Многочлены Лежандра

Многочлены Лежандра Преобразование Лапласа Обращение преобразования Лапласа с помощью многочленов, ортогональных на конечном промежутке

20108

знаков

таблиц

изображений

Многочлены Лежандра, Чебышева и Лапласа Читать далее: Преобразование Лапласа

1. Многочлены Лежандра

Многочлены Лежандра — многочлен, который в наименьшей степени отклоняется от нуля в смысле среднего квадратического. Образует ортогональную систему многочленов, на отрезке $[-1,\;1]$ по мере Лебега. Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов $1,\;x,\;x^2,\;x^3,\;\ldots$ ортогонализацией Грама ― Шмидта.

Названы по имени французского математика Адриен Мари Лежандра.

Многочлены Лежандра определяются по формуле (называемой формулой Родрига)

$P_n(x)=\frac{1}{2^n n!}\frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n$ (3)

часто записываемой в виде:

$P_n(\cos\theta)=\frac{1}{2^n n!}\frac{d^n}{d(\cos\theta)^n}(\cos^2\theta-1)^n$ (4)

Многочлены Лежандра также определяются по следующим формулам:

$P_n(x)=\frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^{E(n/2)}(-1)^k\binom{n}{k}\binom{2n-2k}{n}x^{n-2k};$

$P_n(x)=\frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}^2(x-1)^{n-k}(x+1)^{k};$

$P_n(x)=\frac{(x+1)^n}{2^n}\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}^2\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^k$ , если $x\neq -1$ ;

$P_n(x)=\frac{(x-1)^n}{2^n}\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}^2\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^k$ , если $x\neq 1$ .

Они также могут быть вычислены по рекуррентной формуле:

$P_{n+1}(x)=\frac{2n+1}{n+1}xP_n(x)-\frac{n}{n+1}P_{n-1}(x).$

Первые многочлены Лежандра равны:

$P_0(x)=1;\,$

$P_1(x)=x;\,$

$P_2(x)=\frac{1}{2}(3x^2-1);$

$P_3(x)=\frac{1}{2}(5x^3-3x);$

$P_4(x)=\frac{1}{8}(35x^4-30x^2+3);$

$P_5(x)=\frac{1}{8}(63x^5-70x^3+15x);$

$P_6(x)=\frac{1}{16}(231x^6-315x^4+105x^2-5);$

$P_7(x)=\frac{1}{16}(429x^7-693x^5+315x^3-35x);$

$P_8(x)=\frac{1}{128}(6435x^8-12012x^6+6930x^4-1260x^2+35);$

$P_9(x)=\frac{1}{128}(12155x^9-25740x^7+18018x^5-4620x^3+315x);$

$P_{10}(x)=\frac{1}{256}(46189x^{10}-109395x^8+90090x^6-30030x^4+3465x^2-63).$

2. Многочлены Чебышева

Многочлены Чебышева — две последовательности многочленов T_n(x) и U_n(x), $n=\{0,1,\dots\}$ названные в честь Пафнутия Львовича Чебышева.
Многочлены Чебышева играют важную роль в теории приближений, поскольку корни многочленов Чебышева первого рода используются в качестве узлов в интерполяции алгебраическими многочленами.

Многочлен Чебышева первого рода T_n(x) характеризуется как многочлен степени n со старшим коэффициентом 2ⁿ^{- 1}, который меньше всего отклоняется от нуля на интервале [ − 1,1]. Впервые рассмотрены самим Чебышёвым.

Многочлены Чебышева первого рода T_n(x) могут быть определены с помощью рекуррентного соотношения:

$T_0(x) = 1 \,$

$T_1(x) = x \,$

$T_{n+1}(x) = 2xT_n(x) - T_{n-1}(x). \,$

Многочлены Чебышева первого рода $T_n(x)\,$ могут быть также определены с помощью равенства:

$T_n(\cos(\theta))=\cos(n\theta). \,$

или, что почти эквивалентно,

$T_n(z)=\cos(n \arccos(z))\,$

Несколько первых многочленов Чебышева первого рода

$T_0(x) = 1 \,$

$T_1(x) = x \,$

$T_2(x) = 2x^2 - 1 \,$

$T_3(x) = 4x^3 - 3x \,$

$T_4(x) = 8x^4 - 8x^2 + 1 \,$

$T_5(x) = 16x^5 - 20x^3 + 5x \,$

$T_6(x) = 32x^6 - 48x^4 + 18x^2 - 1 \,$

$T_7(x) = 64x^7 - 112x^5 + 56x^3 - 7x \,$

$T_8(x) = 128x^8 - 256x^6 + 160x^4 - 32x^2 + 1 \,$

$T_9(x) = 256x^9 - 576x^7 + 432x^5 - 120x^3 + 9x \,$

Многочлены Чебышева обладают следующими свойствами:

Ортогональность по отношению к соответствующим скалярному произведению (с весом $\frac1\sqrt{1-x^2}$ для многочленов первого рода и $\sqrt{1-x^2}$ для многочленов второго рода).

Среди всех многочленов, значения которых на отрезке [ − 1,1] не превосходят по модулю 1, многочлен Чебышева имеет: наибольший старший коэффициент наибольшее значение в любой точке за пределами [ − 1,1] если $n \equiv k ~\mathrm{ mod } ~ 2$ , то $|a_{k-1}| + |a_k| \le |t_{k}|$ , где t_k — коэффициент многочлена Чебышева первого рода, a_k — коэффициент любого из рассматриваемых полиномов.

Нули полиномов Чебышева являются оптимальными узлами в различных интерполяционных схемах. Например, в методе дискретных особенностей, который часто используется при исследовании интегральных уравнений в электродинамике и аэродинамике.

Многочлены Лежандра, Чебышева и Лапласа Читать далее: Преобразование Лапласа

Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 20108
Количество таблиц: 0
Количество изображений: 0

Скачать

... (72) и (73) положить , то мы получим две интегральные формулы Пуассона для кругового кольца: , (82) , (83) где (74) и (75) – реальные и мнимые части компактной интегральной формулы Вилля-Шварца для кругового кольца [2], - функция Вейерштрасса, - угол наклона касательной к в точке , , - периоды, с – произвольная постоянная, (). Так как функция ) представляется быстро сходящимися ...

Главная Новости Рефераты Статьи Вузы

О проекте Соглашение

Наверх

Войти на сайт

Навигация

Похожие работы

0 комментариев

Разделы

Инфо

Следите за новостями