Навигация
Оцінювання параметрів розподілів
16782
знака
0
таблиц
3
изображения
ОЦІНЮВАННЯ ПАРАМЕТРІВ РОЗПОДІЛІВ
Задача оцінювання параметрів розподілів полягає в побудові на основі статистичної інформації, отриманої за даними вибірки, статистичних висновків про істинне значення невідомого параметра 
, в знаходженні величини 
, яку можна буде взяти в якості його оцінки, і в визначенні припустимих меж їхньої розбіжності.
1. Загальні положення теорії оцінювання параметрів розподілів
Оскільки існує велика кількість функцій від вибіркових значень, які можна використати як оцінки параметрів, для вибору найкращої оцінки необхідно ввести критерій порівняння якості оцінок, вибрати міру, яка характеризує близькість оцінки до істинного значення параметра , який оцінюється. Проблема полягає в тому, що будь-яка оцінка, є величиною випадковою, тому що вона подає, собою функцію від вибірки обмеженого обсягу. Тому судити про її якість з реалізації тільки у даній вибірці не можна. Необхідно за законом розподілу оцінки, за формою кривої розподілу, з її розташування на числовій осі щодо оцінюваного параметра розсудити про те, або добре, чи незадовільно її підібрано.
Наприклад, на рис. 1 продемонстровано три криві розподілу оцінок різної якості під номерами 1- Очевидно, що розподіл типу 3 є дуже незадовільним, тому що середнє значення цієї оцінки є зміщеним вправо щодо істинного значення і, отже, значення буде оцінюватися із систематичною похибкою убік завищення. У розподілу цієї оцінки порівняно великим є і розсіювання.
Рисунок 1 – Криві розподілу оцінок
Подібність розподілів оцінок 1 і 2 між собою полягає в тому, що їхні середні значення оцінок знаходяться біля істинного значення параметра а, тобто зміщення в оцінці параметра при цьому відсутні чи є незначними. Однак розподіл типу 2 має істотно меншу дисперсію в порівнянні з розподілом 1. Тобто розсіювання значень оцінки 2, отриманої за даними вибірки, щодо істинного значення параметра у цьому разі буде меншим, ніж для оцінки 1, тому її слід вважати кращою.
Функції результатів спостережень (вибірки), що використовують для оцінки параметрів розподілів, називаються статистиками. У цій термінології оцінкою параметра є статистика ; реалізація якої, отримана по даній вибірці, приймається за невідоме значення параметра .
.
Взагалі, відповідно до узагальненої теореми великих чисел у вигляді границі ибіркова оцінка називається обґрунтованою, якщо під час збільшення обсягу вибірки 
вона збігається за ймовірністю до оцінюваного параметра .
Оцінка параметра називається незміщеною, якщо математичне сподівання оцінки дорівнює оцінюваному параметру :
.
У противному випадку оцінка називається зміщеною.
Оцінка параметра називається ефективною, якщо її дисперсія є мінімальною з усіх можливих дисперсій його оцінок:
Якщо зі збільшенням обсягу вибірки дисперсія оцінки прагне до будь-якого граничного (мінімального) значення, наприклад, як на рис. 2, оцінка називається асимптотично ефективною.
Рисунок 2 – Дисперсія асимптотично ефективної оцінки
Задовольнити всім трьом вимогам оцінки параметра розподілу (обґрунтованості, незміщеності та ефективності) разом звичайно не вдається. Насамперед це стосується спільного виконання останніх двох вимог.
Оцінювання параметра традиційно проводять у два етапи. На першому етапі визначають статистику , значення якої при даній реалізації вибірки приймають за наближене значення оцінюваного параметра : 
.
Цю процедуру в математичній статистиці називають точковим оцінюванням, а величину – точковою оцінкою.
На другому етапі оцінюють точність і надійність точкової оцінки, яка за своєю природою є величиною випадковою. Ця процедура полягає в знаходженні інтервалу, де із заданою ймовірністю міститься невідоме значення параметра, що оцінюється. Цей етап звичайно називають інтервальним оцінюванням.
Далі розглянемо основні методи, що дозволяють провести точкове і інтервальне оцінювання параметрів.
Похожие работы
... Метод моментів Метод моментів є одним із методів точечного оцінювання параметрів розподілу. Нехай закон розподілу випадкової величини X відомий із точністю до числових значень його параметрів 1,2,…,k. Це означає, що відомий вид функції щільності fx(х, ), де = (1,2,…,k), якщо X безперервна (відомий вид функції ймовірності Р (X= х,), якщо X дискретна), але числові значення k параметрів не відомі. ...
... (особливо в задачах оцінювання параметрів) за критерій якості приймають саму функцію правдоподібності. Розглянуті показники якості рішення використовують для формулювання критеріїв оптимальності рішень при розв’язанні задач обробки сигналів. 3. Критерії оптимальності рішень у задачі перевірки гіпотез Розглянемо критерії оптимальності рішень при вирішенні задач перевірки гіпотез. Байєсі ...
... інтервалу [1,36; 2,64], то можна говорити про відсутність автокореляції. Подальше проведення розрахунків за критерієм фон-Неймана та застосування методу Ейткена є недоцільним. ЗАДАЧА 4 ОЦІНКА ПАРАМЕТРІВ СИСТЕМИ ЕКОНОМЕТРИЧНИХ РІВНЯНЬ Оцінити параметри економетричної моделі, що складається з двох рівнянь: (4.1) Перше рівняння відображає залежність грошового обігу від оборотності грошей ...
... необхідності допускається застосування байєсівських процедур. Байєсівський підхід стає все більш популярним в області фармакокінетики. Можна сказати, що клінічні дослідження мають ще тривалішу історію, ніж математична статистика. Клінічні дослідження в тому розумінні, що ми звикли вкладати в це поняття, в основному одержали розвиток після другої світової війни, хоча відомі і більш ранні приклади. ...
0 комментариев