Навигация
Дефект треугольника и многоугольника
43457
знаков
0
таблиц
14
изображений
2.4 Дефект треугольника и многоугольника
Учитывая, что в геометрии Лобачевского сумма углов треугольника меньше 2d, введем понятие о дефекте треугольника, который равен разности между 2d и суммой углов этого треугольника:
DABC=2d-SABC.
Нетрудно видеть, что если отрезок BD разделяет АВС на треугольники ABD и DBC, то
DABC=DABD+DDBC.
Для n-угольника дефект вводится как разность между 2d(n-2) и суммой его углов. Можно доказать вообще, что если многоугольник разбит ломаными на несколько многоугольников, то дефект полного многоугольника равен сумме дефектов его частей.
евклид лобачевский геометрия постулат
2.5 Абсолютная единица длины в геометрии Лобачевского
Таким образом, в геометрии Лобачевского подобных фигур не существует, а это связано с многочисленными осложнениями, которые кажутся очень странными для каждого, начинающего знакомиться с неевклидовой геометрией. В самом деле, из отсутствия подобия вытекает, что треугольник вполне определяется своими тремя углами (два треугольника с попарно равными углами равны), что отрезок может быть определен при помощи угла (например, как сторона равностороннего треугольника с заданным углом, меньше 2/3d ).
В геометрии Евклида для определения отрезка необходимо задать непременно некоторый другой отрезок (или систему отрезков) и указать то геометрическое построение, при помощи которого первый может быть получен из второго (чаще задается единица длины и число, выражающее длину определяемого отрезка). В геометрии Лобачевского дело обстоит проще: для определения отрезка не надо задавать другого отрезка, достаточно указать только геометрическое построение, при помощи которого может быть получен определяемый отрезок (например, как сторона равностороннего треугольника с углом, получаемым из прямого угла при помощи того или иного построения).
Если реальное пространство подчиняется законам геометрии Евклида, эталон длины необходимо должен быть реализован при помощи некоторого твердого тела; если же в реальном пространстве имеет место геометрия Лобачевского, то единица длины может быть задана некоторым геометрическим построением – в этом случае само пространство своими геометрическими свойствами определяет ту или иную единицу длины. Это факт выражают, говоря, что в пространстве Лобачевского существуют «абсолютные единицы длины», т.е. не зависящие от задания тех или иных отрезков.
Таким образом, в геометрии Лобачевского мы имеем более тесную аналогию в вопросах измерения отрезков и углов, чем в евклидовой геометрии (для углов в обеих геометриях существуют абсолютные единицы меры, например прямой угол, получающийся при помощи геометрического построения независимо от задания тех или иных углов).
2.6 Определение параллельной прямой. Функция П(х)
Как мы видели, из постулата Лобачевского непосредственно вытекает, что через луч Р, не лежащую на данной прямой АА1, в плоскости,можно провести бесчисленное множество прямых, не пересекающих АА1. Применяя аксиому Дедекинда, можно показать что существуют две граничные прямые СС1 и DD1, разделяющие класс пересекающих прямых, лежащих в углах CPD и C1PD1, от класса не пересекающих, проходящих внутри углов CPD1 и DPC1. нетрудно видеть, что эти граничные прямые не пересекают прямую АА1 (если бы существовала точка пересечения S прямых АА1 и СС1, то, взяв на прямую АА1 точку Т правее S, мы получили бы прямую РТ, проходящую внутри углов CPD1 и DPC1 и пересекающую АА1 ). Эти граничные прямые СС1 DD1 Лобачевский называет параллельными прямой АА1 в точке Р.
Таким образом, через каждую точку Р плоскости проходят две прямые, параллельные данной: прямая DD1, параллельная АА1 в направлении А1А, и прямая СС1, параллельная той же прямой в противоположном направлении АА1. Обе эти прямые расположены симметрично относительно перпендикуляра PQ, опущенного на АА1. Угол C1PQ Лобачевский называет углом параллельности. Он является функцией длины перпендикуляра PQ, которую Лобачевский обозначает так:
C1PQ=П(PQ).
Можно сказать, что постулат Евклида соответствует предположению, что угол параллельности – прямой. Отметим, что достаточно предположить, что функция П(РQ) постоянна, чтобы отсюда вытекал постулат Евклида.
Необходимо дать себе ясный отчет, насколько понятие параллелизма в неевклидовой геометрии сложнее соответствующего понятия обычной геометрии. В самом деле, по самому определению параллелизма недостаточно сказать, что прямая СС1 параллельна АА1: необходимо при этом не только указать направление параллельности, но и ту точку Р, в которой имеет место факт параллелизма (т.е. в которой прямая СС1 является граничной, отделяющей пересекающие прямые от не пересекающих). Поэтому критерий параллельности выражается боле сложно, чем в евклидовой геометрии. Чтобы доказать, что прямая СС1 в точке Р параллельна АА1 в направлении АА1, необходимо: 1) установить факт не пересечения этих прямых, 2) показать, что СС1 в точке Р является граничной прямой; это последнее устанавливается обычно так («критерий угла»): проводим прямую PR, пересекающую АА1, и рассматриваем угол C1PR, который своим отверстием обращен в сторону параллельности; если каждый луч, имеющий вершину в точке Р и проходящий внутри этого угла, пересекает луч RА1, то прямая СС1 параллельна АА1 в точке Р в направлении АА1.
Похожие работы
... 3. Б.Л. Лаптев. Н.И. Лобачевский и его геометрия. Пособие для учащихся. М. «Просвещение», 1970г. 4. И.М. Яглам. Принцип относительности Галилея и неевклидова геометрия.Серия «Библиотека математического кружка» М: 1963г. Приложение 1 Николай Иванович Лобачевский, второй сын мелкого чиновника, родился 1 декабря(20 ...
... , т. е. такие пары точек считаются за одну точку. Из этого определения следует, что при возрастании n число типов неевклидовых пространств также растет. Неевклидовы геометрии являются геометриями простейших римановых пространств определенной и неопределенной метрики, составляющих так называемый класс пространств постоянной ненулевой кривизны. Каждое из таких n-мерных пространств допускает ...
... метод координат. V. Аксіома паралельності Сама остання аксіома грає в геометрії особливу роль, визначаючи поділ геометрії на дві логічно несуперечливі й взаємно виключають один одного системи: Евклідову й неевклідову геометрії. У геометрії Евкліда ця аксіома формулюється так. V. Нехай а – довільна пряма й А – крапка, що лежить поза прямій а, тоді в площині α, обумовленою крапкою А и ...
... представить другие геометрии Кант счел достаточным основанием, чтобы утверждать, что другие геометрии не могут существовать. Появление неевклидовой геометрии Но многовековые попытки доказательства пятого постулата Евклида привели в конце концов к появлению новой геометрии, отличающейся от евклидовой тем, что в ней V постулат не выполняется. Эта геометрия теперь называется неевклидовой, а в ...
0 комментариев