Локальна формула Муавра-Лапласа

2. Локальна формула Муавра-Лапласа

Легко бачити, що користуватися формулою Бернуллі при більших значеннях n досить важко, тому що формула вимагає виконання дій над величезними числами. Природно, виникає питання: чи не можна обчислити ймовірність, що цікавить нас,, не прибігаючи до формули Бернуллі.

В 1730 р. інший метод рішення при p=1/2 знайшов Муавр; в 1783 р. Лаплас узагальнив формулу Муавра для довільного p, відмінного від 0 і 1.

Ця формула застосовується при необмеженому зростанні числа випробувань, коли ймовірність настання події не занадто близька до нуля або одиниці. Тому теорему, про яку мова йде, називають теоремою Муавра-Лапласа.

Теорема Муавра-Лапласа. Якщо ймовірність p появи події А в кожному випробуванні постійне й відмінна від нуля й одиниці, то ймовірність  того, що подія А з'явиться в n випробуваннях рівно k раз, приблизно дорівнює(тим точніше, чим більше n) значенню функції

При .

Є таблиці, у яких поміщені значення функції

,

відповідним позитивним значенням аргументу x(див. додаток 1). Для негативних значень аргументу користуються тими ж таблицями, тому що функція  парна, тобто .

Отже, імовірність того, що подія A з'явиться в n незалежних випробуваннях рівно k раз, приблизно дорівнює

,

де .

№13. Знайти ймовірність того, що подія А наступить рівно 80 разів в 400 випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події в кожному випробуванні дорівнює 0,2.

Рішення. За умовою n=400; k=80; p=0,2; q=0,8. Скористаємося формулою Лапласа:

.

Обчислимо обумовлене даними задачі значення x:

.

По таблиці додатка 1 знаходимо .

Шукана ймовірність

.

№14. Імовірність поразки мішені стрільцем при одному пострілі p=0,75.

Знайти ймовірність того, що при 10 пострілах стрілок уразить мішень 8 разів.

Рішення. За умовою n=10; k=8; p=0,75; q=0,25.

Скористаємося формулою Лапласа:

.

Обчислимо обумовлене даними задачі значення x:

.

По таблиці додатка 1 знаходимо

Шукана ймовірність

.

№15. Знайти ймовірність того, що подія А наступить рівно 70 разів в 243 випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події в кожному випробуванні дорівнює 0,25.

Рішення. За умовою n=243; k=70; p=0,25; q=0,75. Скористаємося формулою Лапласа:

.

Знайдемо значення x:

.

По таблиці додатка 1 знаходимо

.

Шукана ймовірність

.

№16. Знайти ймовірність того, що подія А наступить 1400 разів в 2400 випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події в кожному випробуванні дорівнює 0,6.

Рішення. За умовою n=2400; k=1400; p=0,6; q=0,4. Як і в попередньому прикладі, скористаємося формулою Лапласа:

Обчислимо x:

.

По таблиці додатка 1 знаходимо

Шукана ймовірність

.

3. Формула Пуассона

Ця формула застосовується при необмеженому зростанні числа випробувань, коли ймовірність настання події досить близька до 0 або 1.

,

.

Доказ.

.

.

У такий спосіб одержали формулу:

.

Приклади

№17. Імовірність виготовлення негідної деталі дорівнює 0,0002. Знайти ймовірність того, що серед 10000 деталей тільки 2 деталі будуть негідними.

Рішення. n=10000; k=2; p=0,0002.

.

№18. Імовірність виготовлення бракованої деталі дорівнює 0,0004. Знайти ймовірність того, що серед 1000 деталей тільки 5 деталі будуть бракованими.

Рішення. n=1000; k=5; p=0,0004.

Шукана ймовірність

.

№19. Імовірність виграшу лотереї дорівнює 0,0001. Знайти ймовірність того, що з 5000 спроб виграти вдасться 3 рази.

Рішення. n=5000; k=3; p=0,0001.

Шукана ймовірність

.