Навигация
Теорія і практика обчислення визначників
11530
знаков
0
таблиц
13
изображений
ТЕОРІЯ І ПРАКТИКА ОБЧИСЛЕННЯ ВИЗНАЧНИКІВ
1. Основні поняття і теореми
Def. Нехай задано квадратну матрицю А n-го порядку з елементами aij, де i визначає номер рядка, j – номер стовпця і при цьому через хj позначені стовпці матриці А, тобто
і 
.
Визначником (det A) квадратної матриці А зі стовпцями хj називається функціонал j(х1, х2, … , хn) щодо стовпців цієї матриці, який:
а) лінійний за кожним з аргументів (полілінійний):
теорема обчислення визначник сума
j(х1, …, aхi1 + bхi2, … , хn) = aj(х1, … , хi1, … , хn) + bj(х1, … , хi2, … , хn);
б) абсолютно антисиметричний (антисиметричний по будь-якій парі аргументів): j(х1, … , хi, … , хj, … , хn) = –j(х1, … , хj, … , хi, … , хn);
в) підкоряється умові нормування:
.
Тоді, з огляду на загальний вигляд полілінійного антисиметричного функціонала, маємо:
а б
Рис. 1
, (1)
де N(j1 j2 … jn) – кількість безладів у перестановці 
.
Говорять, що в перестановці мається безлад, якщо jk > jm і k < m.
З формули (1) для визначника другого порядку одержуємо 
.
Визначник третього порядку дорівнює сумі шести (3! = 6) доданків. Для побудови цих доданків зручно скористатися правилом трикутників. Добуток елементів, що розташовані на головній діагоналі, а також добутки елементів, що є вершинами двох трикутників на рис. 1а, беруться з множником +1, а добуток елементів, що розташовані на побічній діагоналі, а також добутки елементів, що є вершинами двох трикутників на мал. 1б, беруться з множником –1, тобто
Властивості визначників:
1°. det A = det AT. З цієї властивості випливає, що рядки і стовпці визначника рівноправні. У силу цього всі властивості, сформульовані для стовпців, можуть бути сформульовані і для рядків визначника.
2°. Якщо один зі стовпців визначника складається з нульових елементів, то визначник дорівнює нулю.
3°. Загальний множник у стовпці визначника можна виносити за знак визначника.
4°. Якщо у визначнику поміняти два стовпці місцями, то визначник змінить знак.
5°. Визначник, що має два рівних стовпці, дорівнює нулю.
6°. Якщо стовпці визначника лінійно залежні, то визначник дорівнює нулю.
7°. 
.
8°. Визначник не зміниться, якщо до стовпця визначника додати лінійну комбінацію інших стовпців.
9°. Визначник добутку двох квадратних матриць n-го порядку дорівнює добуткові визначників цих матриць.
Def. Якщо в матриці А порядку n викреслити i-й рядок та j-й стовпець, то елементи, що залишилися, утворять матрицю (n – 1)-го порядку. Її визначник називається мінором (n – 1)-го порядку, додатковим до елемента aij матриці А, і позначається Мij, а величина Аij = (–1) i + j Мij називається алгебраїчним доповненням до елемента aij матриці А.
10°. 
(Розкриття визначника за елементами j-го стовпця та за елементами i-го рядка).
11°. 
12°. (Теорема Лапласа).
.
Тут 
– мінор, складений з елементів матриці А, що розташовані на перетині рядків i1, i2, …, ik і стовпців j1, j2, …, jk, а 
– алгебраїчне доповнення до цього мінора.
13°. (Про зміну елементів визначника).
Якщо 
, а 
, то 
.
Похожие работы
... часу електромашинного підсилювача Кп = 20 – коефіцієнт підсилення Отже передаточна функція ССП (без тахогенератора) буде мати такий вигляд: Kp(P) = Формалізована модель дослідження стійкості та якості перехідних процесів слідкувальної системи Формалізація приведення інформації зв’язаної з виділеними властивостями, до вибраної форми. внутрішні впливи; зовнішні впливи. ...
... лежащие на главной и двух побочных диагоналях, равны нулю при та В общем случае системы линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей имеют вид Для численного решения систем трехдиагональными матрицами применяется метод прогонки, который представляет собой вариант метода последовательного исключения неизвестных. Т.е. матрицу А можно записать Идея метода прогонки состоит ...
... місцях по обсягам валюти балансу та обсягів балансового прибутку, за рівнем рентабельності активів та статутного капіталу ЗАТ КБ «Приватбанк» суттєво програє банкам, які спеціалізуються на роботі з юридичними особами. ВИСНОВКИ Досліджена в дипломному проекті фінансова діяльність комерційного банку – це діяльність, яка спричиняє зміни розміру та складу власного і залученого/запозиченого капіталу ...
... психічні процеси, формуються відповідні вміння і навички, – засобом формування загальнонавчальних умінь і навичок у нашому дослідженні вибрана дидактична гра. У процесі дослідження дидактичної гри як засобу формування загальнонавчальних умінь і навичок молодших школярів ми дійшли таких висновків: 1. У процесі аналізу психолого-педагогічної літератури встановлено, що уміння вчитися як володіння ...
0 комментариев