ГРУППА С НИЛЬПОТЕНТНЫМИ ДОБАВЛЕНИЯМИ К ПОДГРУППАМ

3 ГРУППА С НИЛЬПОТЕНТНЫМИ ДОБАВЛЕНИЯМИ К ПОДГРУППАМ

В настоящем главе описаны неразрешимые конечные группы с нильпотентными добавлениями к несверхразрешимым подгруппам. К этому классу групп относятся, в частности, и конечные группы с примарными индексами несверхразрешимых групп. Доказывается

Теорема 3.1. Конечная неразрешимая группа с нильпотентными добавлениями к несверхразрешимым подгруппам изоморфна  или , где  - нильпотентная группа, а  и  - простые числа.

Следствие 3.2. Конечная неразрешимая группа, в которой все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы, изоморфна  или , где  - -группа, либо , где  - -группа.

Отметим, что конечные группы с нильпотентными подгруппами непримарного индекса изучены С. С. Левищенко [13]. Среди них нет неразрешимых групп.

Рассматриваются только конечные группы. Все встречающиеся обозначения и определения стандартны, их можно найти в [2,14].

Нам понадобится следующая

Лемма 3.3. Пусть в конечной группе  каждая несверхразрешимая группа обладает нильпотентным добавлением. Тогда в любой подгруппе и в любой фактор-группе группы  каждая несверхразрешимая подгруппа обладает нильпотентным добавлением.

Proof. Пусть  - произвольная подгруппа конечной группы , и пусть  - несверхразрешимая подгруппа из . В группе  существует нильпотентное добавление  к подгруппе . Поэтому , а . Теперь  - нильпотентна, и к  vможно взять нильпотентное добавление в подгруппе .

Пусть  - нормальная в  подгруппа, и  - несверхразрешимая в  подгруппа. Тогда  несверхразрешима, и существует нильпотентная подгруппа  такая, что . Теперь  нильпотентна и , т. е. к подгруппе  можно найти в  нильпотентное добавление.

Докажем теорему.

Пример. Путь  - конечная неразрешимая группа с нильпотентными добавлениями к несверхразрешимым подгруппам. Так как  не -нильпотентна, то в  существует -замкнутая подгруппа Шмидта , где  - нормальная в  силовская 2-подгруппа, подгруппа  - циклическая [14,c. 434]. Поскольку  не является сверхразрешимой, то существует нильпотентная подгруппа  такая, что . С учётом чётности порядка  из теоремы 2.8 [15] заключаем, что фактор-группа  изоморфна  или , где  - некоторое простое число, а  - наибольшая разрешимая нормальная в  подгруппа. Кроме того,

 а

Здесь  и  - 'элементарная абелева и циклическая подгруппы порядка . Из теоремы 2.10 [15] получаем, что  - простое число.

В случае, когда  и  - простые числа в простой группе , каждая несверхразрешимая подгруппа изоморфна группе . Последняя подгруппа имеет в  циклическое дополнение . Поэтому группа  в случае, когда  и  - простые числа, удовлетворяет условию теоремы.

Проверим, что группа  не удовлетворяют условию теоремы. Пусть

Известно, что  - нормальная в  подгруппа, а  - циклическая группа порядка . Для силовской -подгруппы  из  имеем

Теперь

Поскольку  и  - простые числа, то в  существует подгруппа  порядка . Для  подгруппа  -замкнута, и внешний автоморфизм  не централизует силовскую -подгруппу, поэтому  несверхразрешима. Так как в  нет нильпотентной подгруппы порядка , то  не удовлетворяет условию теоремы при . Если , то в  для подгруппы Шмидта, изоморфной знакопеременной группе  степени , должна найтись нильпотентная подгруппа  порядка, делящегося на . Но такой нильпотентной подгруппы в  нет.

Итак, если , то  изоморфна , где  и  - простые числа.

Пусть теперь . Предположим, что  не является минимальной нормальной в  подгруппой, и пусть  - минимальная нормальная в  подгруппа, содержащаяся в . По индукции, , где  - нильпотентна, а  изоморфна  или . Так как , то  - собственная в  подгруппа, и для её прообраза  в группе  по индукции получаем, что , где  или . Подгруппа  характеристична в , а  нормальна в , поэтому  нормальна в . Так как

 то

Поскольку для несверхразрешимой подгруппы  из  существует нильпотентная подгруппа  такая, что , то

будет нильпотентной подгруппой.

Теперь рассмотрим случай, когда  - минимальная нормальная в  подгруппа. Предположим, что коммутант  - собственная в  подгруппа. Так как

 то

Из минимальности  получаем, что

 Так как

где  и  - простые числа, то в этом случае теорема доказана.

Итак, пусть . Если  - собственная подгруппа в своём централизаторе, то из простоты  следует, что  содержится в центре . Теперь группа  изоморфна  или  по теореме VI.25.7 [14].

Пусть  самоцентрализуема. Поскольку  разрешима, то  - -группа для некоторого простого . Допусти, что существует простое , делящее порядок , и пусть  - силовская -подгруппа из . Если подгруппа  сверхразрешима, то  нильпотентна и  не самоцентрализуема. Если  не сверхразрешима, то по условию теоремы существует нильпотентная подгруппа  такая, что . Но теперь

будет разрешимой как произведение двух нильпотентных подгрупп, противоречие. Итак,  - наибольшее простое число, делящее порядок .

Допустим, что  не содержится в . Тогда  - собственная в  подгруппа и . Так как ,  и  - -группа, то  - группа нечётного порядка. Подгруппа  имеет порядок  и  - простое число. Поэтому  и теперь , а фактор-группа

будет разрешимой как произведение двух нильпотентных подгрупп. Противоречие.

Следовательно,  содержится в  и из самоцентрализуемости  и нильпотентности  получаем, что  - -группа для наибольшего простого , делящего порядок . Из теоремы 2.1 [15] получаем, что , а . Но теперь  - подгруппа непримарного индекса. Поэтому она сверхразрешима, а так как её порядок равен , то  нильпотентна, и опять  не самоцентрализуема. Противоречие.

Теорема доказана полностью.

Рассмотрим доказательство следствия.

Proof. Пусть  - конечная неразрешимая группа, в которой все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы. Если  - несверхразрешимая в  подгруппа, то , где  - простое число. Теперь  для силовской -подгруппы  из , т. е. группа  удовлетворяет условию теоремы. Поэтому

 или

где  - нильпотентная группа. Если

то в  имеется несверхразрешимая подгруппа  индекса . Так как этот индекс должен быть примарен, то  или , поэтому  или , а  - либо -группа, либо -группа. Если

то в  имеется несверхразрешимая подгруппа Шмидта порядка , а её индекс равен  и должен быть примарен, т. е.  должна быть -группой. Следствие доказано.