Навигация
Пучок кривых второго порядка
22437
знаков
0
таблиц
6
изображений
3 Пучок кривых второго порядка
Пусть M1, M2, M3, M4, — четыре точки, не лежащие на одной прямой. Задавая по произволу еще одну точку M5 (не коллинеарную никаким трем из точек M1, M2, M3, M4, получим, по теореме 1, единственную кривую второго порядка, проходящую через точки M1, M2, M3, M4, и точку M5 .
Поэтому множество всех кривых второго порядка, проходящих через четыре точки M1, M2, M3, M4, бесконечно. Это множество кривых называется пучком кривых второго порядка, определяемым точками M1, M2, M3, M4.
Будем обозначать кривую той же буквой F, которой обозначена левая часть F(x, у) ее уравнения (1), так что F и λF при любом λ≠0 — это одна и та же кривая. Если
F (х, y) = λ1F1(x, y) + λ2F2(x, y),
то будем говорить, что кривая F есть линейная комбинация (с коэффициентами λ1 и λ2) кривых F1 и F2. Если кривые F1 и F2 принадлежат пучку, определяемому точками Mi = (xi , yi) (i = l, 2, 3, 4), то уравнения F1(x, у)=0 и F2(x, у)=0 удовлетворяются, если в них подставить значения х = xi, у = yi при любых i = l, 2, 3, 4. Но тогда и уравнение λ1F1(x, y) + λ2F2(x, y)=0 будет при х = xi, у = yiудовлетворяться. Другими словами, всякая кривая, являющаяся линейной комбинацией двух (или более) кривых, принадлежащих данному пучку, принадлежит этому пучку. Докажем обратное предложение. Пусть в пучке кривых второго порядка выбраны две определенные кривые F1 и F2. Тогда всякая кривая F данного пучка есть линейная комбинация этих двух кривых F1 и F2.
Пусть пучок определен четверкой точек M1, M2, M3, M4. Возьмем на кривой F какую-нибудь точку M5, не коллинеарную ни с какими тремя из точек M1, M2, M3, M4. Кривая F есть единственная кривая второго порядка, проходящая через точки M1, M2, M3, M4, M5. Поэтому для доказательства сделанного утверждения достаточно найти такую линейную комбинацию λ1F1 + λ2F2 чтобы кривая
λ1F1(x, y) + λ2F2(x, y)=0 (12)
проходила через точку M5 = (х5, у5), т. е. достаточно определить λ1 и λ2, вернее, их отношение λ1: λ2, из условия
λ1F1(х5, у5) + λ2F2(х5, у5), (13)
Итак, любой пучок кривых второго порядка вполне определен, если даны две какие-нибудь кривые F1 и F2 из этого пучка: он состоит из всех кривых, являющихся линейными комбинациями λ1F1 + λ2F2 двух данных. Все эти кривые определяются значениями одного параметра— отношением λ = λ1:λ2 двух коэффициентов в линейной комбинации λ1F1 + λ2F2. Другими словами, пучок кривых второго порядка является одномерным многообразием кривых — совершенно в том же смысле, в каком пучок прямых является одномерным многообразием прямых (а пучок плоскостей —
 |
одномерным многообразием плоскостей).
Понятие пучка кривых позволяет очень просто найти уравнение кривой второго порядка, проходящей через заданные пять точек M1, M2, M3, M4, M5. В самом деле, возьмем четыре точки из числа данных пяти, например M1, M2, M3, M4.
Легко написать уравнения прямых:
d1: M1M2 d′1: M3M4 ,
d2: M1M3 d′2: M2M4 .
Теперь имеем две распадающиеся кривые второго порядка: кривую F1 распадающуюся на пару прямых d1 и d′1, и кривую F2, распадающуюся на прямые d2 и d′2 . Многочлены F1(х, у) и F2(х, у) суть произведения трехчленов первой степени, являющихся левыми частями уравнений, соответствующих прямым d1 и d′1, d2 и d′2. Распадающиеся линии F1 и F2, очевидно, проходят через точки M1, M2, M3, M4 т. е. принадлежат пучку, определяемому этими точками. Остается только определить отношение λ1:λ2 из условия, чтобы кривая λ1F1 + λ2F2 проходила через точку M5 = (х5, у5), этим условием является равенство (13), из которого находим
λ1:λ2 = - F2 (х5, y5) : F1(x5, у5).
Похожие работы
... и увеличить объемы потребления до максимально возможных значений и платить при этом все возрастающую с ростом дохода цену. Равновесные кривые для товаров, не являющихся предметами повседневного спроса Случаи равновесных кривых для товара повседневного спроса определяются месторасположением линии максимальных объемов поверхности спроса и поверхности предложения. Для товаров, которые не являются ...
... . С расширением замкнутого объема электрические массы вещества расходятся относительно друг друга, образуется свободное пространство. Становится возможным взаимное перемещение масс, перераспределение их плотности. 4. Единая теория поля 4.1. Электромагнитные колебания В пространстве-времени, образованном гравитационными массами одного знака, электрическое поле равно нулю, вещество электрически ...
... М. В. Неоклассическая модель чистой монополии. М.: ИМЭМО, АН СССР, 1990. 3. Лейбенстайн X. Аллокативная эффективность в сравнении с "Х-эффективностью" // Теория фирмы. С. 477—506. 4. Маленво Э. Лекции... Гл. III. § 9. С. 80—85. 5. Робинсон Дж. Экономическая теория... Гл. 3—5. С. 88—130. 6. Стиглер Дж. Совершенная конкуренция: исторический ракурс // Теория фирмы. С. 299—328. 7. Самуэльсон П. ...
... производства необходимо остановиться на понятиях технического и технологического прогресса. Мы будем предполагать технологию неизменной, и пока технология неизменна, мы находимся в рамках микроэкономики K/L – капиталовооруженность. В рамках заданной технологии она может быть повышена (А ––> В). Мы как бы заменяем капиталом труд (механизация). Такие перемещения по изокванте ...
0 комментариев