Метод простой итерации для решения систем линейных алгебраических уравнений

Министерство науки и образования РФ

Новосибирский государственный технический университет

Кафедра экономической информатики

Курс: "Численные методы" Пояснительная записка к курсовой работе на тему "Метод простой итерации для решения систем линейных алгебраических уравнений"

Факультет: Бизнеса

Преподаватель: Сарычева О. М.

Новосибирск, 2010

Содержание

1. Введение

2. Математическая постановка задачи и описание метода

3. Описание программного обеспечения

3.1 Общие сведения

3.2 Функциональное назначение программы

3.3 Вызов и загрузка программы

3.4 Входные данные

3.5 Выходные данные

3.6 Описание алгоритмов

3.6.1 Программный модуль metod1.m

3.6.2 Программный модуль metod2.m

3.7 Используемые программные и технические средства

4. Описание тестовых задач

5. Анализ результатов счета, выводы

6. Заключение

Приложения

Список литературы

 

1. Введение

В данной курсовой работе необходимо рассмотреть один из множества существующих итерационных методов - метод простой итерации для решения систем линейных алгебраических уравнений.

Прежде чем говорить о вышеуказанном методе, дадим краткую характеристику вообще итерационным методам.

Итерационные методы дают возможность найти решение системы, как предел бесконечного вычислительного процесса, позволяющего по уже найденным приближениям к решению построить следующее, более точное приближение. Привлекательной чертой таких методов является их самоисправляемость и простота реализации на ЭВМ. Если в точных методах ошибка в вычислениях, когда она не компенсируется случайно другими ошибками, неизбежно ведет к ошибкам в результате, то в случае сходящегося итерационного процесса ошибка в каком-то приближении исправляется в последующих вычислениях, и такое исправление требует, как правило, только нескольких лишних шагов единообразных вычислений. Итерационный метод, для того чтобы начать по нему вычисления, требует знания одного или нескольких начальных приближений к решению.

Условия и скорость сходимости каждого итерационного процесса существенно зависят от свойств уравнений, то есть от свойств матрицы системы, и от выбора начальных приближений.

2. Математическая постановка задачи и описание метода

 

2.1 Математическая постановка задачи

Исследовать метод простой итерации для решения систем линейных алгебраических уравнений, а именно: влияние способа перехода от системы F(x)=x к системе x=(x) на точность полученного решения, скорость сходимости метода, время счета, число операций.

2.2 Описание метода

Пусть дана система линейных алгебраических уравнений в виде Ax=b (2.2.1).

Пусть (2.2.1.) приведена каким-либо образом к виду x=Cx+f (2.2.2), где C - некоторая матрица, f - вектор-столбец. Исходя из произвольного вектора

x⁰₁

x^{( 0 )}= x⁰₂

x⁰₃

строим итерационный процесс x^{( k+1 )}=Cx^{( k )}+f (k=0,1,2,3,…) или в развернутой форме

x₁ ^{( k+1 )} = c₁₁ x₁^{( k )} + c₁₂ x₂^{( k )} + …+ c_1n x_n^{( k )} + f₁ , (2.2.3)

x_n ^{( k+1 )} = c_n1 x₁^{( k )} + c_n2 x₂^{( k )} + …+ _1nn x_n^{( k )} + f_{n .}

Производя итерации, получим последовательность векторов x^{( 1 )}, x^{( 2)},…, x^{( k )},… Доказано, что если элементы матрицы C удовлетворяют одному из условий

 (i=1,2,…,n) (2.2.4)

 (j=1,2,…,n) (2.2.5),

то процесс итерации сходится к точному решению системы x при любом начальном векторе x⁽⁰⁾, то есть

x=x^{( k )} .

Таким образом, точное решение системы получается лишь в результате бесконечного процесса, и всякий вектор x^(k) из полученной последовательности является приближенным решением. Оценка погрешности этого приближенного решения x^(k) дается одной из следующих формул:

| x_i- x_i^{( k )} | | x_i^{( k )} - x_i^{( k -1 )}|, (2.2.4')

если выполнено условие (2.2.4), или

| x_i- x_i^{( k )} |  | x_i^{( k )} - x_i^{( k -1 )}|, (2.2.5')

если выполнено условие (2.2.5). Эти оценки можно еще усилить соответственно так:

max | x_i- x_i^{( k )} | | x_i^{( k )} - x_i^{( k -1 )}|, (2.2.4'')

или

| x_i- x_i^{( k )} |  | x_i^{( k )} - x_i^{( k -1 )}|. (2.2.5'')

Процесс итераций заканчивают, когда указанные оценки свидетельствуют о достижении заданной точности.

Начальный вектор x^{( 0 )} может быть выбран, вообще говоря, произвольно. Иногда берут x^{( 0 )}=f. Однако, наиболее целесообразно в качестве компонент вектора x^{( 0 )} взять приближенные значения неизвестных, полученные грубой прикидкой.

Приведение системы (2.2.1) к виду (2.2.2) можно осуществить различными способами. Важно только, чтобы выполнялось одно из условий (2.2.4) или (2.2.5). Ограничимся рассмотрением двух таких способов.

Первый способ. Если диагональные элементы матрицы А отличны от нуля, то есть

a_ii0 ( i=1,2,…,n),

то систему (2.2.1) можно записать в виде

x₁= (b₁ - a₁₂ x₂ - … - a_1n x_n ),

x₂= (b₂ - a₂₁ x₁ - a₂₃ x₃ -… - a_2n x_n ), (2.2.6)

x_n= (b_n - a_n1 x₁ - … - a_{n n-1} x_n-1 ).

В этом случае элементы матрицы С определяются следующим образом:

 (ij), c_ii=0,

и тогда условия (2.2.4) и (2.2.5) соответственно приобретают вид

 (i=1,2,… ,n), (2.2.7)

 (j=1,2,… ,n). (2.2.8)

Неравенства (2.2.7), (2.2.8) будут выполнены, если диагональные элементы матрицы А удовлетворяют условию

 (i=1,2,… ,n), (2.2.9)

то есть если модули диагональных коэффициентов для каждого уравнения системы больше суммы модулей всех остальных коэффициентов (не считая свободных членов).

Второй способ позволяет записать систему (2.2.1) в виде

x₁ = b₁ - (a₁₁ -1)x₁ - a₁₂ x₂ - … - a_1n x_n ,

x₂ = b₂ - a₂₁ x₁ -(a₂₂ -1)x₂ -… - a_2n x_n , (2.2.10)

x_n = b_n - a_n1 x₁ - a_n2 x₂ -… -(a_nn -1)x_n .

и пояснений не требует.

3. Описание программного обеспечения

 

3.1 Общие сведения

Данное программное обеспечение представлено в виде двух основных программных модулей (файлы metod1.m и metod2.m) и четырех вспомогательных модулей (файлы system_a.m, system_b.m, x0.m и x_ok.m).

3.2 Функциональное назначение программы

Данное программное обеспечение предназначено для решения систем линейных алгебраических уравнений вида Ax=b методом простой итерации.

Программный модуль metod1.m содержит непосредственно алгоритм решения систем линейных алгебраических уравнений методом простой итерации, использующий первый способ перехода от системы вида F(x)=x к системе вида x=(x) (см. п.2.2.).

Программный модуль metod2.m также содержит непосредственно алгоритм решения систем линейных алгебраических уравнений методом простой итерации, но использующий второй способ перехода от системы вида F(x)=x к системе вида x=(x) (см. п.2.2.).

Вспомогательный модуль system_a.m содержит матрицу А исходной системы линейных алгебраических уравнений вида Ax=b.

Вспомогательный модуль system_b.m содержит столбец b исходной системы линейных алгебраических уравнений вида Ax=b.

Вспомогательный модуль x0.m содержит столбец начального приближения к точному решению исходной системы линейных алгебраических уравнений вида Ax=b.

Вспомогательный модуль x_ok.m содержит столбец точного решения исходной системы линейных алгебраических уравнений вида Ax=b.

Замечание: модули system_a.m, system_b.m, x0.m всегда описывает сам пользователь, работающий с данным программным обеспечением, в зависимости от решаемой системы линейных алгебраических уравнений.

Модуль x_ok.m также может быть описан пользователем, но он не является обязательным, так как точного решения обычно у пользователя нет. Отсутствие данного модуля не влияет на правильность работы программы, он является вспомогательным и необходим лишь для оценки погрешности полученного решения (как этого требует задание), но что обычно не нужно в прикладном использовании данного программного обеспечения.

3.3 Вызов и загрузка программы

Для вызова программы на выполнение необходимо загрузить программу MatLab 3.5f (и выше), затем в командной строке данной среды набрать имя одного из программных модулей (metod1.m или metod2.m).

3.4 Входные данные

1. system_а - матрица А исходной системы линейных алгебраических уравнений вида Ax=b, считывающаяся из модуля system_а.m;

2. system_b - столбец b исходной системы линейных алгебраических уравнений вида Ax=b, считывающийся из модуля system_b.m;

3. x0 - столбец начальных приближений, считывающийся из модуля x0.m;

4. x_ok - столбец точного решения исходной системы линейных алгебраических уравнений вида Ax=b, считывающийся из модуля x_ok.m.

Замечание: если отсутствует модуль x_ok.m, то переменная x_ok не передается в основные программные модули.

3.5 Выходные данные

Выходными данными программных модулей metod1.m и metod2.m является файл total - файл-отчет, содержащий результаты одного или нескольких итерационных процессов, а именно: полученные решения, погрешности полученного решения, скорость сходимости метода, время счета, число операций.