Расчет цифрового фильтра

5 Расчет цифрового фильтра

Для расчета цифрового фильтра, переводящего линейную часть из начального в конечное состояние за минимальное число периодов квантования и обеспечивающего ограничение на заданное управляющие воздействие, необходимо вычислить минимально возможный период квантования, но чтобы было удовлетворено условие:

|U_m – q₀|£0,05, (5.1)

где U_m = 1,0.

Вычисление значения q₀ следует начать с определения значений коэффициентов числителя Z-передаточной функции приведенной непрерывной части для принятого периода дискретности. Пусть Z-передаточная функция приведенной непрерывной части представима в виде:

. (5.2)

Тогда Z-передаточная функция оптимального по быстродействию цифрового фильтра W_ф(z) имеет вид:

, (5.3)

где p_i = b_iq₀, i = 1,2,…,m;

q_i = a_iq₀, i = 1,2,…,m;

.

Воспользуясь формулой (4.7) для W_нч(z) . Находим функции b_i , а_i и Т₀.

Для коэффициентов b_i имеем:

; (5.4)

;(5.5)

. (5.6)

Для коэффициентов а_i имеем:

; (5.7)

; (5.8)

. (5.9)

 

Найдем выражение для q₀ :

. (5.10)

Определим Т₀ при котором выполняется условие (5.1), для этого построим график зависимости и изибразим его на следующем рисунке 5.1.

Рисунок 5.1 – График зависимости |U_m – q₀(Т₀)|

При построении графика видим, что Т₀ = 4,61 , q₀(Т₀) = 1,002.

Определим коэффициенты , подставив найденное значение Т₀ в выражение (5.4) и (5.5):

b₁(Т₀) = 0,718;

b₂(Т₀) = 0,332;

b₃(Т₀) = -0,052;

a₁(Т₀) = -0,932;

a₂(Т₀) = 0,281;

a₃(Т₀) = -0,027;

Подставляя найденные значения в выражения (5.2) и (5.3) определим передаточные функции приведенной непрерывной части и цифрового фильтра.

. (5.7)

. (5.8)

Находим Z – передаточную функцию для разомкнутой цифровой системы по формуле:

W_p(z) = W_н.ч.(z) * W_ф(z). (5.9)

Определим Z – преобразованную функцию замкнутой системы по каналу задание – управляюшее воздействие по формуле:

, (5.10)

Определим Z – преобразованную функцию замкнутой системы по каналу задание – выходной сигнал по формуле:

, (5.10)

Пусть f – функция определяющая зависимость между q₀ от Т₀, т.е. q₀=f(Т₀), тогда f ^–1 – обратная ей функция, т.е. Т₀=f ^–1(q₀). Для того, чтобы найти период квантования необходимо минимизировать функцию
Т₀=f ^–1(q₀) с учетом условия (5.1).

Так как в явном виде функцию Т₀=f ^–1(q₀) вывести сложно, но из графика видно, что она монотонно убывает, следовательно минимум на отрезке q₀ Î [3,45; 3,55] будет при q₀=3,55.

Расчет Т₀ сводится к решению уравнения

. (5.11)

Для решения данного уравнения воспользуемся алгоритмом поиска корня уравнения методом дихотомии. После решения уравнения мы получили, что

Т₀ =1,25.

Подставляя значение Т₀ =1,25 в выражения (5.4)-(5.9) найдем коэффициенты Z-передаточной функций приведенной непрерывной части.

Тогда

. (5.12)

При этом q₀ =3,540075. Согласно формуле (5.3)

. (5.13)

Найдем Z-передаточную функцию разомкнутой цифровой системы. Она равна W_р(z)=W_нч(z)*W_ф(z) и равна

. (5.14)

Z-передаточная функция замкнутой цифровой системы по каналу задание – управляющие воздействие равна

(5.15)

и равна

.

Z-передаточная функция замкнутой цифровой системы по каналу задание – выходная величина равна

(5.16)

и равна

.

Вычислим коэффициенты усиления по указанным каналам. По определению коэффициент усиления есть отношение изменения на выходе к изменению на входе в установившемся режиме, т.е.

. (5.17)

Так как

, (5.18)

то подставляя выражения (5.15) и (5.16) в выражение (5.17) найдем, что j(¥)=1, а m(¥)=0,4. Так как Dx(¥)=1, а j(0_-)=0 и m(0_-)=0, то коэффициент усиления по каналу задание – выходная величина равен 1, а по каналу задание – управляющие воздействие равен 0,4.

Построим переходную функцию цифрового фильтра. Она равна

.

Для вычисления f[n] найдем полюса функции

.

Находим 2 полюса 1-го порядка и 1 полюс 2-го порядка. Полюса
1-го порядка: z=-0,307 и z=-0,045. Полюс 2-го z=1. Для вычисления переходной функции необходимо вычислить производную следующей функции . Производная данного выражения равна

.

Тогда передаточная функция примет вид

.

Изобразим переходный процесс на графике.

Рисунок 5.2 – Переходная функция цифрового фильтра.

Для построения переходных процессов в замкнутой цифровой системе по каналам задание – выходная величина и задание – управляющие воздействие воспользуемся уравнениями в конечных разностях.

Суть метода заключается в следующем. Пусть передаточная функция цифровой системы

.

Этой передаточной функции соответствует уравнение в конечных разностях:

.

Значение искомой выходной величины равно

. (5.19)

Согласно формуле (5.19) получим, что переходная функция замкнутой цифровой системе по:

· каналу задание – выходная величина

y[k]=0,647726×x[k-1] –0,620803×x[k-2] –0,037272×x[k-3] +0,149369×x[k-4] –0,024633×x[k-2] –0,001394×x[k-2] +1,481007×y[k-1] –0,695097×y[k-2]+ +0,101098×y[k-3];

· каналу задание – управляющие воздействие

y[k]=3,540075×x[k] –10,485749×x[k-1] +12,686121×x[k-2] –
–8,004397×x[k-3] +2,770507×x[k-4] –0,497542×x[k-5]+0,036182×x[k-6]+ +1,481007×y[k-1] –0,695097×y[k-2]+ +0,101098×y[k-3].

Данные расчетов были сведены в таблицы с учетом того, что x[k]=1.

Таблица 5.1 – Переходная функция замкнутой цифровой системе по каналу задание – выходная величина

k	y[k]
0	0
1	0,648
2	0,986
3	1
4	1

6 Оптимальное управляющие воздействие и реакция на него приведенной непрерывной части

Оптимальное управляющие воздействие было найдено в пункте 5 и в координатах времени имеет следующий вид:

m(t)=3,54(h(t)-h(t-T₀)) –1,703(h(t-T₀)-h(t-2*T₀))+ (6.1)

+0,758(h(t-2*T₀)-h(t-3*T₀))+0,4 h(t-3*T₀),

где

h(t) – функция Хевисайда;

T₀ – период квантования равный 1,25.

Тогда

m(t)=3,54(h(t)-h(t-1,25)) –1,703(h(t-1,25)-h(t-2,5))+ (6.2)

+0,758(h(t-2,5)-h(t-3,75))+0,4 h(t-3,75).

Изобразим данное управляющее воздействие на графике.

Рисунок 6.1 – Оптимальное управляющие воздействие.

Для нахождения реакции непрерывной линейной части на данное воздействие воспользуемся изображением Лапласа. Используя свойство линейность данного изображения и теорему запаздывания найдем, что

j(t)= 3,54(g(t) - g(t-1,25)) –1,703(g(t-1,25)-g(t-2,5))+ (6.3)

+0,758(g(t-2,5)-h(t-3,75))+0,4 h(t-3,75),

где

g(t)=f(t)h(t),

– переходная функция линейной части, найденная нами в пункте 4.

Изобразим реакцию непрерывной линейной части на оптимальное управляющие воздействие.

Рисунок 6.2 – Реакция непрерывной линейной части на оптимальное управляющие воздействие

На этом все построения окончены.

Заключение

В данной курсовой работе был сделан синтез и анализ оптимальной одноконтурной САУ при использовании трех типов регуляторов, реализующих П-, ПИ- и ПИД-закон регулирования. Проведены сравнительный характеристики данных типов регуляторов и был сделан вывод, что ПИД-закон регулирования является наилучшим среди рассмотренных.

Были проведены расчеты по использованию данных регуляторов в цифровых системах. Как показали расчеты, несмотря на то, что цифровые системы – это системы дискретного действия и действуют через определенные промежутки времени, переходные процессы в цифровых системах не сильно отличаются от переходных процессов в непрерывных системах, а конечное состояние выходной величины одинаково. Кроме того развитие микропроцессорной техники и использование теории управления в цифровых системах позволяют создать регуляторы различной сложности и с заранее заданных свойствами. Один из регуляторов, обеспечивающий перевод системы из одного состояния в другое за минимальное число периодов квантования при наличии ограничения на управляющие воздействие, был синтезирован в данной курсовой работе.

Список литературы

1.   Пугачев В.И. Методические указания по курсу: «Теория автоматического управления» для студентов всех форм обучения специальности 21.01 – автоматика и управление в технических системах. Часть I. Краснодарский политехнический институт – Краснодар, 1990. – 157 с.

2.   Пугачев В.И. Методические указания по курсу: «Теория автоматического управления» для студентов всех форм обучения специальности 21.01 – автоматика и управление в технических системах. Часть III. Краснодарский политехнический институт – Краснодар, 1995. – 114 с.

3.   Колосов С. П., Калмыков И. В.,Нефедова В. И. “Элементы автоматики”

издательство “Машиностроение”, Москва, 1970.