ПОДГРУППА ФИТТИНГА И ЕЁ СВОЙСТВА

1 ПОДГРУППА ФИТТИНГА И ЕЁ СВОЙСТВА

Произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы  называют подгруппой Фиттинга группы  и обозначают через . Множество простых делителей порядка группы  обозначается через  а наибольшую нормальную -подгруппу группы  - через .

Лемма 1.1. (1)  - наибольшая нормальная нильпотентная подгруппа группы ;

(2) ;

(3) .

Proof. (1) Пусть  и  - нильпотентные нормальные подгруппы группы  и пусть  и  - силовские -подгруппы из  и . Так как , а , то  по лемме 4.1, с. 35. Аналогично, , поэтому . Ясно,  - -группа. Покажем, что она силовская в . Для этого вычислим ее индекс:

Так как числитель не делится на , то  - силовская -подгруппа группы . Итак, произведение двух нормальных нильпотентных подгрупп есть нормальная нильпотентная подгруппа. Поэтому  - наибольшая нормальная нильпотентная подгруппа группы .

(2) Ясно, что  для всех , поэтому

Обратно, если  - силовская -подгруппа группы , то  и  нормальна в , поэтому  и

(3) Если , то  и  нильпотентна, поэтому  по (1) и .

Лемма 1.2. (1) ; если  разрешима и , то ;

(2)

(3) если , то ; если, кроме того,  абелева, то

Proof. (1) Поскольку подгруппа Фраттини  - нильпотентная нормальная подгруппа группы , то . Пусть  - разрешимая неединичная группа. Тогда  разрешима и неединична. Пусть

Так как  - -группа для некоторого простого , то по следствию 4.2, с. 35, подгруппа  нильпотентна и . Следовательно, .

(2) Если , то  - нильпотентная нормальная в  подгруппа по теореме 4.3, с. 35, поэтому  и

Обратное включение следует из определения подгруппы Фиттинга.

(3) Для минимальной нормальной подгруппы  либо , либо . Если , то

Если , то  - элементарная абелева -группа для некоторого простого . Так как , то . С другой стороны,  по теореме 4.4, с. 35, поэтому .

Теорема 1.3.  для любого . В частности, если  разрешима, то

Proof. Пусть , . Так как  по лемме 4.5, с. 35, то . Предположим, что  для некоторого  и пусть

Ясно, что  и  Пусть  - силовская -подгруппа группы . Так как

-группа, то , а поскольку , то  и . Теперь,  - нильпотентная нормальная подгруппа группы  и . Таким образом,  и первое утверждение доказано. Если  разрешима, то  разрешима, поэтому  и .

Говорят, что подгруппа  группы  дополняема в , если существует такая подгруппа , что  и . В этом случае подгруппу  называют дополнением к подгруппе  в группе

Теорема 1.4. Если  - нильпотентная нормальная подгруппа группы  и , то  дополняема в .

Proof. По условию  а по теореме 4.6, с. 35, коммутант . По теореме 4.7, с. 35, подгруппа Фраттини  а по условию  Поэтому  и  абелева. Пусть  - добавление к  в . По лемме 4.8, с. 35,  Поскольку  и  то  и по теореме 4.7, с. 35,

Следовательно,  и  - дополнение к  в .

Теорема 1.5. Факторгруппа  есть прямое произведение абелевых минимальных нормальных подгрупп группы .

Proof. Предположим вначале, что  и обозначим через  подгруппу Фиттинга  По теореме 4.6 коммутант  Но  значит  по теореме 4.7, с. 35. Поэтому  и  абелева. Пусть  - прямое произведение абелевых минимальных нормальных подгрупп группы  наибольшего порядка. Тогда  и по теореме 1.4 существует подгруппа  такая, что  По тождеству Дедекинда  Но  абелева, поэтому  а так как , то  По выбору  пересечение  и

Пусть теперь  и  По лемме 1.2(2)  Так как  то для  утверждение уже доказано.

Следствие 1.6. В разрешимой группе с единичной подгруппой Фраттини подгруппа Фиттинга есть прямое произведение минимальных нормальных подгрупп.

Теорема 1.7. Подгруппа Фиттинга совпадает с пересечением централизаторов главных факторов группы.

Proof. Пусть

По следствию 4.9, с. 35, подгруппа  нормальна в . Если

главный ряд группы , то

нормальный ряд группы . Так как подгруппа  содержится в каждой подгруппе , то

для . По теореме 4.10, с. 35, подгруппа  нильпотентна, поэтому .

Проверим обратное включение. Пусть  - главный фактор группы . Так как

то по лемме 4.11, с. 35, либо

 либо

В первом случае , поэтому

Во втором случае из нильпотентности подгруппы  по лемме 1.2 получаем, что

Снова . Таким образом,  и .

Лемма 1.8. .

Proof. Пусть . Ясно, что  и . Так как

то  и  изоморфна нормальной нильпотентной подгруппе группы . Поэтому

и .

Пусть  - группа и пусть

Ясно, что

В разрешимой неединичной группе подгруппа Фиттинга отлична от единичной подгруппы по лемме 1.2. Поэтому для разрешимой группы существует натуральное  такое, что .

Нильпотентной длиной разрешимой группы  называют наименьшее , для которого . Нильпотентную длину разрешимой группы  обозначают через . Таким образом, если группа  разрешима и , то

где

Поэтому построенный ряд нормальный и его факторы  нильпотентны.

Ясно, что  тогда и только тогда, когда группа  нильпотентна.

Пример 1.9. .

Непосредсвенно из определения нильпотентной длины вытекает

Лемма 1.10. Пусть  - разрешимая группа. Тогда:

(1) ;

(2) .

Лемма 1.11. (1) Если  - разрешимая группа, то длина любого нормального ряда группы  с нильпотентными факторами не меньше, чем .

(2) Нильпотентная длина разрешимой группы совпадает с длиной самого короткого нормального ряда с нильпотентными факторами.

Proof. (1) Применим индукцию по порядку группы . Пусть

нормальный ряд группы  с нильпотентными факторами. Так как  - нормальная нильпотентная подгруппа группы , то  и . Здесь . Факторгруппа  имеет порядок меньше, чем порядок группы  и обладает рядом

где . Ясно, что это нормальный ряд, его длина  и его факторы

нильпотентны. По индукции  и .

(2) следует из (1).

Лемма 1.12. Пусть  - разрешимая группа. Тогда:

(1) если , то ;

(2) если , то ;

(3) если  и , то

в частности, если  и  - разрешимые группы,то

(4) .

Proof. Пусть  и . Тогда

(1) Пусть . Тогда ряд

будет нормальным рядом подгруппы  с нильпотентными факторами

По лемме 1.11 .

(2) Пусть  и . Тогда ряд

будет нормальным рядом группы  с нильпотентными факторами

По лемме 1.10 .

(3) Ясно, что . Обозначим . Тогда  по лемме 1.10, а по индукции

Поэтому . Так как  по (1), то имеем

(4) Положим . По лемме 1.2 для неединичной разрешимой группы  имеем  и

Поэтому .

Следующая теорема принадлежит К. Дёрку.

Теорема 1.13. Если  - максимальная подгруппа разрешимой группы , то , где .

Пример. Воспользуемся индукцией по порядку группы . Пусть  - минимальная нормальная подгруппа группы . Если , то  и , где . Поэтому можно предположить, что все минимальные нормальные подгруппы группы  содержатся в . Если группа  содержит две различные минимальные нормальные подгруппы, то  и по индукции

Поскольку

то теорема справедлива. Следовательно, можно считать, что группа  содержит в точности одну минимальную нормальную подгруппу. Если , то  по лемме 1.12 и опять

Поскольку

то опять теорема справедлива.

Итак, можно считать, что  и  по следствию 1.6. По индукции

Если , то утверждение справедливо. Пусть , т.е. . Считаем, что  - -группа. Тогда  - -группа. Пусть . Если , то  и , поэтому

и теорема справедлива.

Остается случай, когда . Так как  - -подгруппа, то

причем  - -группа. Противоречие.

Пример 1.14.

Все три значения  в теореме 1.13 имеют место. Значение  выполняется на любой нильпотентной неединичной группе. Значение  выполняется на группе  с максимальной подгруппой . Значение  выполняется на группе , у которой силовская -подгруппа максимальна.

Если факторгруппа  нильпотентна, то группу  называют метанильпотентной.

Теорема 1.15. (1) В разрешимой неединичной группе подгруппа Фраттини совпадает с пересечением максимальных подгрупп, не содержащих подгруппу Фиттинга.

(2) В разрешимой ненильпотентной группе пересечение максимальных подгрупп, содержащих подгруппу Фиттинга, метанильпотентно.

Proof. Обозначим через  пересечение всех максимальных подгрупп группы , не содержащих , а через  пересечение максимальных подгрупп группы , содержащих . Ясно, что подгруппы  и  характеристические в группе  и

(1) В факторгруппе  подгруппа Фиттинга

по лемме 1.2, поэтому

Предположим, что  и пусть  - минимальная нормальная подгруппа группы , содержащаяся в . Так как подгруппа  нормальна в группе  и факторгруппа  нильпотентна, то по теореме 4.3, с. 35, подгруппа  нильпотентна и . Но теперь

противоречие. Поэтому допущение неверно и , т.е. .

(2) Пусть  - разрешимая ненильпотентная группа. Ясно, что   и

Поэтому подгруппа  метанильпотентна.

Пример 1.16. В неразрешимой группе  центр, подгруппа Фраттини и подгруппа Фиттинга совпадают и имеют порядок . Поэтому в группе  нет максимальных подгрупп, не содержащих подгруппу Фиттинга.

Следовательно, утверждение (1) теоремы 1.15 в неразрешимых группах нарушается.

2 -ДЛИНА -РАЗРЕШИМОЙ ГРУППЫ

Пусть  - простое число. Назовем группу -группой, если ее порядок не делится на  и, как обычно, -группой, если её порядок равен степени числа . Конечную группу  будем называть -разрешимой, если каждый из её композиционных факторов является либо -группой, либо -группой. Таким образом, группа  разрешима в обычном смысле тогда и только тогда, когда она -разрешима для всех простых . Ясно, что группа  -разрешима тогда и только тогда, когда она обладает нормальным рядом

в котором каждая факторгруппа  является либо -группой, либо -группой. Поэтому для такой группы мы можем индуктивно определить верхний -ряд.

потребовав, чтобы  была наибольшей нормальной -подгруппой в , а  - наибольшей нормальной -подгруппой в .

Наименьшее целое число , для которого , мы назовем -длинной группы  и обозначим его , или, если необходимо, .

-длину -разрешимой группы можно также определить как наименьшее число -факторов, встречающихся в каком либо ряде вида (2.1), поскольку минимум достигается для верхнего -ряда (2.2). Подгруппы  и , очевидно, характеристичны в , и  содержит все нормальные подгруппы группы  с -длинной, не превосходящей числа . Заметим также, что

для

Подгруппы и факторгруппы -разрешимой группы  также -разрешимы, и их длина не превышает . Если группы  и  обе -разрешимы, то таково же их прямое произведение  и

Пусть  - -разрешимая группа и - ее силовская -подгруппа. Разумно предположить, что чем больше -длинна  группы , тем большей должна быть сложность силовской подгруппы . Придадим точный смысл этому утверждению и докажем его несколькими способами, избирая различные критерии сложности . Наиболее естественные из этих критериев, силовские -инварианты группы , таковы:

(i)  где  - порядок ,

(ii)  - класс нильпотентности , т.е. длина (верхнего или) нижнего центрального ряда ,

(iii)  - длина ряда коммутантов ,

(iv)  где  - экспонента , т.е.

наибольший из порядков элементов . Экспонента самой группы , т.е. наименьшее общее кратное порядков ее элементов, равна поэтому . Очевидно, равенство нулю любого из инвариантов  или  равносильно тому, что  является -группой.

В основных теоремах ограничимся случаем нечетных простых чисел , и даже тогда результаты будут несколько различнми, в зависимости от того, является ли  простым числом Ферма вида  или нет.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 2.1. Если - -разрешимая группа, где  - нечетное простое число, то

(i)

(ii)  если  не является простым числом Ферма, и , если  - простое число Ферма. Кроме того, эти оценки нельзя улучшить.

Мы установим также неравенства, связывающие  c  и  с , но здесь наши результаты будут неулучшаемы только для простых чисел, не являющихся простыми числами Ферма. Все эти результаты тривиальны для , и мы докажем их индукцией по . Предположим, что  и что , как всегда обладает верхним -рядом (2.2). Пусть подгруппа Фраттини -группы . Всякий элемент группы  индуцирует внутренний автоморфизм группы  и, следовательно, группы . Но, как извесно,  является элементарной абелевой -группой; поэтому ее можно отождествить с аддитивной группой векторного пространства над простым полем характеристики , а ее автоморфизм - с линейными преобразованиями этого пространства. Автоморфизмы группы , индуцированные элементами , образуют поэтому линейную группу над полем характеристики . Эта группа, очевидно, является гомоморфным образом группы , и мы покажем, что в действительности она изоморфна группе , и поэтому является -разрешимой группой, не содержащей нормальной подгруппы, отличной от единицы.

Теорема 2.2. Пусть  - разрешимая линейная группа над полем характеристики , не содержащая неединичную нормальную -подгруппу. Пусть  - элемент порядка  в . Тогда минимальное уравнение для  имеет вид .

Число  удовлетворяет следующему условию. Пусть  наименьшее целое число (если оно существует), для которого  является степенью простого числа  со свойством . Если  не существует, то ; в противном случае

Этот результат, дополненный более детальными сведениями об элементах , для которых , будет ключом к доказательству теоремы А. Надо заметить, что неравенство  может выполняться только тогда, когда  или когда  - простое число Ферма. Теорема В и подобные ей теоремы доказываются в основном прямым определением наименьшей группы, удовлетворяющей этим условиям, и прямым вычислением. При этом играет важную роль следующая теорема, интересная сама по себе.

Теорема 2.3. Пусть  - некоторая -группа, на которую действует -группа , причем некоторый элемент  группы  действует нетривиально на , но тривиально на каждую истинную -инвариантную подгруппу группы . Тогда существует такое простое число , что  является либо элементарной абелевой -группой, либо -группой класса нильпотентности 2, у которой центр и коммутант совпадают, факторгруппа по коммутанту  - элементарная абелева группа и представление  на  неприводимо.

Следует отметить, что если  - разрешимая группа, то ограничитель  влечет ограниченность длины ряда коммутантов  группы .

Пусть  означает следующее утверждение:

: для каждого положительного целого числа  существует такое целое число , что всякая разрешимая группа экспоненты , порождаемая  элементами, имеет порядок не больше .

Теорема 2.4.  истинно, если  истинно для всех степеней простых чисел , делящих .

В частности, так как известно, что ,  и  истинны, то истинны  и . В этих случаях, как и всегда, когда  делится только на два простых числа, мы можем слово "разрешимая" заменить в формулировке  словом "конечная". Если  - число, свободное от квадратов, мы даже можем вычислить , когда  извесны для всех простых , делящих , и всех . Так, порядок наибольшей конечной -порожденной группы экспоненты 6 дается формулой

 где  и

Пусть требуется доказать индукцией по порядку группы  неравенство

Здесь  и  - числовые инварианты, определеннные для некоторого класса конечных групп, который мы предпологаем замкнутым. Мы предпологаем, что (2.3) выполняется для достаточно малых , следовательно и для , и, кроме того, что:

(I) если  - подгруппа , то ;

(II) ;

(III) если  - факторгруппа , то .

Тогда справедлива

Лемма 2.5. В доказательстве неравенства (2.3) индукцией по порядку группы  можно предположить, что  обладает только одной минимальной нормальной подгруппой.

В самом деле, если  обладает двумя минимальными нормальными подгруппами  и , мы получим, что , так что  изоморфна подгруппе прямого произведения . Т.к.  - инвариант, имеющий одинаковые значения для изоморфных групп, последние (I) и (II) дают

В силу предположения индукции  и в силу условия (III) . Таким образом, , и точно также , так что , что и требовалось.

Заметим, что все силовские -инварианты, упомянутые раньше, кроме , заведамо удовлетворяют условиям (I), (II) и (III). То же верно и для инварианта  разрешимой группы и инварианта  -разрешимой группы;  удовлетворяет условию (III). Таким образом, если  удовлетворяет условиям (I) и (II), то этим же условиям удовлетворяет любая неубывающая функция , а если  удовлетворяют условию (III), то этому же условию удовлетворяет любая функция , не убывающая по любому из  аргументов. Так как все наши неравенства тривиальны для достаточно малых групп , то легко видеть, что утверждение последней леммы можно применять каждый раз, когда это необходимо.

Теорема 2.6. Если  - разрешимая группа, то .

Доказывая теорему индукцией по порядку , можно предположить, что  обладает только одной минимальной нормальной подгруппой. Так как  разрешима, эта подгруппа будет -группой для некоторого простого числа . Тогда в верхнем -ряде (2.2) группы  подгруппа . Отсюда

Но  и -1, в то время как при  инварианты  и  имеют одинаковые значения для  и .

Пусть предложение индукции, применённое к группе , даёт

Отсюда следует теорема.

Нам понадобиться далее важное свойство верхнего -ряда -разрешимой группы, которое удобно вывести в немного более общем контексте. Пусть  - некоторое множество простых чисел, а  - дополнительное к  множество. -группа - это конечная группа, порядок которой делится только на простые числа, входящие в . Конечная группа  -разрешима, если каждый её композиционный фактор является либо -группой, либо -группой. Такая группа  обладает верхним -рядом, для которого мы используем те же обозначения, что и в случае, когда  содержит одно простое число . Таким образом, мы пишем

для ряда нормальных подгрупп, требуя, чтобы факторгруппа  была наибольшей нормальной -подгруппой в , а факторгруппа  - наибольшей нормальной -подгруппой в .

Лемма 2.7. Если -разрешимая группа  не содержит неединичную -подгруппу, так что , то группа  содержит свой централизатор в группе .

Пусть  - централизатор группы . Если лемма не верна и , то мы можем выбрать нормальную подгруппу  группы , такую, что  и минимальную при этом условии. Так как группа  -разрешима, факторгруппа  оказывается или -группой, или -группой, а по определению группы  она не может быть -группой. Следовательно, факторгруппа  есть -группа и порядки групп  и  взаимно просты. По теореме Шура, группа  обладает дополнением  в группе . Так как , трансформирование группы  элементом из  индуцирует ее внутренний автоморфизм, а т.к. порядки  и  взаимно просты, этот автоморфизм может быть только тождественным. Тогда  - прямое произведение  и . Поэтому  является характеристической подгруппой в , а следовательно, нормальной подгруппой в , в потиворечие с предположением, что . Это противоречие доказывает лемму. Заметим, что предположение  на самом деле излишне, так как в общем случае мы можем применить лемму к факторгруппе .

Следствие 2.8. Пусть  - некоторая подгруппа , индекс которой не делится ни на какое простое число из , тогда центр группы  содержится в центре группы .

Действительно, подгруппа  должна содержать нормальную -подгруппу  группы .

Следствие 2.9. Пусть  - некоторая подгруппа группы , содержащая , тогда  не обладает неединичной нормальной -подгруппой.

Действительно, нормальная -подгруппа группы  должна содержаться в центролизаторе группы .

Под -подгруппой конечной группы  мы подразумеваем такую подгруппу, порядок и индекс которой взаимно просты. Если группа  разрешима и ее порядок равен , где , то группа  обладает -подгруппами порядка  и любые две из них сопряжены, а поэтому изоморфны.

Теорема 2.10. Если  - разрешимая группа порядка , где  при , и если подгруппа группы  порядка  имеет класс нильпотентности  то

В частности, для любой конечной разрешимой группы . -подгруппа некоторой факторгруппы , порядок которой делит , имеет класс нильпотентности, не превышающий , так что мы можем применить утверждение леммы 2.5 и получить результат индукцией по порядку группы , допустив что  обладает только одной минимальной нормальной подгруппой. Это будет -группа для некоторого простого числа , и мы можем поэтому предполодить, что ее порядок делит . Тогда, если мы возьмем в качестве  множество простых долителей числа , окажется выполненной предпосылка леммы 2.5. Если  - наибольшая нормальная -подгруппа группы  и  - ее центр, то по следствию леммы 2.5  содержит центр -подгруппы группы , имеющей порядок . Порядок -подгруппы группы  делит , поэтому класс нильпотентности ее не более . Для  -подгруппы групп  и  порядка  изоморфны, так что в силу предположения индукции, примененной к , получим

Так как , то доказательство по индукции проведено.

Прежде чем применять лемму 2.5 к доказательству неравенства для , удобно уточнить её для случая, при котором  состоит из одного простого числа . Пусть  есть -разрешимая группа с верхним -рядом (2.2) . Тогда лемма 2.5, применённая к группе , показывает, что если  - элемент группы , не входящий в , то трансформирование элементом  индуцирует в  нетождественный автоморфизм. Необходимое уточнение состоит в замене группы  группой , где  - подгруппа Фраттини группы . Теперь  - -группа, и таким образом  - элементарная абелева -группа. Ясно поэтому, что автоморфизм группы , индуцированный группы , тождественный. Таким образом, множество элементов группы , которое тождественно трансформирует , является нормальной подгруппой  группы , такой, что . По определению  фактор группа  не может быть -группой, отличной от 1, так что если , то группа  должна содержать элемент , не входящий в  и порядка, взаимно простого . Тогда  индуцирует автоморфизм группы  порядка, взаимно простого с . Но автоморфизм -группы, тождественоой по модулю подгруппе Фраттини, имеет порядок, равный степени числа . Таким образом,  индуцирует в  нетождественный автоморфизм, что противоречит определению группы . Значит, , что и требовалось. Таким образом:

Лемма 2.11. Если  есть -разрешимая группа с верхним -рядом (2.2) и если  - подгруппа Фраттини группы , то автоморфизмы группы , которые индуцированы трансформированиями элементами группы , представляют  точно.

Следствие 2.12. .

По лемме группа  не обладает неединичной нормальной -подгруппой, и последующие члены её верхнего -ряда представляют собой фактор группы по  соответствующих членов верхнего -ряда группы .

Теорема 2.13. Для любой -разрешимой группы

(I)

(II)

Мы можем использовать индукцию по порядку группы  и предположить, что  обладает только одной минимальной нормальной подгруппой . Очевидно, мы можем также предположить, что , откуда последствию из леммы 2.11 , а, следовотельно, , и  - элементарная абелева -группа. Теперь, полагая , мы получим, что , так что по предположению индукции заключаем, что . Если  - группа порядка , то порядок её группы автоморфизмов  равен

так что . Согласно лемме 2.11, группа  изоморфна некоторой подгруппе группы , так что , откуда . Таким образом,

что и требовалось.

С другой стороны согласно следствию 1 леммы 2.7,  содержит центр силовской -подгруппы группы , так что . Так как , то индукция для (II) проводится сразу.

Неравенства, полученные сдесь, отнюдь не являются наилучшими. Для нечетных  их значительно можно усилить. Однако при  теорему 2.13 улучшить нельзя.

Последнюю теорему можно применить для короткого доказательства утверждений  и .