Используемые результаты

3. Используемые результаты

 Ниже приведем некоторые известные факты теории формаций, сформулировав их в ввиде следующих лемм.

Лемма 1 [1]. Пусть F=MH, где M и H – формации, причем M=LFp(m) для некоторого внутреннего спутника m. Формация F является p-локальной в том и только том случае, когда выполняется следующее условие: либо p(M), либо формация H является p-локальной. Более того, при выполнении этого условия F=LFp(f), где f(p')=m(p')H и f(p)=m(p)H, если p(M), f(p)=h(p), если p(M).

Следствием теоремы 1.2.25 [3] является следующая

 Лемма 2 [3]. Пусть X – полуформация и AF=formX. Тогда если A – монолитическая группа и AX, то в F найдется группа H с такими нормальными подгруппами N, M, N1, ..., Nt, M1, ..., Mt (t2), что выполняются условия: (1) H/NA, M/N=Soc(H/N); (2) N1∩…∩ Nt=1; (3) H/Ni – монолитическая F-группа с монолитом Mi/Ni, который H-изоморфен M/N; (4) M1∩…∩ Mt M.

 Лемма 3 [2]. Пусть M и N – нормальные подгруппы группы G, причем MCG(N). Тогда [N](G/M)formG.

 Лемма 4 [9]. Пусть F – произвольная ω-насыщенная не -разложимая формация. Тогда в F имеется, по крайней мере, одна минимальная ω-насыщенная не -разложимая подформация.

Следствием леммы5.2.8 [3, c. 194] является

 Лемма 5. Пусть F, M, X и H – ω-насыщенные формации, причем F=MVωX. Тогда если m, r и t соответственно Hω-дефекты формаций M, X и F и m, r<, то t m+r.

Лемма 6 [1]. Решетка всех ω-насыщенных формаций lω модулярна.

Лемма 7 [1]. Если F=lωformX и f – минимальный ω-локальный спутник формации F, то справедливы следующие утверждения: 1) f(ω ') = form(G/Gωd | GX); 2) f(p)=form(X(Fp)) для все pω; 3) если F=LFω(h) и p – некоторый фиксированный элемент из ω, то F=LFω(f1), где f1(a)=h(a) для всех a(ω\{p}){ω’}, f1(p)=form(G | Gh(p)∩ F, Op(G)=1) и, кроме того, f1(p)=f(p); 4) F=LFω(G), где g(ω')=F и g(p)=f(p) для всех pω.

Лемма 8 [1]. Пусть fi – такой внутренний ω-локальный спутник формации Fi, что fi(ω')=Fi, где iI. Тогда F=F1VωF2=LFω(f), где f=f1V f2.

Лемма 9 [10]. Тогда и только тогда F – минимальная ω-насыщенная не -разложимая формация, когда F=lωformG, где G – такая не -разложимая монолитическая группа с монолитом P, что  (G)∩=Ø и либо =(P)∩ω=Ø и P совпадает с -разложимым корадикалом группы G, либо Ø и выполняется одно из следующих условий: 1) группа P неабелева, причем, если ', то G/P – '-группа, если ={p}, то G/P – p-группа, если же ∩ωØ и ||>1, то G=P – простая неабелева группа; 2) G – группа Шмидта: 3) G=[P]H, где P=CG(P) – минимальная нормальная подгруппа группы G, H – простая неабелева группа, причем ∩(H)=Ø.

Лемма 10 [2, с. 41]. Пусть A монолитическая группа с неабелевым монолитом, M – некоторая полуформация и AformM. Тогда A M.

Лемма 11 [1]. Если формации M и H являются ω-насыщенными, то формация F=MH также является ω-насыщенной.

Лемма 12 [1]. Пусть F – ω-насыщенная формация и f – ее ω-локальный спутник. Если G/Op(G)f(p)∩F, то GF.

Следующая лемма является частным случаем леммы 5.2.7 [3, с. 193].

Лемма 13. Пусть M, F и H – ω-насыщенная формации и MF. Тогда |M:M∩H|ω|F:F∩H |ω.

Лемма 14 [3]. Пусть F – произвольная непустая формация и пусть у каждой группы GX F-корадикал GF не имеет фраттиниевых G-главных факторов. Тогда если A – монолитическая группа из form X\F, то AH(X).