Теорема единственности для поверхностей второго порядка

4 Теорема единственности для поверхностей второго порядка

 

Теорема 3. Два многочлена второй степени F₁(x, у, z) и F₂(х, y, z) тогда и только тогда имеют одно и то же нулевое многообразие, когда они пропорциональны между собою, т. е. когда один из них получается из другого умножением на некоторое число λ≠0 .

Как н в случае многочленов от двух переменных, только одна половина этой теоремы нуждается в доказательстве: надо доказать, что два многочлена второй степени F₁(x, у, z) и F₂(х, y, z), имеющие одно и то же нулевое многообразие C_F1 = C_F2 =C, пропорциональны между собою.

Рассмотрим поверхности

 

F₁(x, у, z)=0 (14)

и

 

F₂(х, y, z)=0 (15)

Берем какое-нибудь направление {α: β: γ}, неасимптотическое для поверхности (14); оно будет неасимптотическим и для поверхности (15).

Диаметральная плоскость π поверхности (14), сопряженная направлению {α: β: γ}, будет и диаметральной плоскостью поверхности (15), сопряженной тому же направлению.

Возьмем теперь систему координат O'x'y'z', ось z' которой имеет направление {α: β: γ}, а две другие оси лежат в плоскости π. В этой системе координат уравнения (14) и (15) примут соответственно вид

 

F′₁(x′, у′, z′)=a′₃₃ z′ ²+f′₁(x′, y′) = 0 (16)

F′₂(x′, у′, z′)=a′₃₃ z′ ²+f′₂(x′, y′) = 0 (17)

где

 

f′₁(x′, y′)=a′₁₁x′ ²+ 2a′₁₂x′y′ + a′₂₂y′ ²+2a′₁x′ + 2a′₂y′ +a′₀

f′₂(x′, y′)=b′₁₁x′ ²+ 2b′₁₂x′y′ + b′₂₂y′ ²+2b′₁x′ + 2b′₂y′ +b′₀

Здесь a′₃₃ ≠ 0 (и b′₃₃ ≠ 0), в противном случае единичный вектор {0, 0, 1} оси z', удовлетворяя уравнению

 

φ′₁(x′, у′, z′)= a′₁₁x′ ²+ 2a′₁₂x′y′ + a′₂₂y′ ²+ a′₃₃z′ ² = 0 ,

был бы вектором асимптотического направления для поверхности (14) (соответственно для (15)) — вопреки нашим предположениям.

Нам надо доказать пропорциональность многочленов F₁(x, у, z) и F₂(х, y, z) т. е. пропорциональность тождественно равных им многочленов F′₁(x′, у′, z′) и F′₂(x′, у′, z′). Для этого обозначим через С⁰ пересечение множества С с плоскостью z' = 0. Множество С⁰ есть множество всех точек плоскости О'х'у', в которых обращается в нуль один какой-нибудь (и, следовательно, любой) из многочленов f′₁(x′, y′), f′₂(x′, y′). Другими словами, это есть (лежащее в плоскости О'х'у') нулевое многообразие каждого из этих многочленов.

Возможны следующие случаи:

1° Множество С⁰ пусто. Этот случай осуществляется тогда и только тогда, когда какое-нибудь (н тогда каждое) из равенств f′₁(x′, y′)=0, f′₂(x′, y′)=0 противоречиво, т. е. когда одни какой-нибудь (и тогда каждый) из многочленов f′₁(x′, y′), f′₂(x′, y′) тождественно равен отличной от нуля постоянной а'₀, соответственно b₀'„.

2° Множество совпадает со всей плоскостью О'х'у'. Это происходит тогда и только тогда, когда один какой-нибудь (и тогда каждый) из многочленов f′₁(x′, y′), f′₂(x′, y′) тождественно равен нулю.

3° Ни один из случаев 1°, 2° не имеет места. Тогда множество С⁰ есть множество всех точек кривой второго порядка, определяемой в плоскости О'х'у' каждым из уравнений

 

f′₁(x′, y′)=0, f′₂(x′, y′)=0 . (18)

В этом случае в силу теоремы единственности для многочленов второй степени от двух переменных имеем f′₂(x′, y′) = μ f′₁(x′, y′) при некотором μ≠0. Полагая λ=z′₃₃: a′₃₃ (что возможно, так как a′₃₃≠0 ), можем написать

 

F′₁(x′, у′, z′) = a′₃₃z′ ²+ f′₁(x′, y′),

F′₂(x′, у′, z′) =λ a′₃₃z′ ²+μ f′₂(x′, y′),

Для того чтобы доказать в случае 3° пропорциональность многочленов F′₁(x′, у′, z′) и F′₂(x′, у′, z′), надо только показать, что μ = λ.. Так как многочлен f′₁(x′, y′), не равен тождественно постоянной, то существуют значения x′=x′₁, у' = у'₁, для которых f′₁(x′₁, у'₁₎. Найдя такие значения, решаем относительно z' уравнение

 

F′₁(x′₁, у′₁, z′₁) = a′₃₃z′ ²+ 1 = 0

Получаем z′₁ = (1 : a′₃₃ )^0,5. Итак, точка M₁ = (x′₁, у′₁, z′₁) принадлежит множеству С. Следовательно,

 

F′₂(x′₁, у′₁, z′₁) = λa′₃₃(1 : a′₃₃) + μ 1 = 0 , т. е. μ = λ.

Итак, в случае 3° утверждение теоремы 3 доказано. В случае 2° имеем

 

F′₁(x′, у′, z′)= a′₃₃ z′ ² , a′₃₃ ≠0,

F′₂(x′, у′, z′)= b′₃₃ z′ ² , b′₃₃ ≠0

и, следовательно, полагая λ=(b′₃₃ : a′₃₃) , имеем F′₂(x′, у′, z′)=λ F′₁(x′, у′, z′) — утверждение теоремы 2 верно и в этом случае.

Наконец, в случае 1° уравнения (16′), (17') принимают вид

 

F′₁(x′, у′, z′)= a′₃₃ z′ ²+a′₀ , a′₀ ≠0

F′₂(x′, у′, z′)= b′₃₃ z′ ²+b′₀ , b′₀ ≠0

Для того чтобы эти уравнения были эквивалентны, очевидно, необходимо и достаточно, чтобы было b′₃₃ = λa′₃₃ , b′₀ = λa′₀ при λ= (b′₃₃ : a′₃₃ )

Теорема 3 доказана во всех случаях.

Список литературы

1.  Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии. Наука, 1968

2.  Анастасян Л.С. Геометрия. Просвещение, 1973. ч 1

3.  Анастасян Л.С. Геометрия. Просвещение, 1987. ч 2

4.  Базылев В.Т. Геометрия. М. , 1974. ч 1

5.  Ефимов Н.В. Квадратичные формы и матрицы. Наука, 1967

6.  Парнасский И.В. Многомерные пространства. Квадратичные формы и квадратики. Просвещение, 1978.

7.  Погорелов А.В. Аналитическая геометрия. Наука, 1968