Случай с двумя последовательностями из n переменных

2.4 Случай с двумя последовательностями из n переменных

Рассмотрим одномонотонные последовательность (а₁, а₂, …а_n) и (b ₁, b₂,…b_n)

Если =a₁b₁, и =а₁b₁+а₂b₂, то =а₁b₁+а₂b₂…a_nb_n

 

Теорема 3. Пусть (а₁ а₂ … а_n), (b₁ b_{2 …} b_n) – одномонотонные последовательности и ()перестановка чисел b₁ b_{2 …} b_n. Тогда

 

 .

 

Доказательство.

Действительно, если последовательность () отличается от (b₁ b_{2 …} b_n) то найдется пара чисел k, l (1k<ln) такая, что последовательности (a_k, a_l) и (b_k, b_l) не одномонотонны. Значит, поменяв местами числа и  и , мы увеличим всю сумму, а значит и всю сумму . То есть

,

так как .

Очевидно, что за конечное число попарных перестановок элементов 2-ой строки можно получить одномонотонную последовательность.

Теорема доказана.

Следствие.

Для любого nN верно

 

.

Доказательство.

Но последовательности (а₁ а₂ … а_n) и () не являются одномонотонными, и поэтому мы не можем воспользоваться теоремой 3.

Однако эти последовательности противомонотонны: числа в последовательностях расположены в обратном порядке – самому большому по величине соответствует самое маленькое, а самому маленькому соответствует самое большое. А из противомонотонных последовательностей сделать одномонотонные очень просто – достаточно все числа второй линии взять со знаком минус. В данном случае одномонотонными являются последовательности

 (а₁ а₂ … а_n) и ()

Поэтому

 

Отсюда и следует искомое неравенство

Следствие

Для любого nN верно

(Неравенство Чебышева).

Доказательство.

В силу теоремы 3 справедливы следующие n неравенства

Значит

В этих неравенствах левая часть не изменяется, а в правой части элементы второй строки меняются циклически.

Складываем все и получаем

Что и требовалось доказать

Упражнение №1.

Пусть a и b и c – положительные вещественные числа.

Докажите неравенство.

a³+b³+c³+d³a²b+b²c+c²d+d²a.

Доказательство.

Заметим, прежде всего, что

a³+b³+c³+d³=, a²b+b²c+c²d+d²a =.

А так как последовательности

(a², b², c ², d³), (a, b , c, d)

одномонотонны, то

.

А это значит, что a³+b³+c³+d³a²b+b²c+c²d+d²a.

Что и требовалось доказать.

Доказательство этого неравенства с помощью одномонотонных последовательностей я не могу сравнить с другим доказательством, так как доказать другим способом это неравенство я не смогла.

 

2.5 Случай с n последовательностями из n переменных

Рассмотрим одномонотонные последовательность (а₁, а₂, …а_n), (b₁, b₂,…b_n), …(d₁, d₂,…, d_n).

Если =a₁b₁, и =а₁b₁+а₂b₂, и =а₁b₁+а₂b₂…a_nb_n,

то = а₁b₁…d₁+а₂b₂…d₂+ …+a_nb_n…d_n

 

Теорема 4. Рассмотрим одномонотонные последовательности (а₁, а₂, …а_n), (b ₁, b₂,…b_n), …, (d₁, d₂,…,d_n). Тогда

.

 

Доказательство.

Действительно, если последовательность (a₁, а₂, …а_n), (b'₁, b'₂,…b'_n), …, (d'₁, d'₂,…,d'_n) отличается от (а₁, а₂, …а_n), (b ₁, b₂,…b_n), …, (d₁, d₂,…,d_n), то найдутся переменные k, l (1k<ln) такие, что последовательности (a_k, a_l) и (b_k, b_l) …(d_k, d_l) не одномонотонны. Значит, поменяв местами числа ,, a_k, a_l … d_k, d_l мы увеличим всю сумму, а значит и всю сумму . То

есть

,

так как .

Очевидно, что за конечное число попарных перестановок элементов n-ой строки можно получить одномонотонную последовательность.

Теорема доказана.

Пример

 

Упражнение 1

Пусть а₁, а₂, …а_n - положительные вещественные числа.

Докажите, что

Это неравенство называется неравенством Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом. Докажем его двумя способами

Доказательство.

Перепишем его в виде:

, введя новые переменные

 

Имеем

 

Если сравнить эти два доказательства неравенства, можно заметить, что доказательство с помощью одномонотонных последовательностей гораздо легче в сравнении с доказательством Коши.

неравенство одномонотонный последовательность коши

Заключение

Работая по данной теме, я узнала новый способ доказательства неравенств, вспомнила уже изученные способы доказательства неравенств. Все упражнения в работе я решала сама.

 

Список использованной литературы

 

1.  Большой справочник школьника. 5 – 11 кл. М. Дрофа, 2001 г.

2.  В.В. Зайцев, В.В. Рыжков, М.И. Сканави. Элементарная математика (повторительный курс). М., Наука. 1976 г.

3.  Р.Б. Алексеев, Л.Д. Курлядчик. Нетрадиционные способы доказательства традиционных неравенств. /Математика в школе. 1991 г. №4

4.  Л. Пинтер, Й. Хегедыш. Упорядоченные наборы чисел и неравенства. /Квант. 1985 г. №12.