Закон дистрибутивности

6.  Закон дистрибутивности.

 Проверим, выполняются ли аксиомы кольца:

1. Относительным дополнением до  элемента  будет элемент , а относительным дополнением  элемент . В силу того, что , а так же единственности дополнения имеем .

2. Покажем, что .

Рассмотрим все возможные группы вариантов:

1) Пусть , тогда  (Далее везде под элементом x будем понимать сумму ).

Аналогично получаем  в случаях , , ,  и . Заметим, что когда один из элементов равен нулю (например, c), то получаем тривиальные варианты (a+b=a+b).

 2) Пусть , а элемент c не сравним с ними. Возможны следующие варианты:

 

 

 

Нетрудно заметить, что во всех этих случаях , кроме того:

если c=a+b, то (a+b)+c=0=a+(b+c);

если c=0, то получаем тривиальный вариант.

Вариант, когда c равен наибольшему элементу решётки d, мы уже рассматривали.

Если c=b, то (a+b)+c=(a+b)+b=a и a+(b+c)=a+(b+b)=a.

Если c=a, то (a+b)+c=(a+b)+a=b и a+(b+c)=a+(b+a)=b.

Аналогично для случаев , , ,  и .

3) Под элементами нижнего уровня будем понимать элементы , , , , , , , , т.е. те элементы 4-х мерного куба, которые образуют нижний трёхмерный куб.

Под элементами верхнего уровня будем понимать элементы , , , , , , , , т.е. те элементы 4-х мерного куба, которые образуют верхний трёхмерный куб.

Под фразой «элемент верхнего уровня, полученный из элемента  нижнего уровня сдвигом по соответствующему ребру» будем понимать элемент  верхнего уровня.

Пусть a, b, c несравнимы. Рассмотрим следующие варианты:  и .

Пусть . Заметим, что это возможно только в случаях, когда  принадлежат нижнему уровню, причём лежат на позициях элементов  (рис. 1). Либо a, b остаются на своих позициях, элемент c сдвигается на верхний уровень по соответствующему ребру (рис. 2). Либо элемент a остаётся на своей позиции, элементы b, c сдвигаются на верхний уровень по соответствующему ребру (рис 3).

Нетрудно заметить, что во всех этих случаях .

Пусть , здесь так же .

Таким образом мы рассмотрели все основные группы вариантов расположения элементов a, b, c и во всех этих случаях ассоциативность сложения выполняется.

3. Рассмотрим в решётке элемент , к нему существует относительное дополнение  до элемента , т.е.  и . Учитывая, что в решётке  и , имеем следующее:  и . Отсюда .

4. Рассмотрим относительное дополнение элемента  до , это элемент . Таким образом:  и . Учитывая, что в решётке выполняются тождества  и  имеем следующее:  и . Отсюда .

5. Так как в решётке выполняется ассоциативность , а так же имея , то .

6. Докажем дистрибутивность  или что то же самое

  (*).

Докажем, что дополнения левой и правой частей выражения (*) до верхней грани  совпадают.

Нетрудно заметить, что дополнением правой части выражения (*) до элемента  будет являться элемент .

 Покажем это:

, по определению относительного дополнения элемента (), где за  приняли элемент , а элемент  за .

, по определению относительного дополнения элемента  () , где за  приняли элемент , а элемент  за .

Покажем, что и для левой части (*) элемент  будет являться относительным дополнением до верхней грани :

, т.к. .

Мы показали, что дополнения элементов  и  до верхней грани  совпадают, следовательно, в силу единственности дополнения . А значит и , т.е. дистрибутивность доказана.

Таким образом, для  все аксиомы кольца выполняются.

Заметим, что  выполняется в силу того, что , а в решётке .

Также выполняется , потому что .

Таким образом,  - булево кольцо.

Доказательство (2). Частичную упорядоченность  имеем исходя из того, что исходное булево кольцо  - частично упорядоченное множество. Кроме того  - решётка, т.к.  существуют sup(x,y) и inf(x,y), заданные соответствующими правилами:  и .

Покажем, что решётка дистрибутивна, т.е. что выполняется тождество  (*)

Рассмотрим левую часть выражения (*):

.

Рассмотрим правую часть выражения (*):

,

т.о. тождество  верно, т.е. решётка  является дистрибутивной.

Покажем, что у каждого элемента  в дистрибутивной решётке  есть относительное дополнение. Для этого рассмотрим произвольные элементы , но они так же должны являться элементами решётки , следовательно, в ней должны лежать и , которым в кольце соответствуют .

Рассмотрим элемент булева кольца  (в решётке лежит соответствующий ему элемент), заметим, что

 и  .

Поэтому элемент  будет являться в дистрибутивной решётке  относительным дополнением  до верхней грани .

Таким образом,  будет являться дистрибутивной решёткой с относительными дополнениями (обобщённой булевой).

Библиографический список

 

1.  Гретцер, Г. Общая теория решёток [Текст] / Г. Гретцер. – М.: Мир, 1982.

2.  Биркгоф, Г. Теория решёток [Текст] / Г. Биркгоф. – М.: Наука, 1984.

3.  Скорняков, Л.А. Элементы алгебры [Текст] / Л.А. Скорняков. – М.: Наука, 1989.