Алгебра. Геометрия. Тригонометрия (шпаргалка)

Формулы сокращенного умножения

(а ± в)² = а² ± 2ав + в²

(а ± в)³ = а³ ± 3а²в + 3ав² ± в³

а² - в² = (а + в) (а - в)

а³ + в³ = (а + в) (а² - ав + в²)

а³ - в³ = (а - в) (а² + ав + в²)

(а + в + с)² = а² + в² + с² +2ав +2ас +2вс

Степени.

а^м а^н = а^{м + н}

а^м : а^н = а^{м - н}

(ав)^м = а^м в^м

(а^м)^н = а^мн

(а : в)^м = а^м : в^м

а^{- м} = 1 : а^м

а^{м : н} = ^нÖ а^м

Корни.

^нÖав =^нÖа ^нÖв

^нÖа ^мÖв = ^{н м}Öа^м в^н

^нÖа : в = ^нÖа : ^нÖв

(^нÖа^м)^х = ^нÖа^{м х}

^нÖа^м = а^м/н

^мÖ^нÖа = ^мнÖа

(^нÖа)^м = ^нÖа^м

Арифметическая прогрессия.  

а₁, а₂, а₃, …, а_n-1, а_n

а_n-1 - а_n= d  

d – разность прогрессии

а₂ = а₁+ d

а₃ = а₂ + d = а₁ + 2d

а_n= а₁ + d(n-1)

Sn = (а₁ + а_n) n = (2а₁ + ( n-1) d) n

2 2

Sn – сумма членов арифметической

прогрессии.

d – разность прогрессии.

d > 0 – прогрессия возрастающая

d < 0 – прогрессия убывающая.

 Геометрическая прогрессия.

а₁, а₂, а₃, …, а_n-1, а_n

а_n+1 / а_n= q

а₂ = а₁ q

q - знаменатель прогрессии.

а₃ = а₂ q = а₁ q²

а_n= а₁ q^n-1

Сумма членов для возрастающей

прогрессии (q > 1)

Sn = а_nq - а₁  = а₁ (qⁿ -1 : q – 1)

q – 1

Сумма членов для убывающей прогрессии (q < 1)

Sn = а₁ (1 - qⁿ)

1 - q

Сумма членов бесконечно убывающей

 Прогрессии

 Sn =  а₁

1 - q

Вектора.

а = М₁М₂ ={х₂ – х₁, у₂ – у₁, z₂ –z₁}

Длина вектора

çа ç=Ö(х₂ - х₁)² +(у₂ - у₁)² + (z₂ - z₁)²

Умножение вектора на число

a а = d

Скалярное произведение векторов

а в = çа ççв çcos j

cos j = х₁х₂ + у₁у₂ + z₁z₂

Öх₁² + у₁² +z₁² Öх₂² +у₂² + z₂²

а² = çа ç²

а в = х₁х₂ + у₁у₂ + z₁z₂

Параллельность векторов

а ççв, то х₁ = у₁ = z₁

х₂  у₂  z₂

 Перпендикулярность векторов

а ^ в, то х₁х₂ + у₁у₂ + z₁z₂

Производная.

 (c u)¢ = с u¢

 u ¢ = u¢ v – u v¢

 v v²

(c)¢ = 0

(xⁿ )¢ = n x^n-1

(a^x)¢= a^x ln a

(е^х)¢ = е^х

(sin x)¢ = cos x

(cos x)¢ = - sin x

(tg x)¢ = 1

cos² x

(ctg x)¢ = - 1

sin² x

(ln x)¢ = 1

х

(1 / х)¢ = - 1

х²

(Öх)¢ = 1