Построим авторегрессионную модель временного ряда

4.  Построим авторегрессионную модель временного ряда.

Для построения авторегрессионной модели 1-го порядка вида

Определим ее параметры с помощью МНК из системы уравнений:

Воспользовавшись надстройкой «Поиск решения» приложения MS Excel, находим коэффициенты модели:

 

Получаем модель:

 

Дадим точечный прогноз по полученной авторегрессионной модели на 1 и 2 шага вперед:

 

Дадим интервальный прогноз среднего и индивидуального значений по полученной авторегрессионной модели с надежностью на 1 и 2 шага вперед.

Доверительный интервал для среднего размера объема продаж продовольственных товаров по полученной авторегрессионной модели на 01.12.1995 г. (t=36) с надежностью g=0,95:

 

где стандартная ошибка для средних значений:

,

Доверительный интервал для индивидуальных значений размера объема продаж продовольственных товаров по полученной авторегрессионной модели на 01.12.1995 г. (t=36) с надежностью g=0,95:

где стандартная ошибка для индивидуальных значений:

Итак, с надежностью 0,95 среднее значение объема продаж продовольственных товаров на момент t=36 будет заключено в пределах от 233,17 до 275,99 относительных единиц, а его индивидуальное значение — от 189,44 до 319,72 относительных единиц.

Для прогноза на 2 шага вперед:

Доверительный интервал для среднего размера объема продаж продовольственных товаров по полученной авторегрессионной модели на 01.12.1995 г. (t=37) с надежностью g=0,95:

 

где стандартная ошибка для средних значений

Доверительный интервал для индивидуальных значений размера объема продаж продовольственных товаров по полученной авторегрессионной модели на 01.01.1996 г. (t=37) с надежностью g=0,95:

где стандартная ошибка для индивидуальных значений:

Итак, с надежностью 0,95 среднее значение объема продаж продовольственных товаров на момент t=37 будет заключено в пределах от 212,28 до 254,64 относительных единиц, а его индивидуальное значение — от 169,06 до 299,86 относительных единиц.

5.  Выводы по полученным результатам:

Проведя сглаживание временного ряда методом простой скользящей средней, по графику сделали предположение о наличии тренда линейного типа. Вычислив параметры модели, получаем уравнение тренда

Величина коэффициента детерминации R²=0,324 свидетельствует о том, что изменение У на 32% обусловлено влиянием времени. Построенную модель на основе коэффициента корреляции можно признать умеренно качественной.

Проверив значимость построенного уравнения по F-критерию, приходим к выводу, что в 95% случаев уравнение регрессии статистически незначимо и не отражает зависимости между временем и объемом продаж продовольственных товаров, что подтверждается экономической теорией.

Точечный прогноз на 1 шаг вперед на основе полученной модели примет значение

Интервальный прогноз позволяет установить, что размер объема продаж на 01.12.1995 г. в 95% случаев может находиться в интервале от 205 до 335 относительных единиц, а средний размер объема продаж - в интервале от 249 до 292 относительных единиц.

Точечный прогноз на 2 шага вперед на основе полученной модели примет значение

Интервальный прогноз позволяет установить, что размер объема продаж на 01.01.1996 г. в 95% случаев может находиться внутри интервала примерно от 207 до 304 относительных единиц, а средний размер объема продаж – внутри интервала от 207 до 304 относительных единиц.

Поскольку построенное ранее уравнение линейного тренда не является значимым, для прогнозирования значений временного ряда построили авторегрессионную модель

Даем точечный прогноз на 1 шаг вперед

и интервальный на уровне значимости 0,05 для среднего и индивидуального значений –

и

А также точечный прогноз на 2 шага вперед

,

и интервальный на уровне значимости 0,05 для среднего и индивидуального значений –

 и .

 

линейный множественный регрессия модель

 

Приложение 1

 

Жилая пло щадь, x	Цена квартиры, у						()2		()2
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
20	15,9	400	252,81	318	19,729	-3,829	14,66124	-	-	-0,241
40,5	27	1640,25	729	1093,5	30,4095	-3,4095	11,62469	0,4195	0,175980	-0,126
16	13,5	256	182,25	216	17,645	-4,145	17,18103	-0,7355	0,540960	-0,307
20	15,1	400	228,01	302	19,729	-4,629	21,42764	-0,484	0,234256	-0,307
28	21,1	784	445,21	590,8	23,897	-2,797	7,823209	1,832	3,356224	-0,133
46,3	28,7	2143,69	823,69	1328,81	33,4313	-4,7313	22,3852	-1,9343	3,741517	-0,165
45,9	27,2	2106,81	739,84	1248,48	33,2229	-6,0229	36,27532	-1,2916	1,668231	-0,221
47,5	28,3	2256,25	800,89	1344,25	34,0565	-5,7565	33,13729	0,2664	0,070969	-0,203
87,2	52,3	7603,84	2735,29	4560,56	54,7402	-2,4402	5,954576	3,3163	10,99785	-0,047
17,7	22	313,29	484	389,4	18,5307	3,4693	12,03604	5,9095	34,92219	0,158
31,1	28	967,21	784	870,8	25,5121	2,4879	6,189646	-0,9814	0,963146	0,089
48,7	45	2371,69	2025	2191,5	34,6817	10,318	106,4673	7,8304	61,31516	0,229
65,8	51	4329,64	2601	3355,8	43,5908	7,4092	54,89625	-2,9091	8,462863	0,145
21,4	34,4	457,96	1183,36	736,16	20,4584	13,942	194,3682	6,5324	42,67225	0,405
∑ 536,1	409,5	26030,63	14014,35	18546,06	409,6341	-0,1341	544,4277	17,7706	169,1216	|2,776|

 

 

Приложение 2

 

В таблице приведены значения критерия Дарбина-Уотсона для уровня значимости 5% (m - число независимых переменных уравнения регрессии).

Число наблюдений (n)	m = 1			m = 2		m = 3		m = 4				m = 5
	d1	d2	d1		d2	d1	d2		d1	d2	d1		d2
15203050100	1,081,201,351,501,65	1,361,411,491,591,69	0,951,101,281,461,63		1,541,541,571,631,72	0,821,001,211,421,61	1,751,681,651,671,74		0,690,901,141,381,59	1,971,831,741,721,76	0,560,791,071,341,57		2,211,991,831,471,78

Приложение 3

 

Критические границы отношения R/S

Объем выборки (n)	Нижние границы						Верхние границы
	Вероятность ошибки
	0,000	0,005	0,01	0,025	0,05	0,10	0,10	0,05	0,025	0,01	0,005	0,000
34567891011121314151617181920	1,7321,7321,8261,8261,8211,8211,8971,8971,9151,9151,9271,9271,9361,9361,9441,9441,9491,949	1,7351,831,982,112,222,312,392,462,532,592,642,702,742,792,832,872,902,94	1,7371,872,022,152,262,352,442,512,582,642,702,752,802,842,882,922,962,99	1,7451,932,092,222,332,432,512,592,662,722,782,832,882,932,973,013,053,09	1,7581,982,152,282,402,502,592,672,742,802,862,922,973,013,063,103,143,18	1,7822,042,222,372,492,592,682,762,842,902,963,023,073,123,173,213,253,29	1,9972,4092,7122,9493,1433,3083,4493,573,683,783,873,954,024,094,154,214,274,32	1,9992,4292,7533,0123,2223,3993,5523,6853,803,914,004,094,174,244,314,374,434,49	2,0002,4392,7823,0563,2823,4713,6343,7773,9034,024,124,214,294,374,444,514,574,63	2,0002,4452,8033,0953,3383,5433,7203,8754,0124,1344,2444,344,444,524,604,674,744,80	2,0002,4472,8133,1153,3693,5853,7723,9354,0794,2084,3254,4314,534,624,704,784,854,91	2,0002,4492,8283,1624,4653,7424,0002,2434,4724,6904,8995,0995,2925,4775,6575,8316,0006,164

 

 

Приложение 4

 

Таблица значений функции распределения Стьюдента (для интервальных оценок)

		Значение доверительной вероятности
		0.9	0.91	0.92	0.93	0.94	0.95	0.96	0.97	0.98	0.99
Степени свободы	1	6.314	7.026	7.916	9.058	10.579	12.706	15.894	21.205	31.821	63.656
	2	2.920	3.104	3.320	3.578	3.896	4.303	4.849	5.643	6.965	9.925
	3	2.353	2.471	2.605	2.763	2.951	3.182	3.482	3.896	4.541	5.841
	4	2.132	2.226	2.333	2.456	2.601	2.776	2.999	3.298	3.747	4.604
	5	2.015	2.098	2.191	2.297	2.422	2.571	2.757	3.003	3.365	4.032
	6	1.943	2.019	2.104	2.201	2.313	2.447	2.612	2.829	3.143	3.707
	7	1.895	1.966	2.046	2.136	2.241	2.365	2.517	2.715	2.998	3.499
	8	1.860	1.928	2.004	2.090	2.189	2.306	2.449	2.634	2.896	3.355
	9	1.833	1.899	1.973	2.055	2.150	2.262	2.398	2.574	2.821	3.250
	10	1.812	1.877	1.948	2.028	2.120	2.228	2.359	2.527	2.764	3.169
	11	1.796	1.859	1.928	2.007	2.096	2.201	2.328	2.491	2.718	3.106
	12	1.782	1.844	1.912	1.989	2.076	2.179	2.303	2.461	2.681	3.055
	13	1.771	1.832	1.899	1.974	2.060	2.160	2.282	2.436	2.650	3.012
	14	1.761	1.821	1.887	1.962	2.046	2.145	2.264	2.415	2.624	2.977
	15	1.753	1.812	1.878	1.951	2.034	2.131	2.249	2.397	2.602	2.947
	16	1.746	1.805	1.869	1.942	2.024	2.120	2.235	2.382	2.583	2.921
	17	1.740	1.798	1.862	1.934	2.015	2.110	2.224	2.368	2.567	2.898
	18	1.734	1.792	1.855	1.926	2.007	2.101	2.214	2.356	2.552	2.878
	19	1.729	1.786	1.850	1.920	2.000	2.093	2.205	2.346	2.539	2.861
	20	1.725	1.782	1.844	1.914	1.994	2.086	2.197	2.336	2.528	2.845
	21	1.721	1.777	1.840	1.909	1.988	2.080	2.189	2.328	2.518	2.831

Приложение 5

 

 

Приложение 6

№	Страны	Х1	Х3	Х6	Х8	Х9	У
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
1	Россия	55	30	20,4	28	124	84,98	61,1244	23,8556	0,2807
2	Австралия	100	47	71,4	121	87	30,56	37,1498	-6,5898	-0,2156
3	Австрия	93	37	78,7	146	74	38,42	27,7670	10,653	0,2773
4	Азербайджан	20	12,4	12,1	52	141	60,34	59,8539	0,4861	0,0081
5	Армения	20	4,3	10,9	72	134	60,22	56,7572	3,4628	0,0575
6	Белоруссия	72	28	20,4	38	120	60,79	61,0272	-0,2372	-0,0039
7	Бельгия	85	48	79,7	83	72	29,82	30,3919	-0,5719	-0,0192
8	Болгария	65	18	17,3	92	156	70,57	63,9434	6,6266	0,0939
9	Великобритания	67	39	69,7	91	91	34,51	34,2298	0,2802	0,0081
10	Венгрия	73	40	24,5	73	106	64,73	60,0524	4,6776	0,0723
11	Германия	88	35	76,2	138	73	36,63	28,0102	8,6198	0,2353
12	Греция	83	24	44,4	99	108	32,84	46,083	-13,243	-0,4033
13	Грузия	21	36	11,3	55	140	62,64	67,1154	-4,4754	-0,0714
14	Дания	98	38	79,2	89	77	34,07	29,3072	4,76277	0,1398
15	Ирландия	99	31	57	87	102	39,27	42,2326	-2,9626	-0,0754
16	Испания	89	26	54,8	103	72	28,46	36,3877	-7,9277	-0,2786
17	Италия	84	27	72,1	169	118	30,27	33,8748	-3,6048	-0,1191
18	Казахстан	61	19,2	13,4	10	191	69,04	72,2562	-3,2162	-0,0466
19	Канада	98	44	79,9	123	77	25,42	30,3257	-4,9057	-0,193
20	Киргизия	46	23,5	11,2	20	134	53,13	64,7713	-11,6413	-0,2191
21	Нидерланды	86	37	72,4	176	59	28,00	27,7780	0,222	0,0079
22	Португалия	73	27	48,6	150	83	38,79	39,7452	-0,9552	-0,0246
23	США	115	29	100	99	103	32,04	21,2971	10,7429	0,3353
24	Финляндия	62	36	63,9	82	94	38,58	36,4471	2,1329	0,0553
25	Франция	91	36	77,5	84	85	18,51	30,3382	-11,8282	-0,639
26	Чехия	82	45	34,7	65	114	57,62	58,3873	-0,7673	-0,0133
27	Япония	40	20	83,5	60	119	20,80	24,3958	-3,5958	-0,1729
∑		1966	837,4	1385,2	2405	2854	1181,05	1181,05	0	|4,0665|
		72,81	31,01	51,3	89,07	105,7	43,74

 

Приложение 7

ВЫВОД ОСТАТКА
Наблюдение	Предсказанное Y	Остатки	Стандартные остатки
1	61,12437668	23,85562332	3,016807918
2	37,14984362	-6,589843625	-0,83335875
3	27,76702963	10,65297037	1,347186151
4	59,85389286	0,486107145	0,061473635
5	56,75723936	3,46276064	0,437904455
6	61,02722122	-0,237221218	-0,029999252
7	30,3918804	-0,571880402	-0,072320614
8	63,94341526	6,626584737	0,838005071
9	34,22980347	0,280196529	0,035433956
10	60,05238208	4,67761792	0,59153662
11	28,01019093	8,619809067	1,090070375
12	46,08296956	-13,24296956	-1,674720249
13	67,11544881	-4,47544881	-0,565970095
14	29,30723012	4,762769875	0,602305028
15	42,23264038	-2,962640379	-0,374658706
16	36,38774388	-7,927743882	-1,002551063
17	33,87478691	-3,604786915	-0,455865251
18	72,25617196	-3,216171959	-0,406720583
19	30,32568691	-4,905686906	-0,62037847
20	64,77131443	-11,64131443	-1,472173209
21	27,77801216	0,22198784	0,028072822
22	39,74521202	-0,955212022	-0,120797145
23	21,29706536	10,74293464	1,35856313
24	36,44711056	2,13288944	0,269727505
25	30,33822718	-11,82822718	-1,495810398
26	58,38731137	-0,767311368	-0,097035025
27	24,39579286	-3,595792864	-0,454727853

Приложение 8

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,758496844
R-квадрат	0,575317462
Нормированный R-квадрат	0,498102455
Стандартная ошибка	12,49675211
Наблюдения	27
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	4	4654,361827	1163,590457	7,450850349	0,000593913
Остаток	22	3435,713892	156,1688133
Итого	26	8090,075719
	Коэффи-циенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересечение	11,37891037	26,90148347	0,422984494	0,676412608	-44,41135143	67,16917217	-44,41135143	67,16917217
Переменная X 1	-0,140477614	0,136338345	-1,03036027	0,314036187	-0,423226035	0,142270807	-0,423226035	0,142270807
Переменная X 2	0,334073329	0,330603312	1,010496014	0,323243144	-0,351555972	1,01970263	-0,351555972	1,01970263
Переменная X 3	-0,059094847	0,084157252	-0,702195542	0,489920557	-0,233626304	0,11543661	-0,233626304	0,11543661
Переменная X 4	0,35471917	0,138588434	2,559514953	0,017874673	0,06730435	0,64213399	0,06730435	0,64213399

Приложение 9

 

Приложение 10

Приложение 11

Приложение 12

№	Страны	Х9	Х92	У
1	Россия	124	15376	84,98	51,28526	33,69474	1135,016	0,3965
2	Австралия	87	7569	30,56	36,03197	-5,47197	29,9209	-0,179
3	Австрия	74	5476	38,42	30,67271	7,747288	60,0625	0,202
4	Азербайджан	141	19881	60,34	58,29352	2,046478	4,2025	0,334
5	Армения	134	17956	60,22	55,40777	4,812234	23,1361	0,08
6	Белоруссия	120	14400	60,79	49,63625	11,15375	124,3225	0,1835
7	Бельгия	72	5184	29,82	29,84821	-0,02821	0,0009	-0,001
8	Болгария	156	24336	70,57	64,47729	6,092714	37,0881	0,0863
9	Великобритания	91	8281	34,51	37,68098	-3,17098	10,0489	-0,092
10	Венгрия	106	11236	64,73	43,86474	20,86526	435,5569	0,322
11	Германия	73	5329	36,63	30,26046	6,369538	40,5769	0,1739
12	Греция	108	11664	32,84	44,68924	-11,8492	140,4035	-0,361
13	Грузия	140	19600	62,64	57,88127	4,758729	22,6576	0,076
14	Дания	77	5929	34,07	31,90947	2,160535	4,6656	0,0634
15	Ирландия	102	10404	39,27	42,21574	-2,94574	8,7025	-0,075
16	Испания	72	5184	28,46	29,84821	-1,38821	1,9321	-0,049
17	Италия	118	13924	30,27	48,81175	-18,5418	343,7316	-0,613
18	Казахстан	191	36481	69,04	78,90607	-9,86607	97,4169	-0,143
19	Канада	77	5929	25,42	31,90947	-6,48947	42,1201	-0,255
20	Киргизия	134	17956	53,13	55,40777	-2,27777	5,1984	-0,043
21	Нидерланды	59	3481	28	24,48895	3,511051	12,3201	0,1254
22	Португалия	83	6889	38,79	34,38297	4,407029	19,4481	0,1136
23	США	103	10609	32,04	42,62799	-10,588	112,1481	-0,33
24	Финляндия	94	8836	38,58	38,91773	-0,33773	0,1156	-0,009
25	Франция	85	7225	18,51	35,20747	-16,6975	278,89	-0,902
26	Чехия	114	12996	57,62	47,16275	10,45725	109,4116	0,1815
27	Япония	119	14161	20,8	49,224	-28,424	807,6964	-1,367
			326292				39,0679	|6,76|

Приложение 13

 

№	Дата, t	Объем продаж,	2				()2
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
1	1/1/93	178	31684	-	-	-17	289	200,0143	-22,0143	484,4401
2	1/2/93	185	34225	32930	186	-16	256	202,037	-17,037	290,3616
3	1/3/93	196	38416	36260	189	-15	225	204,0597	-8,05966	64,9636
4	1/4/93	187	34969	36652	193	-14	196	206,0824	-19,0824	364,0464
5	1/5/93	197	38809	36839	210	-13	169	208,105	-11,105	123,4321
6	1/6/93	246	60516	48462	225	-12	144	210,1277	35,87227	1286,6569
7	1/7/93	231	53361	56826	240	-11	121	212,1504	18,84958	355,3225
8	1/8/93	244	59536	56364	231	-10	100	214,1731	29,82689	889,8289
9	1/9/93	219	47961	53436	221	-9	81	216,1958	2,804202	7,84
10	1/10/93	199	39601	43581	202	-8	64	218,2185	-19,2185	369,4084
11	1/11/93	187	34969	37213	198	-7	49	220,2412	-33,2412	1104,8976
12	1/12/93	208	43264	38896	201	-6	36	222,2639	-14,2639	203,3476
13	1/1/94	208	43264	43264	213	-5	25	224,2866	-16,2866	265,3641
14	1/2/94	223	49729	46384	228	-4	16	226,3092	-3,30924	10,9561
15	1/3/94	254	64516	56642	240	-3	9	228,3319	25,66807	658,9489
16	1/4/94	243	59049	61722	247	-2	4	230,3546	12,64538	160,0225
17	1/5/94	243	59049	59049	247	-1	1	232,3773	10,62269	112,7844
18	1/6/94	255	65025	61965	263	0	0	234,4	20,6	424,36
19	1/7/94	292	85264	74460	278	1	1	236,4227	55,57731	3089,1364
20	1/8/94	288	82944	84096	281	2	4	238,4454	49,55462	2455,2025
21	1/9/94	262	68644	75456	261	3	9	240,4681	21,53193	463,5409
22	1/10/94	234	54756	61308	233	4	16	242,4908	-8,49076	72,0801
23	1/11/94	204	41616	47736	219	5	25	244,5134	-40,5134	1641,0601
24	1/12/94	218	47524	44472	217	6	36	246,5361	-28,5361	814,5316
25	1/1/95	230	52900	50140	215	7	49	248,5588	-18,5588	344,4736
26	1/2/95	197	38809	45310	230	8	64	250,5815	-53,5815	2870,8164
27	1/3/95	263	69169	51811	232	9	81	252,6042	10,3958	108,16
28	1/4/95	235	55225	61805	253	10	100	254,6269	-19,6269	385,3369
29	1/5/95	262	68644	61570	261	11	121	256,6496	5,35042	28,6225
30	1/6/95	285	81225	74670	284	12	144	258,6723	26,32773	693,2689
31	1/7/95	305	93025	86925	302	13	169	260,695	44,30504	1962,49
32	1/8/95	316	99856	96380	298	14	196	262,7176	53,28235	2838,7584
33	1/9/95	273	74529	86268	274	15	225	264,7403	8,259664	68,2276
34	1/10/95	234	54756	63882	237	16	256	266,763	-32,763	1073,2176
35	1/11/95	203	41209	47502	-	17	289	268,7857	-65,7857	4328,3241
630		8204		1920276			3570	8204	0	30414,23

Приложение 14

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,569585
R-квадрат	0,324427
Нормированный R-квадрат	0,303955
Стандартная ошибка	30,35875
Наблюдения	35
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	14605,84	14605,84	15,84743	0,000355
Остаток	33	30414,56	921,6534
Итого	34	45020,4
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересечение	197,9916	10,48708	18,87958	2,96E-19	176,6555	219,3277	176,6555	219,3277
Переменная X 1	2,022689	0,508101	3,980883	0,000355	0,988951	3,056428	0,988951	3,056428
ВЫВОД ОСТАТКА
Наблюдение	ПредсказанноеY	Остатки
1	200,0143	-22,0143
2	202,037	-17,037
3	204,0597	-8,05966
4	206,0824	-19,0824
5	208,105	-11,105
6	210,1277	35,87227
7	212,1504	18,84958
8	214,1731	29,82689
9	216,1958	2,804202
10	218,2185	-19,2185
11	220,2412	-33,2412
12	222,2639	-14,2639
13	224,2866	-16,2866
14	226,3092	-3,30924
15	228,3319	25,66807
16	230,3546	12,64538
17	232,3773	10,62269
18	234,4	20,6
19	236,4227	55,57731
20	238,4454	49,55462
21	240,4681	21,53193
22	242,4908	-8,49076
23	244,5134	-40,5134
24	246,5361	-28,5361
25	248,5588	-18,5588
26	250,5815	-53,5815
27	252,6042	10,3958
28	254,6269	-19,6269
29	256,6496	5,35042
30	258,6723	26,32773
31	260,695	44,30504
32	262,7176	53,28235
33	264,7403	8,259664
34	266,763	-32,763
35	268,7857	-65,7857