Обоснование метода одномонотонных последовательностей для случая с произвольным числом переменных

2. Обоснование метода одномонотонных последовательностей для случая с произвольным числом переменных

 

Данный параграф разбит на пункты, в которых мы попробуем прийти к самому общему доказательству, для случая k последовательностей с n числом переменных, с помощью метода математической индукции.

2.1 Доказательство неравенств с минимальным числом переменных

а₁*b₁ – неравенство с минимальным числом переменных. Тогда

= a₁b_1.

Так как это неравенство минимальное из всех существующих, то сравнивать с похожим неравенством его просто невозможно.

2.2Случай с двумя последовательностями из двух переменных

 

Если = a₁b₁. то =а₁b₁+а₂b₂

 

Теорема 1. Пусть (а₁а₂₎(b₁b₂) – одномонотонные последовательности. Тогда

 

Доказательство

Действительно,

 – =a₁b₁+a₂b₂-a₁b₂-a₂b₁ = (a₁-a₂) (b₁-b₂)

Так как последовательности (а₁а₂)(b₁b₂) одномонотонны, то числа a₁-a₂ и b₁-b₂ имеют одинаковый знак. Поэтому

(a₁-a₂)(b₁-b₂)  0.

Теорема доказана.

Упражнения

Данные ниже упражнения мы решим с помощью Теоремы 1

Упражнение №1.

Пусть a и b – положительные вещественные числа.

Доказать неравенство

a³ +b³ a²b+b²a.

Доказательство.

Заметим, прежде всего, что

a³ +b³ =, a²b+b²a =

А так как последовательности (a², b²), (a, b) одномонотонны, то

А это значит, что a³ +b³ a²b+b²a.

Что и требовалось доказать.

Докажем это же неравенство, но другим способом.

Значит a³ +b³ a²b+b²a.

Что и требовалось доказать.

Мы не можем сказать какой из методов доказательства решения легче, так как в данном случае оба метода решения неравенства примерно одинаковые по сложности.

Упражнение №2.

Пусть a и b – положительные вещественные числа.

Доказать неравенство.

а²+b².

Доказательство.

Заметим, прежде всего, что

а²+b² =, ,

А так как последовательности (), () одномонотонны, то

.

Что и требовалось доказать.