Дизъюнкция любого числа импликант булевой функции f также является импликантой этой функции

1. Дизъюнкция любого числа импликант булевой функции f также является импликантой этой функции.

2. Любая булева функция f эквивалентна дизъюнкции всех своих простых импликант. Такая форма представления булевой функции называется сокращенной ДНФ.

Перебор всех возможных импликант для булевой функции f из рассмотренного примера дает возможность убедиться, что простых импликант всего две: g3 и g5. Следовательно, сокращенная ДНФ функции f имеет вид:

f = g3 V g5 =V

Как видно из табл. 6.8., импликанты g3 и g5 в совокупности покрывают своими единицами все единицы функции f. Получение сокращенных ДНФ является первым этапом отыскания минимальных форм булевых функций. Как уже отмечалось, в сокращенную ДНФ входят все простые импликанты булевой функции. Иногда из сокращенной ДНФ можно убрать одну или несколько простых импликант, не нарушая эквивалентности исходной функции. Такие простые импликанты назовем лишними. Исключение лишних простых импликант из сокращенных ДНФ — второй этап минимизации.

Определение. Сокращенная ДНФ булевой функции называется тупиковой, если в ней отсутствуют лишние простые импликанты.

Устранение лишних простых импликант из сокращенной ДНФ булевой функции не является однозначным процессом, т.е. булева функция может иметь несколько тупиковых ДНФ.

Утверждение. Тупиковые ДНФ булевой функции f, содержащие минимальное число букв, являются минимальными. Минимальных ДНФ тоже может быть несколько.

Рассмотрим несколько методов минимизации. Все они практически различаются лишь на первом этапе — этапе получения сокращенной ДНФ. Следует отметить, что, к сожалению, поиск минимальной ДНФ всегда связан с некоторым перебором решений. Существуют методы уменьшения этого перебора, однако он всегда остается.

7.1.Метод Квайна

 

Метод Квайна основывается на применении двух основных соотношений.

1.  Соотношение склеивания

где А — любое элементарное произведение.

2.  Соотношение поглощения

Справедливость обоих соотношений легко проверяется.

Теорема Квайна. Если в СДНФ булевой функции выполнить все возможные склеивания и поглощения, то в результате будет получена сокращенная ДНФ.

Метод применим к совершенной ДНФ. Из соотношения поглощения следует, что произвольное элементарное произведение поглощается любой его частью.

Для доказательства достаточно показать, что произвольная простая импликанта р = может быть получена. В самом деле, применяя к р операцию развертывания (обратную операции склеивания): по всем недостающим переменным исходной функции f, получаем совокупность S конституент единицы. При склеивании всех конституент из S получим импликанту р. Последнее очевидно, поскольку операция склеивания обратна операции развертывания. Множество S конституент обязательно присутствует в совершенной ДНФ функции f поскольку р — ее импликанта.

Минимизация по методу Квайна выполняется по следующему алгоитму:

1. Выполняются все склеивания в СДНФ.

2. Выполняются все поглощения.

3. Результирующая функция проверяется на возможность дальнейшего склеивания и поглощения.

4. После получения сокращенной ДНФ строится импликантная матрица, по которой находятся “лишние” импликанты.

Пример. Пусть имеется булева функция, заданная таблицей истинности (табл 9). Ее СДНФ имеет вид:

f= ÚÚÚÚÚ

Для удобства изложения пометим каждую конституенту единицы из СДНФ функции f каким-либо десятичным номером (произвольно). Выполняем склеивания. Конституента 1 склеивается только с конституентой 2 (по переменной х3) и с конституентой 3 (по переменной х2 ) конституента 2 с конституентой 4 и т. д. В результате получаем:

1-2:

1-3:

2-4:

3-4:

4-6:

5-6:

Заметим, что результатом склеивания является всегда элементарное произведение, представляющее собой общую часть склеиваемых конституент.

Далее производим склеивания получаемых элементарных произведений. Склеиваются только те произведения, которые содержат одинаковые переменные. Имеет место два случая склеивания:

Ú=ÚÚ

Ú=ÚÚ

с появлением одного и того же элементарного произведения . Дальнейшие склеивания невозможны. Произведя поглощения (из полученной ДНФ вычеркиваем все поглощаемые элементарные произведения), получим сокращенную ДНФ:

ÚÚ

Переходим к следующему этапу. Для получения минимальной ДНФ необходимо убрать из сокращенной ДНФ все лишние простые импликанты. Это делается с помощью специальной импликантной матрицы Квайна. Строки такой матрицы отмечаются простыми импликантами булевой функции, т. е. членами сокращенной ДНФ, а столбцы — конституентами единицы, т. е. членами СДНФ булевой функции.

Пример (продолжение). Импликантная матрица имеет вид (табл. 10).

Таблица 10.

Простые	Конституенты единицы
импликанты
	Х	Х	Х	Х
				Х		Х
					Х	Х

Как уже отмечалось, простая импликанта поглощает некоторую конституенту единицы, если является ее собственной частью. Соответствующая клетка импликантной матрицы на пересечении строки (с рассматриваемой простой импликантой) и столбца (с конституентой единицы) отмечается крестиком (табл. 10). Минимальные ДНФ строятся по импликантной матрице следующим образом:

1) ищутся столбцы импликантной матрицы, имеющие только один крестик. Соответствующие этим крестикам простые импликанты называются базисными и составляют так называемое ядро булевой функции. Ядро обязательно входит в минимальную ДНФ.

2) рассматриваются различные варианты выбора совокупности простых импликант, которые накроют крестиками остальные столбцы импликантной матрицы, и выбираются варианты с минимальным суммарным числом букв в такой совокупности импликант.

Пример (продолжение). Ядром нашей функции являются импликанты  и . Импликанта  - лишняя, так как ядро накрывает все столбцы импликантной матрицы. Поэтому функция имеет единственную тупиковую и минимальную ДНФ:

fmin=Ú

Следует отметить, что число N крестиков в одной строке всегда является степенью 2. Более того, читатель может легко убедиться в том, что N = 2n-k, где k — число букв, содержащихся в простой импликанте.

Заметим также, что используя различные соотношения, можно расширить область применения метода Квайна за пределы совершенной ДНФ.

7.2 Метод Квайна-Мак-Класки

Метод представляет собой формализованный на этапе нахождения простых импликант метод Квайна. Формализация производится следующим образом:

1. Все конституенты единицы из СДНФ булевой функции f записываются их двоичными номерами.

2. Все номера разбиваются на непересекающиеся группы. Признак образования і-й группы: і единиц в каждом двоичном номере конституенты единицы.

3. Склеивание производят только между номерами соседних групп. Склеиваемые номера отмечаются каким-либо знаком (зачеркиванием, звездочкой и т.д.).

4. Склеивания производят всевозможные, как и в методе Квайна. Неотмеченные после склеивания номера являются простыми импликантами.

Нахождение минимальных ДНФ далее производится по импликантной матрице, как и в методе Квайна. Более подробно рассмотрим метод на примере решения следующей задачи: минимизировать методом Квайна-Мак-Класки булеву функцию f, заданную таблицей истинности (табл. 9).

1. В СДНФ функции f заменим все конституенты единицы их двоичными номерами: f=0001Ú0011Ú0101Ú0111Ú1110Ú1111

2. Образуем группы двоичных номеров. Признаком образования і-й группы является і единиц в двоичном номере конституенты единицы (табл.11).

3. Склеим номера из соседних групп табл.11. Склеиваемые номера обозначим звездочками (номер отмечается в том случае, если участвует в склеивании хотя бы один раз). На месте разрядов, по которым произошло склеивание, проставляются прочерки. Результаты склеивания занесем в табл. 12. Склеим номера из соседних групп табл. 12. Склеиваться могут только номера, имеющие прочерки в одинаковых позициях. Склеиваемые номера отметим. Результаты склеивания занесем в табл. 13.