Войти на сайт

или
Регистрация

Навигация


Контрольная работа по высшей математике

1. Пределы последовательностей и функций

Числовой последовательностью Пределы последовательностей и функций называется числовая функция, определенная на множестве натуральных чисел. Задать числовую последовательность означает задать закон, по которому можно определить значение любого члена последовательности, зная его порядковый номер п; для этого достаточно знать выражение общего или п-го члена последовательности в виде функции его номера: Пределы последовательностей и функций.

В основе всех положений математического анализа лежит понятие предела числовой последовательности. Число А называется пределом числовой последовательности Пределы последовательностей и функций, если для любого сколь угодно малого положительного числа e существует такой номер Пределы последовательностей и функций, зависящий от выбранного e, начиная с которого все члены последовательности отличаются от А по модулю меньше, чем на e, т. е.

Пределы последовательностей и функций при Пределы последовательностей и функций.

Если последовательность Пределы последовательностей и функций имеет предел А, то она называется сходящейся (к числу А) и этот факт записывают следующим образом:

Пределы последовательностей и функций.

Пусть функция Пределы последовательностей и функций определена в некоторой окрестности точки Пределы последовательностей и функций. Выберем в некоторой окрестности этой точки какую-нибудь последовательность Пределы последовательностей и функций сходящуюся к точке Пределы последовательностей и функций: Пределы последовательностей и функций. Значения функции в выбранных точках образуют последовательность Пределы последовательностей и функций, и можно ставить вопрос о существовании предела этой последовательности.

Число А называется пределом функции Пределы последовательностей и функций в точке Пределы последовательностей и функций, если для любой сходящейся к Пределы последовательностей и функций последовательности значений аргумента, отличных от Пределы последовательностей и функций, соответствующая последовательность значений функции сходится к числу А, т. е.

Пределы последовательностей и функций.

Возможно иное определение предела функции в точке: число А называется пределом функции при Пределы последовательностей и функций, если для всякого положительного числа e можно указать другое положительное число d (зависящее от выбора e) такое, что абсолютная величина разности Пределы последовательностей и функций будет меньше e, когда абсолютная величина разности Пределы последовательностей и функций будет меньше Пределы последовательностей и функций, но больше нуля

Пределы последовательностей и функций, если Пределы последовательностей и функций при Пределы последовательностей и функций.

Таким образом, первое определение предела функции основано на понятии предела числовой последовательности, и его называют определением на «языке последовательностей». Второе определение носит название «на языке Пределы последовательностей и функций».

Кроме понятия предела функции в точке, существует также понятие предела функции при стремлении аргумента к бесконечности: число А называется пределом функции Пределы последовательностей и функций при Пределы последовательностей и функций, если для любого числа Пределы последовательностей и функций существует такое число d, что при всех Пределы последовательностей и функций справедливо неравенство Пределы последовательностей и функций: Пределы последовательностей и функций.

Теоремы о пределах функций являются базой для общих правил нахождения пределов функций. Можно показать, что арифметические операции над функциями, имеющими предел в точке Пределы последовательностей и функций, приводят к функциям, также имеющим предел в этой точке.

Примеры

Найти предел функции Пределы последовательностей и функций

Решение: Имеем неопределенность вида Пределы последовательностей и функций. Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель на множители и сократим на общий множитель Пределы последовательностей и функций, который при Пределы последовательностей и функций не равен нулю. В результате неопределенность будет раскрыта.

Пределы последовательностей и функций


Информация о работе «Пределы последовательностей и функций»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 18636
Количество таблиц: 4
Количество изображений: 6

Похожие работы

Скачать
14921
0
1

... знаменателя и отношению коэффициентов при старших членах, если степени числителя и знаменателя равны. Для упрощения задачи нахождения предела последовательности, вышеуказанного вида, мы прибегаем к помощи теоремы Штольца. Теорема Штольца Для определения пределов неопределённых выражений  типа часто бывает полезна следующая теорема, принадлежащая Штольцу (O. Stolz). Теорема: Пусть варианта ,  ...

Скачать
16319
0
4

... такому произведению будет соответствовать свертка. Другими словами, выходной процесс системы, на которую действуют управляющее  и возмущающее  воздействия со своими передаточными функциями  и , в действительной области можно представить в виде , . 5 Графические представления частотных характеристик Как уже отмечалось, частотные представления являются основой классических методов теории ...

Скачать
17589
0
0

... предел функции: Решение. Воспользуемся первым замечательным пределом  Тогда Пример 3. Найти предел функции: Решение. Воспользуемся вторым замечательным пределом  Тогда Непрерывность функции нескольких переменных По определению функция f (x, y) непрерывна в точке (х0, у0), если она определена в некоторой ее окрестности, в том числе в самой точке (х0, у0) и если предел f (x, y) в этой ...

Скачать
9976
1
0

... производной: diff (f (х) , х$3). Пример 1. Вычисление производных. > s:=x^3*cos(x)+y^2*ln(sin(x)); > diff(s,x); > diff(s,x$2); > diff(s,x,y); > fs:=Diff(s,x); > q:=sqrt(fs); > value(%); Последние три команды показывают использование отложенной формы команды дифференцирования. 2. Интегрирование выражений Команда int( ) имеет отложенную форму ...

0 комментариев


Наверх