Войти на сайт

или
Регистрация

Навигация


Высшая математика

Функции нескольких переменных


Содержание

1. Понятие функции двух и более переменных

2. Предел и непрерывность функции двух переменных

3. Частные производные первого порядка. Полный дифференциал

4. Частные производные высших порядков

5. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия существования экстремума

6. Условный экстремум

Литература


1. Понятие функции двух и более переменных

Многие явления, происходящие в природе, экономике, общественной жизни нельзя описать с помощью функции одной переменной. Например, рентабельность предприятия зависит от прибыли, основных и оборотных фондов. Для изучения такого рода зависимостей и вводится понятие функции нескольких переменных.

В данной лекции рассматриваются функции двух переменных, так как все основные понятия и теоремы, сформулированные для функций двух переменных, легко обобщаются на случай большего числа переменных.

Пусть  – множество упорядоченных пар действительных чисел .

Определение 1. Если каждой упорядоченной паре чисел  по некоторому закону  поставлено в соответствие единственное действительное число , то говорят, что задана функция двух переменных  или . Числа  называются при этом независимыми переменными или аргументами функции, а число  – зависимой переменной.

Например, формула , выражающая объем цилиндра, является функцией двух переменных:  – радиуса основания и  – высоты.

Пару чисел  иногда называют точкой , а функцию двух переменных – функцией точки .

Значение функции  в точке  обозначают  или  и называют частным значением функции двух переменных.

Совокупность всех точек , в которых определена функция , называется областью определения этой функции. Для функции двух переменных область определения представляет собой всю координатную плоскость или ее часть, ограниченную одной или несколькими линиями.

Например, область определения функции  – вся плоскость, а функции  – единичный круг с центром в начале координат ( или .

2. Предел и непрерывность функции двух переменных

Понятия предела и непрерывности функции двух переменных аналогичны случаю одной переменной.

Пусть – произвольная точка плоскости. – окрестностью точки  называется множество всех точек , координаты которых удовлетворяют неравенству . Другими словами, – окрестность точки  – это все внутренние точки круга с центром в точке  и радиусом .

Определение 2. Число называется пределом функции  при  (или в точке ), если для любого сколь угодно малого положительного числа  существует  (зависящее от ) такое, что для всех  и удовлетворяющих неравенству  выполняется неравенство .

Обозначается предел следующим образом:

 или .

Пример 1. Найти предел .

Решение. Введем обозначение , откуда . При  имеем, что . Тогда

.

Определение 3. Функция называется непрерывной в точке , если: 1)  определена в точке  и ее окрестности; 2) имеет конечный предел ; 3) этот предел равен значению функции в точке , т.е. .

Функция  называется непрерывной в некоторой области, если она непрерывна в каждой точке этой области.

Точки, в которых условие непрерывности не выполняется, называются точками разрыва этой функции. В некоторых функциях точки разрыва образуют целые линии разрыва. Например, функция  имеет две линии разрыва: ось  () и ось  ().

Пример 2. Найти точки разрыва функции .

Решение. Данная функция не определена в тех точках, в которых знаменатель обращается в нуль, т. е. в точках, где  или . Это окружность с центром в начале координат и радиусом . Значит, линией разрыва исходной функции будет окружность .



Информация о работе «Функции нескольких переменных»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 11164
Количество таблиц: 0
Количество изображений: 0

Похожие работы

Скачать
28378
4
4

... и градиент функции вычисляется в меньшем числе точек. Описание программы   Программа предназначена для нахождения точек минимума функций нескольких переменных – другими словами для минимизации этих функций. В программе реализован один из методов спуска – Градиентный метод спуска с выбором шага. Начальный шаг задается. Изменение шага осуществляется по схеме  если ;  если Вычисление ...

Скачать
17589
0
0

... предел функции: Решение. Воспользуемся первым замечательным пределом  Тогда Пример 3. Найти предел функции: Решение. Воспользуемся вторым замечательным пределом  Тогда Непрерывность функции нескольких переменных По определению функция f (x, y) непрерывна в точке (х0, у0), если она определена в некоторой ее окрестности, в том числе в самой точке (х0, у0) и если предел f (x, y) в этой ...

Скачать
14269
0
4

... (x, y) выполняется неравенство: . При этом, т. е. приращение функции > 0. Определение 3: Точки локальных минимума и максимума называются точками экстремума. Условные Экстремумы При отыскании экстремумов функции многих переменных часто возникают задачи, связанные с так называемым условным экстремумом. Это понятие можно разъяснить на примере функции двух переменных. Пусть заданы функция ...

Скачать
75089
0
0

... векторы в силу (6.8) оказались бы линейно зависимыми .Разделив обе части на 0 получим равенство вида (6.9). ч.т.д. Пример №5.  Пусть требуется найти экстремум функции u=xyzt при условии x+y+z+t=4c; область изменения переменных определяетссся неравенствовами x>0, y>0, t>0, z>0. Применяя к этой задаче метод Лагранжа, введем вспомогательную ...

0 комментариев


Наверх