Основные понятия и обозначения

2. Основные понятия и обозначения

Пусть ω – некоторое непустое множество простых чисел. Тогда через ω ' обозначают дополнение к ω во множестве всех простых чисел.

Всякую функцию вида f: ω{ω'}{формации групп} называют ω-локальным спутником. Если f – произвольный ω-локальный спутник, то LF_ω(f)={ G | G/G_ωd f(ω') и G/F_p(G)  f(p) для всех pω (G)}, где Gωd – наибольшая нормальная подгруппа группы G, у которой для любого ее композиционного фактора H/K имеет место (H/K)ω Ø , F_p(G) – наибольшая нормальная p-нильпотентная подгруппа группы G, равная пересечению централизаторов всех pd-главных факторов группы G .

Если формация F такова, что F=LF_ω(f) для некоторого ω-локального спутника f, то говорят, что F является ω-локальной формацией, а f ее ω-локальный спутник. Если при этом все значения f лежат в F, то f называют внутренним ω-локальным спутником.

Пусть X – произвольная совокупность групп и p – простое число. Тогда полагают, что X(F_p)=form(G/F_p(G) | GÎX), если p(X), X(F_p)=Ø, если p (X).

Формация F называется ω-насыщенной, если ей принадлежит всякая группа G, удовлетворяющая условию G /LF, где LФ(G)∩O_ω(G).

Ввиду теоремы 1 [1, c. 118] формация является ω-локальной тогда и только тогда, когда она является ω-насыщенной.

Через l^ω обозначают совокупность всех ω-насыщенных формаций.

 Полагают l^ωformF равным пересечению всех тех ω-насыщенных формаций, которые содержат совокупность групп F.

 Для любых двух ω-насыщенных формаций M и H полагают MH=M∩H, а MV^ωH=l^ωform(MH). Всякое множество ω-насыщенных формаций, замкнутое относительно операций  и V^ω, является решеткой. Таковым, например, является множество l^ω всех ω-насыщенных формаций.

 Через F/^ωF∩H обозначают решетку ω-насыщенных формаций, заключенных между F∩H и F. Длину решетки F/^ωF∩H обозначают |F:F∩H |^ω и называют H^ω-дефектом ω-насыщенной формации F.

 ω-Насыщенная формация F называется минимальной ω-насыщенной не H-формацией, если FH, но все собственные ω-насыщенные подформации из F содержатся в H.

 Пусть  – некоторое непустое множество простых чисел. Группу G называют -специальной, если в ней существует нильпотентная нормальная -холлова подгруппа. Класс всех -специальных групп совпадает с классом N G_'.

 Группу G называют -замкнутой, если она имеет нормальную -холлову подгруппу. Класс всех -замкнутых групп, очевидно, совпадает с GG'.

Группа называется -разложимой, если она одновременно -специальна и '-замкнута.