ('Введите вставляемый элемент: ');

readln(EL); Z^.k:= EL: Z^.left:= nil; Z^.right:= nil;

VSTAVKA (DER^.left, DER^.left^.left, Z).

На практике ссылка S чаще всего есть результат работы процедуры поиска, т.е. получена путем применения POISK(DER,ZNACH,S). Тогда для вставки элемента Z в левое поддерево вершины S в качестве S1 надо взять S^.left, в противном случае – положить S1=S^.right.

Удаление звена из дерева осуществляется по разным правилам и зависит от характеристики дерева и предметной области его вершин. Здесь возможны различные варианты.

Если вершина Si является терминальной (листом) или из нее выходит только одна ветвь, то удаление реализуется довольно просто - для этого надо скорректировать соответствующую ссылку у вершины предшественника:

Некоторые деревья по своей семантике допускают удаление вершины вместе с выходящими из нее поддеревьями. В этом случае ссылке вершины - предшественницы присваивается значение NIL.

Однако для большинства деревьев удаление одной из вершин не должно приводить к потере остальных. Чтобы избежать этого, надо найти в дереве звено, которое можно вставить на место удаленного, причем подходящее звено должно быть листом. Такое звено всегда существует - это либо самый правый элемент левого поддерева, либо самый левый элемент правого.

Для первого случая надо перейти в следующее звено по левой ветви, а потом все время идти по правой, пока не найдется NIL.

Для второго - надо перейти в следующее звено по правой ветви, а потом идти все время по левой до NIL.

ПРИМЕР. Пусть требуется удалить в дереве вершину 50.

Для решения этой задачи переходим в правое поддерево на вершину 55 и затем идем все время по левым ветвям к вершине 33, которую ставим на место 50.

Заметим, что такой способ удаления звена с замещением его на другое не нарушает упорядоченности (в смысле отношения порядка в множестве целых чисел). Особенно это важно для дерева поиска, в котором и будет рассмотрена процедура удаления звена.

100 | 100

/ \ | / \

20 120 | 20 120

/ \ \ | / \ \

15 50 130 | 15 33 130

/ \ | / \

30 55 | 30 55

/ / \ | / / \

28 35 60 | 28 35 60

/ \ |

33 50 |

Вид дерева |

ДО удаления | Вид дерева ПОСЛЕ удаления 50

15.4 Дерево поиска

До сих пор мы рассматривали построение идеально сбалансированных деревьев с произвольным расположением элементов в вершинах. Напомним, что идеально сбалансированным называется дерево, у которого разница между числом вершин в левом и правом поддеревьях не более 1:

a) A б) A

/ \ / \

B C C B

/ / \

D D E

Сбалансированное Несбалансированное

Организация ИДЕАЛЬНО СБАЛАНСИРОВАННЫХ деревьев не всегда оправдана, т.к. деревья часто строят для поиска того или иного элемента в структуре данных. В дереве общего вида для поиска одного элемента иногда приходится перебрать и все другие, если этот элемент является листом. Такой путь нерационален, т.к. теряется сама идея построения дерева. Лучше создать линейный список в виде стека, дека или очереди. Вот почему для упрощения поиска при организации дерева его строят в виде ДЕРЕВА ПОИСКА, т.к. число переборов для нахождения нужного элемента здесь значительно меньше.

Принцип построения такого дерева состоит в следующем: новый элемент добавляется в левое поддерево, если его значение меньше данного, и в правое, если оно больше данного; элемент не входит в дерево, если он равен данному элементу.

Например, пусть заданы элементы: 10,5,7,12,15,3,7,9. Расположить их в виде дерева поиска с корнем 10.

10

/ \

5 12

/ \ \

3 7 15

\

9

Можно заметить, что в дереве поиска, как и в упорядоченном дереве общего вида, самая левая ветвь состоит из убывающих вершин, а самая правая - из возрастающих.

Рассмотрим теперь процедуру формирования дерева поиска с учетом принципа его построения:

procedure TREEPOISK(var S: SS; ZNACH: integer);

begin

¦ if S = nil then begin

¦ ¦ new(S); S^.k:= ZNACH;

¦ ¦ S^.left:= nil;

¦ ¦ S^.right:= nil; S^.n:= 1;

¦ end

¦ else

¦ if ZNACH < S^.k then TREEPOISK(S^.left,ZNACH)

¦ else

¦ if ZNACH > S^.k then TREEPOISK(S^.right,ZNACH)

¦ else S^.n:= S^.n + 1;

end.

ЗАМЕЧАНИЕ. Из этой процедуры видно, что звено дерева поиска уже состоит из четырех полей: К, LEFT, RIGHT и N. Целочисленное поле N добавлено для того, чтобы увеличивать его значение при появлении в дереве нескольких одинаковых элементов. Поле S^.n позволяет узнать для каждой вершины число породивших ее элементов (кратность вершины). Дело в том, что в отличие от сбалансированного дерева, в дерево поиска элемент входит только один раз. Например, если подавать на вход процедуры TREEPOISK элементы 7,5,3,2,8,4,3,1,7,9, то сформируется дерево из вершин 7,5,3,2,8,4,1,9, а в 4-м поле звена 7 (в нашем случае корень дерева) будет находиться 2.

Заметим также, что указанная процедура построения дерева поиска добавляет лишь один элемент к дереву. Для организации же всего дерева (от корня до его листьев) надо предусмотреть программу, в которой идет обращение к этой процедуре. Основная часть этой программы может выглядеть так:

var DER: SS; EL: integer;

begin write('Введите элемент: '); readln(EL);

¦ DER:=nil;

¦ while EL <> 0 do begin TREEPOISK(DER, EL);

¦ readln(EL); end;

end.

15.5 Операции над деревом поиска

В дереве поиска возможны те же операции, что и в дереве общего вида (поиск, вставка, удаление). Однако здесь уже поиск осуществляется быстрее (проходит по одному маршруту), процедура печати дерева совпадает с процедурой его построения.

Вставка нового элемента осуществляется по тому же принципу, что и построение. Эта процедура напоминает поиск, т.к. для вставки нового элемента необходимо пройти по нужному маршруту.

Например, пусть в дерево надо вставить элемент 4:

10

/ \

5 12

/ \ / \

3 7 11 15

1) т.к. 4 < 10, то нужно идти в левое поддерево(т.е. на 5);

2) т.к. 4 < 5, следует спуститься ниже 5;

3) т.к. 4 > 3, необходимо вставить этот элемент в правое поддерево.

СХЕМА ВСТАВКИ

10

/ \

5 12

/ \ / \

3 7 11 15

\

4

Итак, для вставки в дерево DER элемента 4 надо записать оператор TREEPOISK(DER,4).

Заметим еще раз, что рассмотренная выше процедура TREEPOISK, используемая для формирования дерева, может быть применена и для поиска в нем данного элемента. Действительно, если на вход этой процедуры подать элемент, не содержащийся в дереве, то он будет добавлен к этому дереву. Если же элемент S входит в дерево, то его нового добавления не произойдет, а по значению поля S^.n можно узнать о вхождении данного элемента в дерево (S^.n > 1).

Например, для поиска некоторого элемента EL в дереве DER необходимо выполнить TREEPOISK(DER, EL), добавив в процедуре TREEPOISK оператор WRITELN(DER^.N), который следует поставить в начало ее тела (после слова BEGIN). Наличие в этом списке числа 2 говорит о вхождении элемента EL в дерево, причем можно даже узнать его порядковый номер.

Рассмотренные выше процедуры поиска и вставки элементов в дерево часто используются совместно. Например, с помощью этих процедур можно решать следующие комплексные задачи:

1) поместить данный элемент (не принадлежащий дереву) после указанного элемента дерева;

2) вставить определенный элемент дерева после некоторого элемента того же дерева (переместить элемент).

Следует отметить, что эти операции в дереве поиска надо проводить осторожно, чтобы не нарушить его упорядоченность.

Решение второй задачи может быть реализовано с помощью следующей программы:

program POISK_I_VSTAVKA;

label 1,2,3;

type SS = ^ZVENO;

ZVENO = record

k,n: integer;

left, right: SS;

end;

var DER1,Z,X,T:ss; I,J:integer;

Y:real; O:char;

begin

1:clrscr; gotoxy(20,2);write(' ПОИСК И ВСТАВКА');

writeln; writeln(' ОБЩЕЕ ДЕРЕВО ');writeln;

PRINTTREE(DER1,3,Y); writeln;

writeln('ВСТАВКА HОВОГО ЭЛЕМЕHТА ПОСЛЕ HАЙДЕHHОГО ВЛЕВО');

2:writeln;write('Укажите элемент для вставки: '); readln(I);

POISK(DER1,I,X);

if X^.k <> I then begin

write('Такого элемента нет в деpеве!'); goto 2 end;

3:write('Укажите элемент, за которым идет вставка:');read(j);

POISK(DER1,J,Z); if Z^.k <> J then begin

write('Такого элемента нет в деpеве ! ');

readln;goto 3 end; clrscr;

gotoxy(41,3); write(' ДЕРЕВО до вставки ');

PRINTTREE(DER1,3,Y);

new(T); T^.left:= nil; T^.right:= nil; T^.k:= X^.k;

VSTAVKA(Z,Z^.LEFT,T);

gotoxy(3,3);write(' ДЕРЕВО после вставки ');

PRINTTREE(DER1,3,Y); writeln;

writeln('Вставлен элемент',I:3,'влево после элемента',J:3);

write('Еще ?(y/n): '); readln(O); if O='y' then goto 1

end.

Дерево поиска есть упорядоченное дерево, поэтому для удаления его некоторого элемента необходимо применить принцип удаления, рассмотренный в 15.3.3.

Напомним, что согласно этому принципу, при удалении элемента из дерева на его место ставится любой крайний правый элемент левого поддерева, следующий за удаленным, или любой крайний левый элемент правого поддерева.

procedure UDALEN(var Z, X:ss);

{ X - удаляемый элемент, Z - предшествующий}

var P, M: SS; { Вспомогательные вершины }

begin

¦if X^.left = nil then { Удаление левых листов }

¦ if Z^.left^.k = X^.k

¦ then Z^.left:= X^.right

¦ else Z^.right:= X^.right

¦ else { Удаление правых листьев }

¦ if X^.left^.right = nil then

¦ if Z^.left^.k = X^.k then

¦ begin

¦ ¦ Z^.left:= X^.left;

¦ ¦ X^.left^.right:= X^.right;

¦ end

¦ else begin

¦ ¦ Z^.right:=X^.left;

¦ ¦ X^.left^.right:= X^.right;

¦ ¦ Z^.right:=X^.right

¦ end

¦ else begin {Удал-е внутр. вершин}

¦ ¦ P:=X^.left^.right; M:=X^.left;

¦ ¦ while P^.right <> nil do

¦ ¦ begin M:=P; P:=P^.right; end;

¦ ¦ X^.k:=P^.k;

¦ ¦ M^.right:=nil; {Отрезание листа}

¦ end;

end.

Рассмотренная выше процедура позволяет удалить элемент дерева, для которого известны ссылки на него самого и на предшествующий ему элемент. Однако часто приходится удалять элемент дерева по его значению, а не по ссылке. В этом случае сначала необходимо с помощью процедуры POISK найти ссылку на данный элемент (если он есть в дереве), ссылку на предшествующий ему элемент, а затем по двум ссылкам удалить указанный элемент с помощью процедуры UDALEN.

Все это показано в следующей программе:

program POISK_I_UDALENIE;

label 1,2,3;

type SS = ^ZVENO;

ZVENO = record

k,n: integer;

left, right: SS; end;

var DER,Z,X,T:ss; I,J:integer;

Y:real; O:char;

begin

1:clrscr; gotoxy(20,2); write('ПОИСК И УДАЛЕНИЕ');

writeln(' ДЕРЕВО ПОИСКА '); PRINTTREE(DER,3,Y);

writeln(' УДАЛЕНИЕ УКАЗАННОГО ЭЛЕМЕНТА ');

2:writeln;write('Укажите элемент для удаления: '); readln(I);

POISK(DER,I,X); if X^.k <> I then begin

{ X - ссылка на вершину I }

write('Такого элемента нет в деpеве ! '); readln;goto 2 end;

if X^.k = DER^.k then begin

writeln('ВHИМАHИЕ ! Это - коpень деpева !'); goto 2 end;

3:write('Укажите элемент, перед которым идет удаление:');

readln(J); POISK(DER,J,Z);

{ Z - ссылка на вершину J}

if Z^.k <> J then begin

write('Такого элемента нет в деpеве ! '); goto 3 end;

if (Z^.left^.k <> I) and (Z^.right^.k <> I) then

begin write('Такой паpы элементов нет в деpеве ! ');

goto 3 end; clrscr;

gotoxy(41,3); write(' ДЕРЕВО до удаления '); writeln;

PRINTTREE(der,43,y); UDALEN(Z,X);

gotoxy(3,3);write(' ДЕРЕВО после удаления ');writeln;

PRINTTREE(der,3,y); writeln;

writeln('Удален элемент',i:3,' после элемента ',j:3);writeln;

write('Еще ?(y/n): '); readln(o); if O='y' then goto 1;

end.

Похожие работы

Основы программирования на языке Паскаль

Скачать

168304

7

26

... .....-46.780 Program Prim24; Var r1,r2:real; BEGIN r1:=-46.78; r2:=-46.78; writeln('r1=',r1:12:3,' r2=',r2:9:4); writeln('_______________________________'); readln; END. 6. Массивы   6. 1. Описание массивов В языке Паскаль можно обрабатывать не только отдельные переменные, но и их совокупности. Одной из таких совокупностей (структурированных) данных является массив. ...

Алгоритмические языки и программирование Системное программное обеспечение Технология программирования"

Скачать

112819

0

0

... . Объясните, для чего служат разрешения и привилегии в Windows NT. Зав. кафедрой --------------------------------------------------   Экзаменационный билет по предмету СИСТЕМНОЕ ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ Билет № 22 Перечислите возможности и инструменты системы программирования Microsoft Developer Studio. Укажите для чего предназначается буфер в системах ввода-вывода, ...

Основные понятия алгоритмического языка

Скачать

91405

0

0

... с внешнего устройства (из входного файла) в основную память ЭВМ, операция вывода - это пересылка данных из основной памяти на внешнее устройство (в выходной файл). Файлы на внешних устройствах часто называют физическими файлами. Их имена определяются операционной системой. В программах на языке Паскаль имена файлов задаются с помощью строк. Например, имя файла на диске может иметь вид: ...