Предел и непрерывность функций нескольких переменных

Кафедра: Высшая математика

Реферат

по дисциплине «Высшая математика»

Тема: «Предел и непрерывность функций нескольких переменных»

Тольятти, 2008

Введение

Понятие функции одной переменной не охватывает все зависимости, существующие в природе. Даже в самых простых задачах встречаются величины, значения которых определяются совокупностью значений нескольких величин.

Для изучения подобных зависимостей вводится понятие функции нескольких переменных.

Понятие функции нескольких переменных

 

Определение. Величина u называется функцией нескольких независимых переменных (x, y, z, …,t), если каждой совокупности значений этих переменных ставится в соответствие определенное значение величины u.

Если переменная является функцией от двух переменных х и у, то функциональную зависимость обозначают

 

z = f (x, y).

Символ f определяет здесь совокупность действий или правило для вычисления значения z по данной паре значений х и у.

Так, для функции z = x² + 3xy

при х = 1 и у = 1 имеем z = 4,

при х = 2 и у = 3 имеем z = 22,

при х = 4 и у = 0 имеем z = 16 и т.д.

Аналогично называется величина u функцией от трех переменных x, y, z, если дано правило, как по данной тройке значений x, y и z вычислить соответствующее значение u:

 

u = F (x, y, z).

Здесь символ F определяет совокупность действий или правило для вычисления значения u, соответствующего данным значениям x, y и z.

Так, для функции u = xy + 2xz – 3yz

при х = 1, у = 1 и z = 1 имеем u = 0,

при х = 1, у = -2 и z = 3 имеем u = 22,

при х = 2, у = -1 и z = -2 имеем u = -16 и т.д.

Таким образом, если в силу некоторого закона каждой совокупности п чисел (x, y, z, …,t) из некоторого множества Е ставится в соответствие определенное значение переменной u, то и u называется функцией от п переменных x, y, z, …,t, определенной на множестве Е, и обозначается

 

u = f (x, y, z, …,t).

Переменные x, y, z, …,t называются аргументами функции, множество Е – областью определения функции.

Частным значением функции называется значение функции в некоторой точке М₀ (x₀, y₀, z₀, …,t₀) и обозначается f (М₀) = f (x₀, y₀, z₀, …,t₀).

Областью определения функции называется множество всех значений аргументов, которым соответствуют какие-либо действительные значения функции.

Функция двух переменных z = f (x, y) в пространстве представляется некоторой поверхностью. То есть, когда точка с координатами х, у пробегает всю область определения функции, расположенную в плоскости хОу, соответствующая пространственная точка, вообще говоря, описывает поверхность.

Функцию трех переменных u = F (x, y, z) рассматривают как функцию точки некоторого множества точек трехмерного пространства. Аналогично, функцию п переменных u = f (x, y, z, …,t) рассматривают как функцию точки некоторого п-мерного пространства.

Предел функции нескольких переменных

Для того чтобы дать понятие предела функции нескольких переменных, ограничимся случаем двух переменных х и у. По определению функция f (x, y) имеет предел в точке (х₀, у₀), равный числу А, обозначаемый так:

 (1)

(пишут еще f (x, y)→А при (x, y)→ (х₀, у₀)), если она определена в некоторой окрестности точки (х₀, у₀), за исключением, быть может, самой этой точки и если существует предел

 (2)

какова бы ни была стремящаяся к (х₀, у₀) последовательность точек (x_k, y_k).

Так же, как в случае функции одной переменной, можно ввести другое эквивалентное определение предела функции двух переменных: функция f имеет в точке (х₀, у₀) предел, равный А, если она определена в некоторой окрестности точки (х₀, у₀) за исключением, быть может, самой этой точки, и для любого ε > 0 найдется такое δ > 0, что

| f (x, y) – A | < ε (3)

для всех (x, y), удовлетворяющих неравенствам

0 <  < δ. (4)

Это определение, в свою очередь, эквивалентно следующему: для любого ε > 0 найдется δ-окрестность точки (х₀, у₀) такая, что для всех (x, y) из этой окрестности, отличных от (х₀, у₀), выполняется неравенство (3).

Так как координаты произвольной точки (x, y) окрестности точки (х₀, у₀) можно записать в виде х = х₀ + Δх, у = у₀ + Δу, то равенство (1) эквивалентно следующему равенству:

Рассмотрим некоторую функции, заданную в окрестности точки (х₀, у₀), кроме, быть может, самой этой точки.

Пусть ω = (ω_х, ω_у) – произвольный вектор длины единица (|ω|² = ω_х² + ω_у² = 1) и t > 0 – скаляр. Точки вида

(х₀ + tω_х, y₀ + tω_у) (0 < t)

образуют луч, выходящий из (х₀, у₀) в направлении вектора ω. Для каждого ω можно рассматривать функцию

 

f (х₀ + tω_х, y₀ + tω_у) (0 < t < δ)

от скалярной переменной t, где δ – достаточно малое число.

Предел этой функции (одной переменной t)

 f (х₀ + tω_х, y₀ + tω_у),

если он существует, естественно называть пределом f в точке (х₀, у₀) по направлению ω.

Пример 1. Функции

определены на плоскости (x, y) за исключением точки х₀ = 0, у₀ = 0. Имеем (учесть, что  и ):

Отсюда

(для ε > 0 полагаем δ = ε/2 и тогда | f (x, y)| < ε, если  < δ).

Далее, считая, что k – постоянная, имеем для y = kx равенство

из которого видно, что предел φ в точке (0, 0) по разным направлениям вообще различен (единичный вектор луча y = kx, х > 0, имеет вид

).

Пример 2. Рассмотрим в R₂ функцию

 (х⁴ + у² ≠ 0).

Данная функция в точке (0, 0) на любой прямой y = kx, проходящей через начало координат, имеет предел, равный нулю:

 при х → 0.

Однако эта функция не имеет предела в точки (0, 0), ибо при у = х²

 и

Будем писать , если функция f определена в некоторой окрестности точки (х₀, у₀), за исключением, быть может, самой точки (х₀, у₀) и для всякого N > 0 найдется δ > 0 такое, что

| f (x, y)| > N,

коль скоро 0 <  < δ.

Можно также говорить о пределе f, когда х, у → ∞:

 (5)

Например, в случае конечного числа А равенство (5) надо понимать в том смысле, что для всякого ε > 0 найдется такое N > 0, что для всех х, у, для которых |x| > N, |y| > N, функция f определена и имеет место неравенство

| f (x, y) – А| < ε.

Справедливы равенства

 (6)

 (7)

  (8)

где может быть х → ∞, у → ∞. При этом, как обычно, пределы (конечные) в их левых частях существуют, если существуют пределы f и φ.

Докажем для примера (7).

Пусть (x_k, y_k) → (х₀, у₀) ((x_k, y_k) ≠ (х₀, у₀)); тогда

(9)

Таким образом, предел в левой части (9) существует и равен правой части (9), а так как последовательность (x_k, y_k) стремится к (х₀, у₀) по любому закону, то этот предел равен пределу функции f (x, y)∙ φ (x, y) в точке (х₀, у₀).

Теорема. если функция f (x, y) имеет предел, не равный нулю в точке (х₀, у₀), т.е.

то существует δ > 0 такое, что для всех х, у, удовлетворяющих неравенствам

0 <  < δ, (10)

она удовлетворяет неравенству

 (12)

Поэтому для таких (x, y)

т.е. имеет место неравенство (11). Из неравенства (12) для указанных (x, y) следует откуда  при A > 0 и  при

A < 0 (сохранение знака).

По определению функция f(x) = f (x₁, …, x_n) = A имеет предел в точке

x⁰ = , равный числу А, обозначаемый так:

(пишут еще f(x) → A (x → x⁰)), если она определена на некоторой окрестности точки x⁰, за исключением, быть может, ее самой, и если существует предел

какова бы ни была стремящаяся к x⁰ последовательность точек х^k из указанной окрестности (k = 1, 2, ...), отличных от x⁰.

Другое эквивалентное определение заключается в следующем: функция f имеет в точке x⁰ предел, равный А, если она определена в некоторой окрестности точки x⁰, за исключением, быть может, ее самой, и для любого ε > 0 найдется такое δ > 0, что

 (13)

для всех х, удовлетворяющих неравенствам

0 < |x – x⁰| < δ.

Это определение в свою очередь эквивалентно следующему: для любого ε > 0 найдется окрестность U (x⁰) точки x⁰ такая, что для всех хU(x⁰), х ≠ x⁰, выполняется неравенство (13).

Очевидно, что если число А есть предел f(x) в x⁰, то А есть предел функции f(x⁰ + h) от h в нулевой точке:

и наоборот.

Рассмотрим некоторую функцию f, заданную во всех точках окрестности точки x⁰, кроме, быть может, точки x⁰; пусть ω = (ω₁, ..., ω_п) – произвольный вектор длины единица (|ω| = 1) и t > 0 – скаляр. Точки вида x⁰ + tω (0 < t) образуют выходящий из x⁰ луч в направлении вектора ω. Для каждого ω можно рассматривать функцию

 (0 < t < δ_ω)

от скалярной переменной t, где δ_ω есть число, зависящее от ω. Предел этой функции (от одной переменной t)

если он существует, естественно называть пределом f в точке x⁰ по направлению вектора ω.

Будем писать , если функция f определена в некоторой окрестности x⁰, за исключением, быть может, x⁰, и для всякого N > 0 найдется δ > 0 такое, что |f(x)| > N, коль скоро 0 < |x – x⁰| < δ.

Можно говорить о пределе f, когда х → ∞:

 (14)

Например, в случае конечного числа А равенство (14) надо понимать в том смысле, что для всякого ε > 0 можно указать такое N > 0, что для точек х, для которых |x| > N, функция f определена и имеет место неравенство .

Итак, предел функции f(x) = f(x₁, ..., х_п) от п переменных определяется по аналогии так же, как для функции от двух переменных.

Таким образом, перейдем к определению предела функции нескольких переменных.

Число А называется пределом функции f(M) при М → М₀, если для любого числа ε > 0 всегда найдется такое число δ > 0, что для любых точек М, отличных от М₀ и удовлетворяющих условию | ММ₀ | < δ, будет иметь место неравенство | f(M) – А | < ε.

Предел обозначают  В случае функции двух переменных

Теоремы о пределах. Если функции f₁(M) и f₂(M) при М → М₀ стремятся каждая к конечному пределу, то:

а)

б)

в)  

Пример 1. Найти предел функции:

Решение. Преобразуем предел следующим образом:

Пусть y = kx, тогда

Пример 2. Найти предел функции:

Решение. Воспользуемся первым замечательным пределом  Тогда

Пример 3. Найти предел функции:

Решение. Воспользуемся вторым замечательным пределом  Тогда

Непрерывность функции нескольких переменных

По определению функция f (x, y) непрерывна в точке (х₀, у₀), если она определена в некоторой ее окрестности, в том числе в самой точке (х₀, у₀) и если предел f (x, y) в этой точке равен ее значению в ней:

 (1)

Условие непрерывности f в точке (х₀, у₀) можно записать в эквивалентной форме:

 (1')

т.е. функция f непрерывна в точке (х₀, у₀), если непрерывна функция f (х₀ + Δх, у₀ + Δу) от переменных Δх, Δу при Δх = Δу = 0.

Можно ввести приращение Δи функции и = f (x, y) в точке (x, y), соответствующее приращениям Δх, Δу аргументов

Δи = f (х + Δх, у + Δу) – f (x, y)

и на этом языке определить непрерывность f в (x, y): функция f непрерывна в точке (x, y), если

 (1'')

Теорема. Сумма, разность, произведение и частное непрерывных в точке (х₀, у₀) функций f и φ есть непрерывная функция в этой точке, если, конечно, в случае частного φ (х₀, у₀) ≠ 0.

Постоянную с можно рассматривать как функцию f (x, y) = с от переменных x, y. Она непрерывна по этим переменным, потому что

| f (x, y) – f (х₀, у₀) | = |с – с | = 0 0.

Следующими по сложности являются функции f (x, y) = х и f (x, y) = у. Их тоже можно рассматривать как функции от (x, y), и при этом они непрерывны. Например, функция f (x, y) = х приводит в соответствие каждой точке (x, y) число, равное х. Непрерывность этой функции в произвольной точке (x, y) может быть доказана так:

| f (х + Δх, у + Δу) – f (x, y) | = | f (х + Δх) – х | = | Δх | ≤  0.

Если производить над функциями x, y и постоянными действия сложения, вычитания и умножения в конечном числе, то будем получать функции, называемые многочленами от x, y. На основании сформулированных выше свойств многочлены от переменных x, y – непрерывные функции от этих переменных для всех точек (x, y)  R₂.

Отношение P/Q двух многочленов от (x, y) есть рациональная функция от (x, y), очевидно, непрерывная всюду на R₂, за исключением точек (x, y), где Q (x, y) = 0.

Функция

 

Р (x, y) = х³ – у² + х²у – 4

может быть примером многочлена от (x, y) третьей степени, а функция

Р (x, y) = х⁴ – 2х²у² + у⁴

есть пример многочлена от (x, y) четвертой степени.

Приведем пример теоремы, утверждающей непрерывность функции от непрерывных функций.

Теорема. Пусть функция f (x, y, z) непрерывна в точке (x₀, y₀, z₀) пространства R₃ (точек (x, y, z)), а функции

 

x = φ (u, v), y = ψ (u, v), z = χ (u, v)

непрерывны в точке (u₀, v₀) пространства R₂ (точек (u, v)). Пусть, кроме того,

 

x₀ = φ (u₀, v₀), y₀ = ψ (u₀, v₀), z₀ = χ (u₀, v₀).

Тогда функция F (u, v) = f [ φ (u, v), ψ (u, v), χ (u, v) ] непрерывна (по

(u, v)) в точке (u₀, v₀).

Доказательство. Так как знак предела можно внести под знак характеристики непрерывной функции, то

 

Теорема. Функция f (x, y), непрерывная в точке (х₀, у₀) и не равная нулю в этой точке, сохраняет знак числа f (х₀, у₀) в некоторой окрестности точки (х₀, у₀).

По определению функция f (x) = f (x₁, ..., х_п) непрерывна в точке х⁰ = (х⁰₁, ..., х⁰_п), если она определена в некоторой ее окрестности, в том числе и в самой точке х⁰, и если предел ее в точке х⁰ равен ее значению в ней:

 (2)

Условие непрерывности f в точке х⁰ можно записать в эквивалентной форме:

 (2')

т.е. функция f (x) непрерывна в точке х⁰, если непрерывна функция f (х⁰ + h) от h в точке h = 0.

Можно ввести приращение f в точке х⁰, соответствующее приращению h = (h₁, ..., h_п),

Δ_h f (х⁰) = f (х⁰ + h) – f (х⁰)

и на его языке определить непрерывность f в х⁰: функция f непрерывна в х⁰, если

 (2'')

 

Теорема. Сумма, разность, произведение и частное непрерывных в точке х⁰ функций f (x) и φ (x) есть непрерывная функция в этой точке, если, конечно, в случае частного φ (х⁰) ≠ 0.

Замечание. Приращение Δ_h f (х⁰) называют также полным приращением функции f в точке х⁰.

В пространстве R_n точек х = (x₁, ..., х_п) зададим множество точек G.

По определению х⁰ = (х⁰₁, ..., х⁰_п) есть внутренняя точка множества G, если существует открытый шар с центром в нем, полностью принадлежащий к G.

Множество G  R_n называется открытым, если все его точки внутренние.

Говорят, что функции

 

х₁ = φ₁ (t), ..., х_п = φ_п (t) (a ≤ t ≤ b)

непрерывные на отрезке [a, b], определяют непрерывную кривую в R_n, соединяющую точки х¹ = (х¹₁, ..., х¹_п) и х² = (х²₁, ..., х²_п), где х¹₁ = φ₁ (а), ..., х¹_п = φ_п (а), х²₁ = φ₁ (b), ..., х²_п = φ_п (b). Букву t называют параметром кривой.

Множество G называется связным, если любые его две точки х¹, х² можно соединить непрерывной кривой, принадлежащей G.

Связное открытое множество называется областью.

Теорема. Пусть функция f (x) определена и непрерывна на R_n (во всех точках R_n). Тогда множество G точек х, где она удовлетворяет неравенству

f (x) > с (или f (x) < с), какова бы ни была постоянная с, есть открытое множество.

В самом деле, функция F(x) = f(x) – с непрерывна на R_n, и множество всех точек х, где F(x) > 0, совпадает с G. Пусть х⁰ G, тогда существует шар

| х – х⁰ | < δ,

на котором F(x) > 0, т.е. он принадлежит к G и точка х⁰ G – внутренняя для G.

Случай с f (x) < с доказывается аналогично.

Таким образом, функция нескольких переменных f (М) называется непрерывной в точке М₀, если она удовлетворяет следующим трем условиям:

а) функция f (М) определена в точке М₀ и вблизи этой точки;

б) существует предел ;

в)

Если в точке М₀ нарушено хотя бы одно из этих условий, то функция в этой точке терпит разрыв. Точки разрыв могут образовывать линии разрыва, поверхность разрыва и т. д. Функция f (М) называется непрерывной в области G, если она непрерывна в каждой точке этой области.

Пример 1. Найти точки разрыва функции: z = ln (x² + y²).

Решение. Функция z = ln (x² + y²) терпит разрыв в точке х = 0, у = 0. Следовательно, точка О (0, 0) является точкой разрыва.

Пример 2. Найти точки разрыва функции:

Решение. Функция не определена в точках, в которых знаменатель обращается в нуль, т.е. x² + y² – z² = 0. Следовательно, поверхность конуса

x² + y² = z² является поверхностью разрыва.

Заключение

Начальные сведения о пределах и непрерывности встречаются в школьном курсе математики.

В курсе математического анализа понятие предела является одним из основных. С помощью предела вводятся производная и определенный интеграл; пределы же являются основным средством в построении теории рядов. Понятие предела, впервые появившееся в 17 веке в работах Ньютона, используется и получает дальнейшее развитие в теории рядов. В этом разделе анализа исследуются вопросы, связанные с суммой бесконечной последовательности величин (как постоянных, так и функций).

Непрерывность функции дает представление о ее графике. Это означает, что график есть сплошная линия, а не состоит из отдельных разрозненных участков. Это свойство функции находит широкое применение в сфере экономики.

Поэтому понятия предела и непрерывности играют важную роль в исследовании функций нескольких переменных.

Список использованной литературы

 

1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: Учебник для вузов. Том 2: Дифференциальное и интегральное исчисление. Москва: Дрофа, 2004 год, 512 с.

2. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридма М.Н. Высшая математика для экономистов. Москва: Юнити, 2000 год, 271 с.

3. Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах. Учебное пособие для вузов. Санкт-Петербург: Политехника, 2003 год, 703 с.

4. http://elib.ispu.ru/library/math/sem2/index.html

5. http://www.academiaxxi.ru/WWW_Books/HM/Fn/toc.htm