Обращение преобразования Лапласа с помощью многочленов, ортогональных на конечном промежутке

4. Обращение преобразования Лапласа с помощью многочленов, ортогональных на конечном промежутке

4.1  Постановка задачи

Задачу преобразования Лапласа можно решать методами, основанными на разложении оригинала в ряды по ортогональным функциям, в частности по многочленам Чебышева, Лежандра и Якоби.Эта задача, которая в окончательном своем виде сводится к проблеме моментов на конечном промежутке, была подвергнута изучению в работах многих авторов.

Рассмотрим постановку этой задачи в таком виде, как это сделано в работах В.М. Амербаева и в книге В.А. Диткина и А.П. Прудникова [2].

Пусть известно преобразование Лапласа F(p) функции β(t)f(t):

 (10)

Где f(t) – искомая функция, а β(t) – неотрицательная, абсолютно интегрируемая на [0,∞) функция. Предположим, что функция f(t) интегрируема на любом конечном отрезке [0, Т] и принадлежит классу L₂(β(t), 0, ∞):

 

 (11)

Требуется по изображению F(р) функции β(t)f(t), построить функцию f(t).

В интеграле (10) введем замену переменной x=e^-t; тогда он приведется к виду

 (12)

где

 

В силу условий, которые наложены на функции f(t) и β(t), интеграл (12) сходится всюду в плоскости Re p≥,0, поэтому переменной р можно придать значения 0, 1, 2, … и получить «взвешенные моменты» функции

 (13)

После этого решаемую задачу можно сформулировать так: найти функцию  по ее «взвешенным моментам» , или, что тоже самое, найти функцию f(t) по значениям изображения функции β(t)f(t) в целочисленных точках p = k (k = 0, 1, 2, …). В частном случае эту задачу можно упростить и по первым п + 1 «взвешенным моментам» искать многочлен , такой, чтобы его «взвешенные моменты» совпадали с заданными моментами функции , то есть чтобы выполнялись равенства

 (14)

4.2.Обращение преобразования Лапласа с помощью смещенных многочленов Лежандра

 

Рассмотрим частный случай весовой функции

 (15)

 или .

 

Многочленами, ортогональными на отрезке [0,1] с весом , будут смещены многочлены Лежандра

Они задаются формулой

 при  

или же формулой

 

Величина r_n в этом случае равна

и разложение функции f(t) по смещенным многочленам Лежандра имеет вид

 (16)

Величины α_k вычисляются по формуле

 (17)

в которой  - коэффициенты смещенного многочлена Лежандра

4.3. Обращение преобразования Лапласа с помощью смещенных многочленов Чебышева первого рода.

 

Положим теперь  Весовая функция имеет вид

 и

Смещенные многочлены Чебышева первого рода  являются ортогональной системой на [0,1] по весу

Многочлены Якоби  отличаются от  только численным множителем, а именно

,

где

Многочлены имеют вид

Значения r_n вычисляются по формулам

а разложение функции f(t) по смещенным многочленам Чебышева первого рода имеет вид

 (18)

Коэффициенты a_k (k=0, 1, …) вычисляются по формуле (17), в которой - коэффициенты смещенного многочлена Чебышева первого рода .

В вычислениях удобнее пользоваться тригонометрической записью многочленов , а именно:

Сделав замену переменной 2x – 1 = cosθ (0≤θ≤π) и учитывая, что  разложение (18) можно переписать в виде:

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

Одним из наиболее мощных средств решения дифференциальных уравнений, как обыкновенных, так, особенно, в частных производных, является метод интегральных преобразований.

Преобразования Фурье, Лапласа, Ганкеля и другие применяются для решения задач теории упругости, теплопроводности, электродинамики и других разделов математической физики.

Преобразование Лапласа — интегральное преобразование, связывающее функцию комплексного переменного (изображение) с функцией действительного переменного (оригинал). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и интегральные уравнения.

Одной из особенностей преобразования Лапласа, которые предопределили его широкое распространение в научных и инженерных расчётах, является то, что многим соотношениям и операциям над оригиналами соответствуют более простые соотношения над их изображениями.

Интеграл Лапласа имеет вид:

 

где интегрирование производится по некоторому контуру L_в плоскости комплексного переменного z, ставящий в соответствие функции f(z), определенной на L, аналитическую функцию F(p) комплексного переменного p=s+it.

Численное преобразование Лапласа - численное выполнение преобразования

,

переводящего оригинал f(t), 0<t<∞ в изображение F(p),, а также численное обращение преобразования Лапласа.

Необходимость применения численного преобразования Лапласа возникает вследствие того, что таблицы оригиналов и изображений охватывают далеко не все встречающиеся в практике случаи, а также вследствие того, что оригинал или изображение зачастую выражаются слишком сложными, неудобными для применений формулами.

Задачу численного обращения преобразования Лапласа можно также решать методами, основанными на разложении функции-оригинала в функциональный ряд. Сюда в первую очередь можно отнести разложение в степенной ряд, в обобщенный степенной ряд, в ряд по показательным функциям, а также в ряды по ортогональным функциям, в частности по многочленам Чебышева, Лежандра, Якоби и Лагерра. Задача разложения оригинала в ряды по многочленам Чебышева, Лежандра, Якоби в окончательном своем виде сводится к проблеме моментов на конечном промежутке. Пусть известно преобразование Лапласа F(p) функции β(t)f(t):

  

где f(t) - искомая функция, а β(t) - неотрицательная, интегрируемая на [0,∞) функция.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.  Ван дер Поль Б., Бремер Х. Операционное исчисление на основе двустороннего преобразования Лапласа. — М.: Издательство иностранной литературы, 1952. — 507 с.

2.  Диткин В.А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. — М.: Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1974. — 544 с.

3.  Кожевников Н.И., Краснощекова Т. И., Шишкин Н. Е. Ряды и интегралы Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразования Лапласа. — М.: Наука, 1964. — 184 с.

4.  Крылов В.И., Скобля Н.С. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа. – М.: Наука, 1974. – 226 с.