Расчетная часть

2. Расчетная часть

Имеются следующие выборочные данные о деятельности российских коммерческих банков с ценными бумагами (выборка 3%-ная механическая), млн. руб.:

№ банка п/п	Вложения в ценные бумаги	Прибыль	№ банка п/п	Вложения в ценные бумаги	Прибыль
1	4069	110	19	9087	439
2	4279	538	20	8016	441
3	3959	85	21	7324	237
4	1032	60	22	3445	282
5	4152	39	23	2079	191
6	5347	153	24	2058	201
7	2286	215	25	648	12
8	2948	224	26	2673	77
9	2914	203	27	3145	282
10	1600	64	28	2048	451
11	2145	11	29	287	50
12	3811	153	30	2571	306
13	889	121	31	2081	440
14	584	94	32	3787	204
15	990	105	33	2131	63
16	1618	93	34	7298	650
17	1306	329	35	4729	538
18	1981	451	36	7096	175

Задание 1

Признак – вложения в ценные бумаги.

Число групп – пять.

Решение.

Построим статистический ряд распределения по признаку – вложения в ценные бумаги, образовав 5 групп с равными интервалами. Для этого определим величину интервала:

i = (9087-287)/5=1760.

Таким образом, получены следующие интервалы:

1) 287+1760=2047;

2) 2047+1760=3807;

3) 3807+1760=5567;

4) 5567+1760=7327;

5) 7327+1760=9087.

Составим расчётную таблицу.

Таблица 1 – Группировка банков по вложениям в ценные бумаги

№	Интервал	число банков в группе (f)	Середина интервала (x)	x·f	(x-x¯)²	(x-x¯)²·f
1	287-2047	10	1167	11670	4840000	48400000
2	2047-3807	14	2927	40978	193600	2710400
3	3807-5567	7	4687	32809	1742400	12196800
4	5567-7327	3	6447	19341	9486400	28459200
5	7327-9087	2	8207	16414	23425600	46851200
итого	-	36	-	121212	39688000	138617600

Рассчитаем средние значения x:

1)  для несгруппированных данных x¯= 116413/36=3233,6944 (млн.руб);

2)  для сгруппированных данных x¯= 121212/36=3367 (млн.руб).

Рассчитаем дисперсию:

σ² = 39688000/36=1102444,4.

Рассчитаем среднее квадратическое отклонение:

σ = (σ²)¹/²= 1049,9735, т.е. отклонение коммерческих банков по признаку вложений в ценные бумаги от среднего значения составляет 1049,9735 млн.руб.

Рассчитаем коэффициент вариации:

ν = σ / x¯ = 1049,9735/3367= 0,3118 или 31,18%, значение коэффициента показывает, что совокупность неоднородная, связь слабая, заметная.

Рассчитаем значения моды и медианны:

2047-3807 - модальный интервал, т.к. он имеет наибольшую частоту f=14.

Мо = 2047+1760·[(14-10)/((14-10)·(14-7))]=2298,4284.

2047-3807 – медианный интервал, т.к. его кумулятивная частота больше половины суммы частот (24>36:2).

Ме = 2047+1760·[((0,5·36)-10)/14]=3052,7141.

Задание 2

Связь между признаками – вложения в ценные бумаги и прибыль.

Решение.

Пусть y – прибыль банка.

i = 650-11/5=127,8.

Таким образом, получим следующие пять интервалов:

1)  11-138,8;

2)  138,8-266,6;

3)  266,6-394,4;

4)  394,4-522,2;

5)  522,2-650.

Построим корреляционную таблицу.

Таблица 2 – Корреляционная связь между прибылью и вложениями в ценные бумаги коммерческих банков

Прибыль	Вложения в ценные бумаги					Итого
	287-2047	2047-3807	3807-5567	5567-7327	7327-9087
11-138,8	8	3	3			14
138,8-266,6		6	2	2		10
266,6-394,4	1	3				4
394,4-522,2	1	2			2	5
522,2-650			2	1		3
Итого	10	14	7	3	2	36

Составим расчетную таблицу.

Таблица 3. Корреляционно-регрессионный анализ показателей коммерческих банков

№ п/п	Вложения в ценные бумаги	f	Прибыль		yi¯-yобщ¯	(yi¯-yобщ¯)²	(yi¯-yобщ¯)²·f
			Всего	На 1 банк
1	287-2047	10	1379	137.9	-86.7389	7523.6348	75236.3485
2	2047-3807	14	3150	225	0.3611	0.1304	1.8256
3	3807-5567	7	1616	230.8571	6.2183	38.6667	270.6668
4	5567-7327	3	1062	354	129.3611	16734.2971	50202.8912
5	7327-9087	2	880	440	215.3611	46380.4082	92760.8164
Итого		36	8087	224.6389			218472.5484

Рассчитаем межгрупповую и общую дисперсию[2].

σ²м/г = (yi¯-yобщ¯)²·f / ∑f = 218472,5484/36=6068,68.

σ²общ = y²¯- (y¯)² = 2823993/36 – (224.6389)² = 78444.25 - 50462.635 = 27981.615.

Рассчитаем коэффициент детерминации:

η² = σ²м/г / σ²общ = 6068,68 / 27981,615 = 0,217- характеризует долю результативного признака, которая формируется под влиянием фактора, в данном случае она мала, связь между факторами непрямая. Доля вариации признака, которая формируется под влиянием неучтенных в задаче признаков составляет 0,783 (1-0,217).

Найдем эмпирическое корреляционное отношение:

η = 0,466, т.е. теснота связи между результативным признаком (y) и фактором признаком (x) – умеренная.

Задание 3

По результатам выполнения задания 1 с вероятностью 0,954 определите:

1.  Ошибку выборки средней величины вложения средств банками в ценные бумаги и границы, в которых будет находится средняя величина вложений в генеральной совокупности.

2.  Ошибку выборки доли банков с вложениями средств в ценные бумаги 3811 млн. руб. и более и границы, в которых будет находится генеральная доля.

Решение.

1.  Имеем следующие данные:

n = 36, т.к. выборка механическая 3%-ная, то N = 36:0,03 = 1200, x˜=3233.6944 (для несгруппированных данных при 3%-ной выборке), простая дисперсия для несгруппированных данных равна σ² = 4829787,323.Для вероятности 0,954 находим t=2.

Δx˜= 2· ≈721,49.

Таким образом, генеральная средняя будет находится в интервалах 3233,6944 – 721,49 ≤ x¯≤ 3233,6944 + 721,49,

2512,20 ≤ x¯≤ 3955,18.

Можно утверждать с вероятностью 0,954, что средняя величина вложений средств банками в ценные бумаги колеблется от 2512,20 до 3955,18 млн. руб.

2. По условию задачи n / N = 0.03 или 3%, выборочная доля (доля банков с вложениями средств в ценные бумаги 3811 млн. руб. и более равна w = 12/36 = 0,3333. Для вероятности 0,954 находим t=2. Предельную ошибку выборки определяем по формуле бесповторного отбора:

Δw = 2·≈0.15.

Предельная ошибка выборки, %:

Δ% = ·100 = 45%.

Генеральная доля имеет находится в пределах:

w - Δw ≤ p ≤ w + Δw; тогда для нашей задачи находим 0.18 ≤ p ≤ 0.48.

Таким образом, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что доля коммерческих банков с вложениями средств в ценные бумаги 3811 млн. руб. и более колеблется от 18 до 48%.

Задание 4

Имеются следующие данные по коммерческому банку о просроченной задолженности по кредитным ссудам:

Год	Задолженность по кредиту, млн. руб. (y)	По сравнению с предыдущим годом			абсол. знач. 1% прироста, млн. руб. (А%)
		Абсолютный прирост, млн. руб. (Δy)	Темп роста, % (Тр)	Темп прироста, % (Тпр)
2000	1600	-	-	-	-
2001	1700	+100	106,25	6.25	16
2002	1800	+100	105,88	5,88	17
2003	2340	+540	130.0	30,0	18
2004	2538,9	+198,9	108,5	8.5	23,4

Определите:

1.  Задолженность по кредиту за каждый год.

2.  Недостающие показатели анализа ряда динамики и внесите их в таблицу.

3.  Основную тенденцию развития методом аналитического выравнивания.

Осуществите прогноз задолженности на следующие два года на основе найденного тренда.

Постройте графики. Сделайте выводы.

Решение.

1)  Тпр (2001) = 106,25-100 = 6,25% по формуле Тпр = Тр-100;

2)  Δy (2001) = 6.25·16 = +100 млн. руб. по формуле А% = Δy / Тпр;

3)  y (2000) = 16·100 = 1600 млн. руб. по формуле А% = Δy / Тпр = 0,01yi-1;

4)  y (2001) = 1600 + 100 = 1700 млн. руб.;

5)  y (2002) = 1700+100 = 1800 млн. руб.;

6)  Тр(2002) = (1800 / 1700) ·100 = 105,88%;

7)  Тпр (2002) = 105,88-100 = 5,88%;

8)  А% (2002) = 100 / 5,88 = 17 млн. руб.;

9)  y (2003) = (130/100)·1800 = 2340 млн. руб.;

10) Δy (2003) = 2340-1800 = 540 млн. руб.;

11) А% (2003) = 540 / 30 = 18 млн. руб.;

12) у (2004) = (108,5 / 100)·2340 = 2538,9 млн. руб.;

13) Δу (2004) = 2538,9-2340 = 198,9 млн. руб.;

14) Тпр (2004) = 108,5-100 = 8,5%;

15) А% (2004) = 198,9 /8,5 = 23,4 млн. руб. [2, с. 287-298].

3. С помощью метода наименьших квадратов построим математическую модель, выражающую общую тенденцию изучаемого объекта. Для этого понадобятся данные следующей таблицы.

Таблица 4 – Построение линейной модели

t	xt	t·xt	t²	xt^	ε
1	1600	1600	1	1492.22	-107.78
2	1700	3400	4	1744	44
3	1800	5400	9	1995.78	195.78
4	2340	9360	16	2247.56	-92.44
5	2538.9	12694.5	25	2499.34	-39.56
∑	9978.9	32454.5	55		0
сред.зн.	1995.78	6490.9	11

Линейная модель имеет вид: у = а1+ао·t. Найдем значения а1 и ао по формулам:

а1 = (t¯·xt - x¯· t¯) / (t²¯- (t¯)²) = (6490.9 – 1995.78·3) / (11-3²) = 503.56 / 2 = 251.78;

ао = x¯- a1· t¯ = 1995.78 – 251.78·3 = 1240.44.

Получили линейную модель y = 1240.44+251.78t.

Подставив в найденное уравнение t = 6, t = 7 получим точечные прогнозы на следующие два года. Прогнозная задолженность по кредиту на 2005 и 2006 соответственно равна 2751,12 и 3002,9 млн. руб.[2, с.298-317].

Фактические и расчетные данные по кредитной задолженности представлены в виде графика.

Рис. 1 – Просроченная задолженность по кредитным ссудам по коммерческому банку